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相似四边形研究修订版
相似四边形研究
汇文客·篪
南京金陵汇文中学
初三(11)班
2013/7/11
概述
一、研究目标:
找出判定四边形相似的基本方法,证出一些基本判定条件
二、研究范围:
所有凸四边形
三、研究所需基本定理:
1.相似三角形三边对应成比例,三角对应相等
2.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
3.三边对应成比例的两个三角形相似
4.两角对应相等的两个三角形相似
5.各边对应成比例、各角对应相等的两个图形相似
(备注:
以后的证明过程中,简写为定理1~5)
假设
(凸)四边形具有如下性质:
1.为封闭平面图形,对边不相交
2.内角和、外角和均为360°,内角均小于180°
3.皆有两条相交的对角线
如下图,由图可知,凸四边形皆能被其对角线分为四个小三角形,相邻两小三角形又可视为一大三角形。
众所周知,在平面几何图形中,三角形具有最好的稳定性,不会变形、扭曲、拉伸等。
基于这一点,作出假设:
证明四边形相似,只需证明其对角线所分三角形中任意两组对应相似。
具体情况如下:
猜想一:
四边形中,对角线所分任意两组大三角形对应相似,四边形相似
如图:
∵△ABD∽△A`B`D`,△ABC∽△A`B`C`
∴ABCD∽A`B`C`D`
或者:
∵△ABD∽△A`B`D`,△ADC∽△A`D`C`
∴ABCD∽A`B`C`D`
猜想二:
四边形中,对角线所分对顶两组小三角形对应相似,四边形相似
如图:
∵△AOD∽△A`O`D`,△BOC∽△B`O`C`
∴ABCD∽A`B`C`D`
命题一四角对应相等、四边对应成比例的四边形相似
如图:
∠BAC=∠B`A`C`,∠ACD=∠A`C`D`,∠ABD=∠A`B`D`,∠BDC=∠B`D`C`
AB/A`B`=AC/A`C`=CD/C`D`=DB/D`B`
求证:
ABCD∽A`B`C`D`
证明:
∵∠BAC=∠B`A`C`,∠ACD=∠A`C`D`,
∠ABD=∠A`B`D`,∠BDC=∠B`D`C`
AB/A`B`=AC/A`C`=CD/C`D`=DB/D`B`
∴ABCD∽A`B`C`D`(定理5)(证完)
如图,在ABCD、A`B`C`D`中作对角线AD、BC和A`D`、B`C`,相交于O、O`。
(以后的图形皆直接标好对角线)
命题一是四边形相似的最基本形态,也是最简单的。
但是,如果没那么多条件呢?
例如,去掉∠BDC=∠B`D`C`?
或缺少一组对边对应相似的条件?
这时候,就得考虑猜想一了。
例如,缺少∠BDC=∠B`D`C`的情况下,我们可以用定理2,证出△ABD∽△A`B`D`,△ACD∽△A`C`D`,又根据定理1,得出∠ADB=∠A`D`B`,∠ADC=∠A`D`C`,等量代换,也就可得出∠BDC=∠B`D`C`了。
少一组对边则麻烦些,但也可通过相似、等角、相似、等边得出缺失条件。
证出两组大三角形对应相似,最终可得出所有缺失条件,并回归至命题一,这即是猜想一的精髓。
下面两个命题,就是进一步对猜想一的验证、巩固。
命题二三角对应相等、两夹边对应成比例的四边形相似
如图:
∠BAC=∠B`A`C`,∠ACD=∠A`C`D`,∠ABD=∠A`B`D`
AB/A`B`=AC/A`C`
求证:
ABCD∽A`B`C`D`
证明:
如图,做两四边形对角线BC、B`C`
∵∠BAC=∠B`A`C`,AB/A`B`=AC/A`C`
∴△ABC∽△A`B`C`(定理2)
∴∠ACB=∠A`C`B`,∠ABC=∠A`B`C`,
CB/C`B`=AB/A`B`=AC/A`C`(定理1)
∵∠ACD=∠A`C`D`,∠ABD=∠A`B`D`,
∠ACD=∠ACB+∠BCD,
∠A`C`D`=∠A`C`B`+∠B`C`D`,
∠ABD=∠ABC+∠CBD,
∠A`B`D`=∠A`B`C`+∠C`B`D`
∴∠BCD=∠B`C`D`,∠CBD=∠C`B`D`
∴△BDC∽△B`D`C`(定理4)
∴∠BDC=∠B`D`C`,CB/C`B`=DB/D`B`=DC/D`C`(定理1)
∴AB/A`B`=AC/A`C`=CB/C`B`=DB/D`B`=DC/D`C`
∵∠BAC=∠B`A`C`,∠ACD=∠A`C`D`,∠ABD=∠A`B`D`,∠BDC=∠B`D`C`
AB/A`B`=AC/A`C`=CD/C`D`=DB/D`B`
∴ABCD∽A`B`C`D`(定理5、命题一)(证完)
上述过程中,我们添加了辅助线,证得△ABC∽△A`B`C`、
△BDC∽△B`D`C`,推出了全部条件,回归至命题一,得出结论。
命题三三边对应成比例、
相邻两边夹角对应相等的四边形相似
如图:
∠BAC=∠B`A`C`,∠ACD=∠A`C`D`,
AB/A`B`=AC/A`C`=CD/C`D`
求证:
ABCD∽A`B`C`D`
证明:
如图,做两四边形对角线BC、B`C`,AD、A`D`
∵∠BAC=∠B`A`C`,AB/A`B`=AC/A`C`
∴△ABC∽△A`B`C`(定理2)
∴∠ACB=∠A`C`B`,∠ABC=∠A`B`C`,
CB/C`B`=AB/A`B`=AC/A`C`=CD/C`D`(定理1)
∵∠ACD=∠A`C`D`,CD/C`D`=AC/A`C`
∴△ACD∽△A`C`D`(定理2)
∴∠CAD=∠C`A`D`,∠ADC=∠A`D`C`,
AD/A`D`=AC/A`C`=CD/C`D`=AB/A`B`(定理1)
∵∠ACD=∠A`C`D`,∠BAC=∠B`A`C`,
∠ACD=∠ACB+∠BCD,
∠A`C`D`=∠A`C`B`+∠B`C`D`
∴∠BCD=∠B`C`D`
∵CB/C`B`=CD/C`D`,∠BCD=∠B`C`D`
∴△BDC∽△B`D`C`(定理2)
∴∠CBD=∠C`B`D`,∠BDC=∠B`D`C`,CB/C`B`=DB/D`B`=DC/D`C`(定理1)
∴AB/A`B`=AC/A`C`=CB/C`B`=DB/D`B`=DC/D`C`=AD/A`D`
∵AB/A`B`=AD/A`D`=BD/B`D`
∴△ABD∽△A`B`D`(定理3)
∴∠ABD=∠A`B`D`(定理1)
∵∠BAC=∠B`A`C`,∠ACD=∠A`C`D`,∠ABD=∠A`B`D`,∠BDC=∠B`D`C`
AB/A`B`=AC/A`C`=CD/C`D`=DB/D`B`
∴ABCD∽A`B`C`D`(定理5、命题一)(证完)
上述过程中,我们添加了辅助线,证得△ABC∽△A`B`C`、
△ACD∽△A`C`D`、△BDC∽△B`D`C`,推出了全部条件,回归至命题一,得出结论。
命题二、三是猜想一的两种基本形态,结论证明,猜想一是正确的。
在接下来的命题中,就可以省略推导剩余条件,根据猜想一直接证明。
命题四四边对应成比例、
一角对应相等的四边形相似
如图:
AB/A`B`=AC/A`C`=CD/C`D`=DB/D`B`
∠BAC=∠B`A`C`
求证:
ABCD∽A`B`C`D`
证明:
如图,做两四边形对角线BC、B`C`
∵∠BAC=∠B`A`C`,AB/A`B`=AC/A`C`
∴△ABC∽△A`B`C`(定理2)
∴CB/C`B`=AB/A`B`=AC/A`C`=CD/C`D`=DB/D`B`(定理1)
∵CB/C`B`=CD/C`D`=DB/D`B`
∴△BDC∽△B`D`C`(定理3)
∵△ABC∽△A`B`C`,△BDC∽△B`D`C`
∴ABCD∽A`B`C`D`(猜想一)(证完)
命题五四边、一对角线对应成比例的四边形相似
如图:
CB/C`B`=AB/A`B`=AC/A`C`
=CD/C`D`=DB/D`B`
求证:
ABCD∽A`B`C`D`
证明:
∵∠BAC=∠B`A`C`,AB/A`B`=AC/A`C`
∴△ABC∽△A`B`C`(定理2)
∵CB/C`B`=CD/C`D`=DB/D`B`
∴△BDC∽△B`D`C`(定理3)
∵△ABC∽△A`B`C`,△BDC∽△B`D`C`
∴ABCD∽A`B`C`D`(猜想一)(证完)
命题四、五是相当实用、简洁的,利用它们,可大大优化其它证明四边形相似的过程,如命题二、三。
但是,它们是基于猜想一的,而猜想一是通过命题二、三验证的。
这一点先后顺序尤要注意。
命题六两对角线夹角相等、
且所分线段对应成比例的四边形相似
如图:
∠AOC=∠A`O`C`=∠BOD=∠B`O`D`,
∠AOB=∠A`O`B`=∠COD=∠C`O`D`,
AO/A`O`=BO/B`O`=CO/C`O`=DO/D`O`
求证:
ABCD∽A`B`C`D`
证明:
∵∠AOC=∠A`O`C`,AO/A`O`=CO/C`O`
∴△AOC∽△A`O`C`(定理2)
同理可得△AOB∽△A`O`B`,△BOD∽△B`O`D`,△COD∽△C`O`D`
∴AB/A`B`=AC/A`C`=CD/C`D`=DB/D`B`
=AO/A`O`=BO/B`O`=CO/C`O`=DO/D`O`,
∠OAB=∠O`A`B`,∠OBA=∠O`B`A`,∠OBD=∠O`B`D`,∠BDO=∠B`D`O`,
∠ODC=∠O`D`C`,∠OCD=∠O`C`D`,∠ACO=∠A`C`O`,∠OAC=∠O`A`C`(定理1)
∵∠OAC+∠OAB=∠BAC,
∠O`A`C`+∠O`A`B`=∠B`A`C`,
∠OBA+∠OBD=∠ABD,
∠O`B`A`+∠O`B`D`=∠A`B`D`,
∠BDO+∠ODC=∠BDC,
∠B`D`O`+∠O`D`C`=∠B`D`C`,
∠OCD+∠ACO=∠ACD,
∠O`C`D`+∠A`C`O`=∠A`C`D`
∴∠BAC=∠B`A`C`,∠ACD=∠A`C`D`,∠ABD=∠A`B`D`,∠BDC=∠B`D`C`
∵∠BAC=∠B`A`C`,∠ACD=∠A`C`D`,∠ABD=∠A`B`D`,∠BDC=∠B`D`C`,
AB/A`B`=AC/A`C`=CD/C`D`=DB/D`B`
∴ABCD∽A`B`C`D`(定理5)(证完)
猜想二精髓与猜想一是一样的,通过证明三角形相似推导缺失条件,最终回归至命题一的状态。
命题七是猜想二的基本形态,用几乎疯狂的证明,连得△AOC∽△A`O`C`,△AOB∽△A`O`B`,△BOD∽△B`O`D`,△COD∽△C`O`D`,推导出全部条件。
可以说,命题七证明猜想二正确。
由于对角线情况不太好控制,命题七适合于对角线具有特殊性质的图形,如平行四边形。
判定整理(5)
*命题二:
三角两边
*命题三:
三边两角
*命题四:
四边一角
*命题五:
四边一线
*命题六:
二线夹角
备注
相似比3:
4猜想一图、命题一图(*2)、命题四图
相似比2:
3猜想二图
相似比1:
2命题二图、命题三图、命题五图、命题六图
本文原为手写稿,作于2013年5月。
本文所有图均为手绘原图(照片),次序稍有改动。
7月11日开始输入电脑,7月16日完成。
版权归本人所有,家有原手写稿为证。
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