行列式计算技巧与方法总结修改版.docx
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行列式计算技巧与方法总结修改版
行列式计算技巧与方法总结(修改版)
行列式的若干计算技巧与方法
内容摘要
行列式的性质
行列式计算的几种常见技巧和方法
定义法
利用行列式的性质
降阶法
升阶法(加边法)
数学归纳法
递推法
行列式计算的几种特殊技巧和方法
拆行(列)法
构造法
特征值法
几类特殊行列式的计算技巧和方法
三角形行列式
“爪”字型行列式
4.3“么”字型行列式
“两线”型行列式
“三对角”型行列式
范德蒙德行列式
行列式的计算方法的综合运用
5.1降阶法和递推法
逐行相加减和套用范德蒙德行列式
构造法和套用范德蒙德行列式
=0.
=0.
=0.
=0.
1.2行列式的性质
性质1
行列互换行列式不变.
即
a11
a12
a1n
a11
a21an1
a21
a22
a2n
a12
a22an2
an1
an2
ann
a1n
a2nann
性质2
一个数乘行列式的一行
(或列)
等于用这个数乘此行列式?
即
aii
a12
a1n
a11
a12
a1n
kaM
kai2
ka^
k
aM
ai2
ain
an1
an2
ann
an1
an2
ann
性质3如果行列式的某一行(或列)是两组数的和那么该行列式就等于两个行列式的和且这两个行列式除去该行(或列)以外的各行(或列)全与原来行列式的对应的行(或列)一样?
即
3]1a12Ka1n
a11a12Ka1n
a11a12Ka1n
MMMM
MMMM
MMMM
b|c1b2c2Kbncn
bb2Kbn
GC2KCn
MMMM
MMMM
MMMM
an1an2Kann
an1an2Kann
an1an2Kann
性质4如果行列式中有两行(或列)对应元素相同或成比例那么行列式为零?
即
a11
a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1
3i2
Sin
ai1
3i2
Sin
k
kai1
kai2
kain
ai1
ai2
ain
an1
an2
ann
an1
an2
ann
性质5把一行的倍数加到另一行行列式不变.即
a11
a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1cak1
ai2cak2
aincakn
ai1
ai2
ain
ak1
ak2
akn
ak1
ak2
akn
an1
an2
ann
an1
an2
ann
性质6对换行列式中两行的位置行列式反号?
即
a11
a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1
ai2
ain
ak1
ak2
akn
ak1
ak2
akn
=—
ai1
ai2
ain
an1
an2
ann
an1
an2
ann
性质7行列式一行(或列)元素全为零则行列式为零?
即
anai2ai』-iain
00000.
an1an2an,n-1ann
2、行列式的几种常见计算技巧和方法
但当阶数较多、数字较大时,计算量大有一定的局限性.2.1定义法
但当阶数较多、数字较大时,
计算量大有一定的局限性.
适用于任何类型行列式的计算,
0
0
0
1
例1计算行列式
0
0
2
0
0
3
0
0
4
0
0
0
解析:
这是一个四级行列式在展开式中应该有4!
24项但由于出现很多的零所以不
等于零的项数就大大减少?
具体的说展开式中的项的一般形式是a1jla2j2a3j3a4j4显然如
果ji4那么ani0,从而这个项就等于零?
因此只须考虑ji4的项同理只须考虑j23,j32,
果ji4那么ani0,从而这个项就等于零?
因此只须考虑ji4的项同理只须考虑
j23,j32,j41的这些项这就是说行列式中不为零的项只有ai4a23a32a4i而
43216所以此项取正号?
故
000i
0020
0300
4000
432i
ai4a23a32a4i
24.
2.2利用行列式的性质
即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形
.该方法适用于低阶行列式.
2.2.i化三角形法
上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:
aii
ai2
ai3
ain
0
a22
a23
a2n
0
0
a33
a3n
aiia22ann
0
0
0
ann
iaia2
aii
0
0
0
a2i
a22
0
0
a3i
a32
a33
0
aiia22ann
ani
an2
an3
ann
an
an
例2计算行列式Dni
iaibia2
iaia2
anbn
解析:
观察行列式的特点,
主对角线下方的元素与第一行元素对应相同,
故用第一行的i
倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零?
即:
化为上三角形.
解:
将该行列式第一行的i倍分别加到第2,3(ni)行上去可得
解:
将该行列式第一行的
i
ai
a2
K
an
0
bi
0
0
0
EdKbn
M
M
M
O
M
0
0
0
K
bn
i
2.2.2连加法
这类行列式的特征是行列式某行(或列)加上其余各行(或列)后使该行(或列)元素
均相等或出现较多零从而简化行列式的计算?
这类计算行列式的方法称为连加法.
1
_2
_n
1
_2
_n
n
1
x2m
_n
n
0
m
0
_i
m
_i
m
1
i1
1
_2
_nm
0
0
m
m
i1
n
1
m.
i
_2
n
_n
_i
_i
解:
x1m_2_n计算行列式Dn_iDn_i_
解:
x1m
_2
_n
计算行列式Dn
_i
Dn
_i
_i
_i
_2
_2
x2m
_n
_2
_n
_n
_n
2.2.3滚动消去法
2.2.3
可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍,当行列式每两行的值比较接近时,这种方法叫滚动消去法.
可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍,
例4计算行列式Dn
1
2
3
n1
n
1
2
3
n1
n
1
1
1
1
1
2
0
0
0
2
Dn
1
1
1
1
1
2
2
0
0
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
解:
从最后一行开始每行减去上一行,
有
行列式的方法叫做升阶法或加边法.升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子
行列式的方法叫做升阶法或加边法.升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子那么升
1n12n2
2.2.4逐行相加减
对于有些行列式,
虽然前
尝试用逐行相加减的方法.
n行的和全相同,
但却为零.
用连加法明显不行这是我们可以
例5计算行列式D
解:
将第一列加到第二列,
a1
0
a2
0
a3
2.3
2n
a1
0
a1
a2
0
a2
a3
新的第二列加到第三列
n1a1a2
an
an
1
an
1
以此类推得:
an
1n
1a&;an.
降阶法
将高阶行列式化为低阶行列式再求解.
2.3.1按某一行(或列)
展开
例6解行列式Dn
解:
按最后一行展开得
n1
Dna1x
an
an2
a2
n2
a2x
an
1_
232按拉普拉斯公式展开
DMiaiM2A2
DMiaiM2A2
MnAn其中Ai是子式Mi对应的代数余子式.
Ann
Cnn
Bnn
AnnBnn
Ann
0
Cnn
Bnn
AnnBnn_
拉普拉斯定理如下:
设在行列式D中任意选定了k1kn-1个行.由这k行兀素所组成
的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即
例7解行列式Dn
解:
从第三行开始每行都减去上一行;再从第三列开始每列都加到第二列得
aaa
b
00
0000
n1aaa
bn2
000
n1abn1a
n1ab
n2
0
2.4升阶法
就是把n阶行列式增加一行一列变成
就是把n阶行列式增加一行一列变成
n+1阶行列式再通过性质化简算出结果这种计算
阶之后就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为其中添加行与列的方式一般有五种:
般行列的位置.0首行首列首行末列,这样就达到简化计算的效果.末行首列末行末列以及一例8解行列式D=解:
使行列式D变成
阶之后就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为其中添加行与列的方式一般有五种:
般行列的位置.
0
首行首列首行末列,
这样就达到简化计算的效果.
末行首列末行末列以及一
例8解行列式D=
解:
使行列式
D变成
1阶行列式即
1
再将第一行的
倍加到其他各行得:
D=
从第二列开始每列乘以
加到第一列,
得:
(n1)
0
1n1
2.5数学归纳法
有些行列式可通过计算低阶行列式的值发现其规律然后提出假设再利用数学归纳法
去证明?
对于高阶行列式的证明问题数学归纳法是常用的方法.
COS
2cos
例9计算行列式Dn
2cos
2cos
2cos
解:
用数学归纳法证明?
1时,
D1cos
2时,
D2
cos
猜想,
Dn
cosn
由上可知当
2cos
2cos21
cos2
2时,
结论成立.
假设当nk时
结论成立?
即:
Dk
cosk.现证当
1时,
结论也成立.
cos
2cos
k1时,
2cos
2cos
2cos
将Dk
1按最后一行展开得
cos
k1k1
12cos
cos
2cos
2cos
2cos
2cos
2cos
2cosDkDk1.
因为
Dkcosk,Dk1cosk1coskcoskcossinksin,
所以
Dki2cosDkDki
2coscoskcoskcossinksin
coskcossinksin
cosk1.
这就证明了当nk1时也成立从而由数学归纳法可知对一切的自然数结论都成立.
即:
Dncosn.
2.6递推法
技巧分析:
若n阶行列式D满足关系式
aDnbDn1cDn20.
则作特征方程
ax2bxc0.
①若
0,则特征方程有两个不等根则
Dn
Ax;1Bx;1
②若
0,则特征方程有重根
_2
则D
nA
nBx;1
在①②中
AB均为待定系数
可令
n
1,n
2求出
-
9
5
0
0
0
00
4
9
5
0
0
00
例10计算行列式Dn
0
4
9
5
0
00
0
0
0
0
4
95
0
0
0
0
0
49
解:
按第
「列展开得
Dn
9Dn1
20D
n2?
即
Dn9Dn120Dn20
作特征方程
2x
9x200.
解得
_1
4x
5.
则
DnA?
4n1
B?
5n1
当n
1时
9AB;
当n
2时,
614A5B.
解得
A
16,B
25,
所以
Dn
5n1
4n1.
3、行列式的几种特殊计算技巧和方法
3.1拆行(列)法
3.1.1概念及计算方法
拆行(列)法(或称分裂行列式法)就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和,
然后再求行列式的值?
拆行(列)法有两种情况一是行列式中有某行(列)是两项之和可直接利用性质拆项;二是所给行列式中行(列)没有两项之和这时需保持行列式之值不变使其化为两项和.
3.1.2例题解析
1a1
a2
0
0
0
1
1a2
a3
0
0
例11计算行列式Dn
0
1
1a3
0
0
0
0
0
1an1
an
0
0
0
1
1a
解:
把第一列的元素看成两项的和进行拆列得
i1j1
i1j1
i1j1
i1j1
a1
a2
a2
a3
Dn
a3
1an
an
an
a2
a2
1
a3
a3
an1
1
an
an
a1
0
a2
a2
1
a3
a3
an
an
an
上面第一个行列式的值为
1,
所以
Dn1a1
1a2
1
a3
a3
an
1
1a1Dn1.
这个式子在对于任何nn
2都成立因此有
an
an
Dn1a1Dn1
1&;11a?
Dn2
1a1
a〔a2
n1
a〔a2
ii
1aj.
3.2构造法
3.2.1概念及计算方法
有些行列式通过直接求解比较麻烦这时可同时构造一个容易求解的行列式从而求出原行列式的值.
322例题解析
1
1
1
_1
_2
_n
2
2
2
例12求行列式Dn
_1
_2
xn
n2
n2
n2
_1
_2
_n
n
n
n
_1
x
_n
解:
虽然Dn不是范德蒙德行列式但可以考虑构造n1阶的范德蒙德行列式来间接求出Dn的
值.
构造n1阶的范德蒙德行列式得
1
1
1
1
_1
_2
_n
_
2
_1
2
_2
2
_n
2_
f_
n2
_1
n2
_2
n2
_n
n2
_
n1
_1
n1
_2
n1
_n
n1_
n
_1
n
_2
n
_n
n
_
将f_
按第n
1列展开,
得
f_
A,n
1A2,
n1_
An1a
An,n1_An1,n1_
n1
其中_的系数为
An,n1
n
1
n1
DnDn.
又根据范德蒙德行列式的结果知
f
_
_N
_
_2
__n_i_j.
1jin
由上式可求得xn1的系数为
故有_2_n__j
故有
_2_n
__j
Dn_i_2
_j
3.3.1概念及计算方法
设1,2,n是n级矩阵A的全部特征值则有公式
12n-
故只要能求出矩阵
A的全部特征值那么就可以计算出
A的行列式.
3.3.2例题解析
例13若1,2,
n是n级矩阵A的全部特征值证明:
A可逆当且仅当它的特征值全不为
零.
证明:
因为A12
n则
A可逆A0
12n0i0i1,2n
即
A可逆当且仅当它的特征值全不为零.
4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1三角形行列式
故称为4.1.2计算方法4.1.1概念
故称为
4.1.2
计算方法
a11a12
a13
a1n
a11
a22
a23
a2n
a21
a22
a33
a3n
5
a31
a32
a33
ann
an1
an2
an3
ann
形如
这样的行列式形状像个三角形,
行列式.
“三角形”
由行列式的定义可知,
4.24.2.1anbna11a12a13a1na110000a22a23a2na21a220000a33
4.2
4.2.1
an
bn
a11
a12
a13
a1n
a11
0
0
0
0
a22
a23
a2n
a21
a22
0
0
0
0
a33
a3n
&;11&;22ann,
a31
a32
a33
0
0
0
0
ann
an1
an2
an3
ann
字型行列式
“爪”
ana22a
nn?
4.2.2
a。
b1
b2
bn
bn
b2
b1
a。
Cn
an
C1
a1
a1
C1
C2
a2
5
a2
C2
C2
a2
C[a〔
Cn
an
an
Cn
a°b1
b2
bn
概念
形如
Cn
a2
C2
这样的行列式,
形状像个
&;爪”字故称它们为
“爪”
字型行列式.
b2
a1
b1
Ci
a。
计算方法
利用对角线消去行列式中的“横线”
或“竖线”
均可把行列式化成“三角形”行列式?
此
方法可归纳为:
“爪”字对角消竖横.
4.2.3例题解析
a1
1
a2
例14计算行列式
a3
其中ai0,i1,2,n.
i(i2,3,n.)
i(i2,3,n.)列元素乘以
分析:
这是一个典型的“爪”字型行列式计算时可将行列式的第
—后都加到第一列上原行列式可化为三角形行列式.ai
ai
1
1
1
n1
a1—
1
1
1
1
a2
i2ai
0
a2
1
a3
0
a3
1
an
0
an
解:
n
a2a3ana
a2a3
an
ai
i2ai
4.3
4.3.1
“么”字型行列式
概念
称它们为4.3.2
称它们为
4.3.2计算方法
利用“么”字的一个撇消去另一个撇就可以把行列式化为三角形行列式?
此方法可以归纳为:
“么”字两撇相互消.
an消去Cn然后再用ani消
Cn
an
ao
th
b2
C1
5
bn
b2
a2
b1
a1
C2
ao
c
a1
C2
a2
C2
a2
G
a1
Cn
ao
b1
b2
bn
bn
an
ancn
形如
an
bn
bn
an
ao
bi
b2
bn
Cn
Cn
Ci
ai
a2
b2
b2
a2
C2
a2
C2
a1
b1
bia1
C2
C1
ao
aoC1
Cn
an
an
Cn
Ci
ao
C2
ai
bi
a2
C2
5
a2
b2
这样的行列式
形状像个
“么
a
C1
Cn
bi
bn
b2
bi
ao
an
bn
字型行列式.
“么”
”字因此常
注意:
消第一撇的方向是沿着“么”的方向从后向前禾u用去Cn1依次类推.
433例题解析
1b1
例15计算n1阶行列式Dn1
bn
解:
从最后一行开始后一行加到前一行(即消去第一撇)得
n
1b
i1
n
1bi
i1
nn1
n
1
1
n
12
i1
bn1bn
bn
4.4
“两线”型行列式
4.4.1
概念
a
b1
0
0
a2
b2
形如
0
0
0
bn
0
0
nn3n
11b
i1
442计算方法
0
0
这样的行列式叫做“两线型”行列式.
对于这样的行列式可通过直接展开法求解.
4.4.3
例题解析
a1
b1
0
0
0
a2
b2
0
例16
求行列式Dn
0
0
0
bn
bn
0
0
an
bn1
an
解:
按第一列展开得
D
DnaDnibDn1aDn2
D
DnaDnibDn1aDn2
a2
tb
0
Dn1
ai
0
0
bn1
.An1
bn1
0
0
an
a〔a?
an
1r
1b1b2
bn.
4.5
“三对角”
型行列式
4.5.1
概念
ab
ab
0
0
0
1
a
b
ab
0
0
形如
0
1
a
bab
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
列式.
4.5.2
计算方法
b0
0
a2b2
0
00
bn1
0
0
0
0
0
0
这样的行列式叫做“三对角型”行
ab
ab
1
ab
对于这样的行列式可直接展开得到两项递推关系式然后变形进行两次递推或利用数学
a
b
ab
0
0
1
ab
ab
0
例17求行列式Dn
0
1
ab
ab
0
0
0
0
0
0
0
0
解:
按第一列展开得
ab
0
0
0
1
a
bab
0
DnabDn1
0
1
ab
abab
0
0
0
0
0
0
0
0
归纳法证明.
4.5.3例题解析
变形得
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ab
ab
0
1
ab
0
0
0
0
0
0
a
bDn1
a
b
ab
1
ab
abDn2
由于Diab,D2a2abb2,
从而利用上述递推公式得
Dn
aDn
bDn1aDn2
2
bDn2aDn3
bn2D2aD1bn.
Dn
aDn
bnaaDn
bn
bn
an1D1
an2b2
abn1bn
1b
abn
bn.
4.6Vandermonde
行列式
4.6.1
概念
形如
a1
2
a1
a2
2
a2
a3
2a3
an
2
an
这样的行列式,
成为
n级的范德蒙德行列式.
4.6.2
n1
a1
n1
a2
n1
a3
n
an
计算方法
通过数学归纳法证明,
可得
a1
2
务
a2
2
a2
an
2
an
aiaj
1ji1
4.6.3例题解析
例18求行列式Dn
_1
2
_1
_2
2
_2
n
a2
n1
a3
n1
an
_n
2
_n
n2
_1
n
_1
n2
_2
n
_2
n2
xn
n
_n
解:
虽然Dn不是范德蒙德行列式但可以考虑构造
1阶的范德蒙德行列式来间接求出Dn的
值.
构造n1阶的范德蒙德行列式得
1
1
1
1
_1
_2
_n
_
2
2
2
2
_1
_2
_n
_
f_
n2
n2
n2
n2
_1
_2
_n
_
n1
n1
n1
n1
_1
_2
_n
_
n
n
n
n
_1
_2
_n
_
将f_按第n1列展开得
f_
f_A,n1A2,n1_
An,n1_
1,n1_
其中_n1的系数为
nn1
An,n11DnDn.
又根据范德蒙德行列式的结果知
f_
__-1__2
__n_i
1jin
_j
由上式可求得_n1的系数为
_1_2_n__j
1jin
故有
Dn_
Dn_1_2
_n
__j
5、行列式的计算方法的综合运用
有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算这时就需要结合多种计算方法使计算简便易行?
下面就列举几种行列式计算方法的综合应用.
210
2
1
0
1
2
1
例19计算行列式Dn
0
1
2
0
0
0
0
0
0
5.1降阶法和递推法
00
00
00
21
12
分析:
乍一看该行列式并没有什么规律?
但仔细观察便会发现按第一行展开便可得到
4
4
4
4
阶的形式.
解
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