高中数学校本课程教案.docx
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高中数学校本课程教案
高中数学校本课程教案
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高中数学校本课程教案
陶建利
一教学目标:
1.把生活实际和数学课堂联系起来引导培养学生学习数学的兴趣。
2.让“争论”来激发学生学习数学的兴趣,最大限度地调动学生的学习积极性和主动性。
3.让学生都参与课堂,提高兴趣,化难为易。
这样,才能使学生带着浓厚的兴趣学好数学,才能大面积提高数学教学质量。
二教学案例:
付清欠款
有四个人借钱的数目分别是这样的:
阿伊库向贝尔借了10美元;贝尔向查理借了20美元;查理向迪克借了30美元;迪克又向阿伊库借了40美元。
碰巧四个人都在场,决定结个账,请问最少只需要动用多少美金就可以将所有欠款一次付清,
生日会上的12个小孩
今天是我13岁的生日。
在我的生日宴会上,包括我共有12个小孩相聚在一起。
每四个小孩同属一个家庭,共来自A,B和C这三个不同的家庭,当然也包括我所在的家庭。
有意思的是,这12个小孩的年龄都不相同,最大的13
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岁,换句话说,在1至13这十三个数字中,除了某个数字外,其余的数字都表示某个孩子的年龄。
我把每个家庭的孩子的年龄加起来,得到以下的结果:
家庭A:
年龄总数41,包括一个12岁的孩子。
家庭B:
年龄总数m,包括一个5岁的孩子。
家庭C:
年龄总数21,包括一个4岁的孩子。
只有家庭A中有两个孩子只相差1岁的孩子。
你能回答下面两个问题吗:
我属于哪个家庭——A,B,还是C,每个家庭中的孩子各是多大,因为只有家庭A中有两个孩子只相差1岁,所以我绝对不是C家庭的。
家庭A:
年龄总数41,包括一个12岁的孩子,所以平均年龄大于10,又因为有两个孩子只相差1岁,所以家庭A中可能出现11,12或12,13。
若包括11,12,则41-11-12=18=10+8,10,11,12皆差1岁,与条件矛盾。
若包括12,13,则41-12-13=16=10+6或7+9,符合条件。
若A家庭为6,10,12,13。
则C家庭为1,4,7,9。
根据排除法,B家庭为2/3,5,8,11。
若A家庭为7,9,12,13,则C家庭为1,4,6,10。
根据排除法,B家庭为2/3,5,8,11。
三(数学故事:
蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体,它的一端是平整的六角形开口,另一端是封闭的六角菱锥形的底,由三个相同的
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菱形组成。
组成底盘的菱形的钝角为109度28分,所有的锐角为70度32分,这样既坚固又省料。
蜂房的巢壁厚0.073毫米,误差极小。
丹顶鹤总是成群结队迁飞,而且排成“人”字形。
“人”字形的角度是110度。
更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒~而金刚石结晶体的角度
正好也是54度44分8秒~是巧合还是某种大自然的“默契”,蜘蛛结的“八卦”形网,是既复杂又美丽的八角形几何图案,人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。
冬天,猫睡觉时总是把身体抱成一个球形,这其间也有数学,因为球形使身体的表面积最小,从而散发的热量也最少。
四我的感悟:
高中数学校本课程学案及教案
陶建利
一教学目标:
1.把生活实际和数学课堂联系起来引导培养学生学习数学的兴趣。
2.让“争论”来激发学生学习数学的兴趣,最大限度地调动学生的学习积极性和主动性。
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3.让学生都参与课堂,提高兴趣,化难为易。
这样,才能使学生带着浓厚的兴趣学好数学,才能大面积提高数学教学质量。
二教学案例:
最短时间过桥问题
1.在漆黑的夜里,四位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。
如果不借助手电筒的话,大家是无论如何也不敢过桥去的。
不幸的是,四个人一共只带了一只手电筒,而桥窄得只够让两个人同时通过。
如果各自单独过桥的话,四人所需要的时间分别是1,2,5,8分钟;而如果两人同时过桥,所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。
问题是,你如何设计一个方案,让用的时间最少。
2.运动场上,小学生们玩游戏。
几个女生戴红色运动帽,几个男生带蓝色运动帽。
一个男生看来,红色运动帽和蓝色运动帽一样多,但一个女生看来,蓝色运动帽比红色运动帽多一倍。
问男生和女生各有多少人,
三(数学故事:
1.数学家的遗嘱
阿拉伯数学家花拉子密的遗嘱,当时他的妻子正怀着他们的第一胎小孩。
“如果我亲爱的妻子帮我生个儿子,我的儿子将继承三分之二的遗产,我的妻子将得三分之一;如
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果是生女的,我的妻子将继承三分之二的遗产,我的女儿将得三分之一。
”。
而不幸的是,在孩子出生前,这位数学家就去世了。
之后,发生的事更困扰大家,他的妻子帮他生了一对龙凤胎,而问题就发生在他的遗嘱内容。
如何遵照数学家的遗嘱,将遗产分给他的妻子、儿子、女儿呢,
2.不是洗澡堂
德国女数学家爱米〃诺德,虽已获得博士学位,但无开课“资格”,因为她需要另写论文后,教授才会讨论是否授予她讲师资格。
当时,著名数学家希尔伯特十分欣赏爱米的才能,他到处奔走,要求批准她为哥廷根大学的第一名女讲师,但在教授会上还是出现了争论。
一位教授激动地说:
“怎么能让女人当讲师呢,如果让她当讲师,以后她就要成为教授,甚至进大学评议会。
难道能允许一个女人进入大学最高学术机构吗,”另一位教授说:
“当我们的战士从战场回到课堂,
发现自己拜倒在女人脚下读书,会作何感想呢,”希尔伯特站起来,坚定地批驳道:
“先生们,候选人的性别绝不应成为反对她当讲师的理由。
大学评议会毕竟不是洗澡堂~”
四我的感悟:
校本课程教案
王乐
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教学目的
1.通过分析数学思维的特殊性,让学生意识到自己在数学学习中存在的问题.
2.让学生明确数学思维具有变通性.
3.让学生明确高中数学解题思维全过程.教学重难点
重点:
1.明确数学思维的特点,并能合理的加以应用.
2.明确数学解题思维全过程.
3.了解提高解题能力的技巧.难点:
对数学思维的特点的理解及其应用.第一课时
数学思维的变通性
思维的变通性——善于根据题设的相关知识,提出灵活的设想和解题方案。
数学问题千变万化,要想既快又准的解题,总用一套固定的方案是行不通的,要善于根据题设的相关知识,提出灵活的设想和解题方案。
要想在解题过程中灵活的变通需做到:
善于观察
任何一道数学题,都包含一定的数学条件和关系。
要想解决它,就必须依据题目的具体特征,对题目进行深入的、细致的、透彻的观察,然后认真思考,透过表面现象看其本质,这样才能确定解题思路,找到解题方法。
观察看起来是一种表面现象,但实际上是认识事物内部规律的基础。
接下
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来,我们通过一些例子来体会观察的重要性.
例1已知a,b,c,d都是实数,求证a2?
b2?
c2?
d2?
2?
2.
思路分析从题目的外表形式观察到,要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似,而左端可看作是点到原点的距离公式。
根据其特点,
证明不妨设A,B如图1,2,1所示,则AB?
?
.
OA?
a2?
b2,OB?
c2?
d2,在?
OAB中,由三角形三边之间的关系知:
OA?
OB?
AB当且仅当O在AB上时,等号成立。
1
因此,a2?
b2?
c2?
d2?
2?
2.
例已知二次函数f?
ax2?
bx?
c?
0,满足关系
f?
f,试比较f与f的大小。
思路分析由已知条件f?
f可知,在与
x?
2左右等距离的点的函数值相等,说明该函数的图
像关于直线x?
2对称,又由
已知条件知它的开口向上,所以,可根据该函数的大
致
图像简捷地解出此题。
解由f?
f,y
Ox
知f是以直线x?
2为对称轴,开口向上的抛物线
它与x?
2距离越近的点,函数值越小。
图1,2,2
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?
2?
0.5?
2?
?
?
f?
f
善于联想
联想是问题转化的桥梁。
稍具难度的问题和基础知识的联系,都是不明显的、间接的、复杂的。
因此,解题的方法怎样、速度如何,取决于能否由观察到的特征,灵活运用有关知识,做出相应的联想,将问题打开缺口,不断深入。
同样我们从实际出发来分析如何联想.
?
x?
y?
例1解方程组?
.xy?
?
3?
这个方程指明两个数的和为2,这两个数的积为?
3。
由此联想到韦达定理,x、y是一元二次方程t2?
2t?
3?
0的两个根,
?
x?
?
1?
x?
3所以?
或?
.可见,联想可使问题变得简单。
y?
3y?
?
1?
?
2y?
x?
z.例若2?
4?
0,证明:
思路分析此题一般是通过因式分解来证。
但是,如果注意观察已知条件的特点,不难发现它与一元二次方程的判别式相似。
于是,我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。
证明当x?
y?
0时,等式2?
4?
0
可看作是关于t的一元二次方程t2?
t?
?
0有等根的条件,在进一步观察这个方程,它的两个相等实根是1,根据韦达定理就有:
y?
z?
1即2y?
x?
zx?
y
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若x?
y?
0,由已知条件易得z?
x?
0,即x?
y?
z,显然也有2y?
x?
z.
善于将问题进行转化
数学家G.波利亚在《怎样解题》中说过:
数学解题是命题的连续变换。
可见,解题过程是通过问题的转化才能完成的。
转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。
那么怎样转化呢,概括地讲,就是把复杂问题转化成简单问题,把抽象问题转化成具体问题,把未知问题转化成已知问题。
在解题时,观察具体特征,联想有关问题之后,就要寻求转化关系。
2例1如果函数f?
x?
bx?
c对任意实数t都有f=f,比较
f,f,f的大小关系解析转化为在同一个单调区间上比较大小问题.
由f=f知f的对称轴为x=2.
?
f在,2,+?
)上为单调增函数.
f=f=f,
?
f?
f解设全集U={m|Δ=16m2-8m-24?
0}
方程x2-4mx+2m+6=0的两根均非负的充要条件是
?
m?
U,3?
可得m?
.?
4m?
0,2?
2m?
6?
0,?
?
A?
R?
?
?
时,
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实数m
?
A?
R?
?
?
时,
实数m的取值范围为{m|m?
-1}.
思维变通性的对立面是思维的保守性,即思维定势。
思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后,往往会用同样的思维方法解决以后的问题。
它表现就是记类型、记方法、套公式,使思维受到限制,它是提高思维变通性的极大的障碍,必须加以克服。
综上所述,善于观察、善于联想、善于进行问题转化,是数学思维变通性的具体体现。
要想提高思维变通性,必须作相应的思维训练。
第二课时
数学解题思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始,从经过探索思路,转换问题直至解决问题,进行回顾的全过程的思维活动。
在数学中,通常可将解题过程分为四个阶段:
第一阶段是审题。
包括认清习题的条件和要求,深入分析条件中的各个元素,在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息,建立习题的条件、结论与知识和经验之间的联系,为解题作好知识上的准备。
第二阶段是寻求解题途径。
有目的地进行各种组合的
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试验,尽可能将习题化为已知类型,选择最优解法,选择解题方案,经检验后作修正,最后确定解题计划。
第三阶段是实施计划。
将计划的所有细节实际地付诸实现,通过与已知条件所选择的根据作对比后修正计划,然后着手叙述解答过程的方法,并且书写解答与结果。
第四阶段是检查与总结。
求得最终结果以后,检查并分析结果。
探讨实现解题的各种方法,研究特殊情况与局部情况,找出最重要的知识。
将新知识和经验加以整理使之系统化。
所以:
第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心,是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程,是思维策略的选择和调整过程。
第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现,它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达,是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视,它是发展数学思维的一个重要方面,是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
在制定计划寻求解法阶段,最好利用下面这套探索方法:
设法将题目与你会解的某一类题联系起来。
或者尽可
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能找出你熟悉的、最
符合已知条件的解题方法。
记住:
题的目标是寻求解答的主要方向。
在仔细分析目标时即可尝试能否
用你熟悉的方法去解题。
解了几步后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较。
用这种办法
检查解题途径是否合理,以便及时进行修正或调整。
《趣味数学》目录
第1课时集合中的趣题—“集合”与“模糊数学?
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第2课时函数中的趣题—一份购房合同?
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第3课时函数中的趣题—孙悟空大战牛魔王?
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第4课时三角函数的趣题—直角三角形?
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第5课时三角函数的趣题—月平均气温问题?
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第6课时数列中的趣题—柯克曼女生问题?
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第7课时数列中的趣题—数列的应用?
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11第8课时不等式性质应用趣题―两边夹不等式的推广及趣例?
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1第9课时不等式性质应用趣题―均值不等式的应用?
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1第10课时立体几何趣题—正多面体拼接构成新多面体面数问题?
1第11课时立体几何趣题—球在平面上的投影?
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112课时解析几何中的趣题―神奇的莫比乌斯圈?
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113课时解析几何中的趣题―最短途问题?
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14课时排列组
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合中的趣题―抽屉原理?
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15课时排列组合中的趣题―摸球游戏?
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第16课时概率中的趣题?
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第17课时简易逻辑中的趣题?
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第18课时解数学题的策略?
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第1课时集合中的趣题——
“集合”与“模糊数学”
教学要求:
启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造
地解决问题;
教学过程:
一、情境引入
1965年,美国数学家扎德发表论文《模糊集合》,开辟了一门新的数学分支——模糊数
学。
二、实例尝试,探求新知
模糊数学是经典集合概念的推广。
在经典集合论当中,每一个集合都必须由确定的元素构成,元素对于集合的隶属关系是明确的,这一性质可以用特征函数:
?
A?
x?
?
?
1,0,
来描述。
扎德将特征函数?
A改成所谓的“隶属函数”
?
A:
0?
?
A?
1,,这里A称为“模糊函数”,?
A?
x?
称为x对A的“隶属度”。
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?
A?
x?
=1经典集合论要求隶属度只能取0,1二值,模糊集合论则突破了这一限制,
时表示百分之百隶属于A;?
A?
x?
=0时表示不属于A还可以有百分之二十隶属于A,
百分之八十不隶属于A?
?
等等,这些模糊集合为对由于外延模糊而导致的事物是非判断上的上的不确性提供了数学描述。
由于集合论是现代数学的重基石,因此,模糊数学的概念对数学产生了广泛的影晌,人们将模糊集合引进数学的各个分支,从而出现了模糊拓扑、模糊群论、模糊测度与积分、模糊图论等等,它们一起形成通常所称的模糊数学,模糊数学是20世纪数学发展中的新新事物,它在理论上还不够成熟,方法上也未臻统一,它将随着计算机科学的发展而进一步发展。
例1、学校先举办了一次田径运动会,某班有8名同学参加,又举办了一次球类运动会,这个班有12名同学参加,那么这两次运动会这个班共有多少名同学参赛,
?
如果有5名同学两次运动会都参加了,问这两次运动会这个班共有多少名同学参赛,
?
如果每一位同学都只参加一次运动会,问这两次运动会这个班共有多少名同学参赛,
解析:
可能有的同学两次运动会都参加了,因此,不能简单地用加法解决这个问题。
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因为这5名同学在统计人数时,计算了两次,所以要减去(+1–=15(
+1=0.这两次运动会这个班共有20名同学参赛.
三、本课小结
通过“模糊数学”了解到数学的发展是靠坚忍不拔的意志,实事求是的科学学习
态度和勇于创新的精神而进步的。
四、作业
下列各组对象能否形成集合,高一年级全体男生;高一年级全体高个子男生;所有数学难题;不等式x?
2?
0的解;
第2课时函数中的趣题——
一份购房合同
教学要求:
能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题,发展学生数学应用能力.教学过程:
一、情境引入
最早把”函数”这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨,但其含义和现在不同,他把函数看成是”像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量”.1718年,瑞士数学家约翰。
贝努利将函数概念公式化,给出了函数的一个定义,同时第一次使用了”变量”这个词。
他写到:
”变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量。
”他的学生,瑞士数学家欧拉将约翰。
贝
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努利的思想进一步解析化,他在《无限小分析引论》中将函数定义为:
”变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式”,欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位。
二、实例尝试,探求新知
例1、陈老师急匆匆的找我看一份合同,是一份下午要签字的购房合同。
内容是陈老师购买安居工程集资房72m2,单价为每平方米1000元,一次性国家财政补贴28800元,学校补贴14400元,余款由个人负担。
房地产开发公司对教师实行分期付款,每期为一年,等额付款,分付10次,10年后付清,年利率为7.5%,房地产开发公司要求陈老师每年付款4200元,但陈老师不知这个数是怎样的到的。
同学们你们能帮陈老师算一算么,
解析:
陈老师说自己到银行咨询,对方说算法是假设每一年付款为a元,那么10年后第一年付款的本利和为1.0759a元,同样的方法算得第二年付款的本利和为1.0758a元、第三年为1.0757a元,?
,第十年为a元,然后把这10个本利和加起来等于余额部分按年利率为7.5%计算10年的本利,即1.0759a+1.0758a+1.0757a+?
+a
10=×1.075,解得的a的值即为每年应付的款额。
他不能理解
的是自己若按时付款,为何每期的付款还要计算利
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息,我说银行的算法是正确的。
但不妨用这种方法来解释:
假设你没有履行合同,即没有按年付每期的款额,且10年中一次都不付款,那么第一年应付的款额a元到第10年付款时,你不仅要付本金a元,还要付a元所产生的利息,共为1.0759a元,同样,第二年应付的款额a元到第10年付款时应付金额为1.0758a元,第三年为1.0757a元,?
,第十年为a元,而这十年中你一次都没付款,与你应付余款72×1000-28800-14400在10年后一次付清时的本息是相等的。
仍得到1.0759a+1.0758a+1.0757a+?
+a=×1.07510(用这种方法计算的a值即为你每年应付的款额。
例2、经调查得知,若我们把每日租金定价为160元,则可客满;而租金每涨20元,就会失去3位客人。
每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。
我们该如何定价才能赚最多的钱,
解析:
日租金360元。
虽然比客满价高出200元,因此失去30位客人,但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入;扣除50间房的支出40*50=2000元,每日净赚16000元。
而客满时净利润只有160*80-40*80=9600
元
三、本课小结
通过本课学习我们认识到,生活是多面的,我们在研究一个问题时,可以多角度、多层次的思考,如若正面不行,
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亦可利用反面思考
四、作业
家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层(臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式Q?
Q0e?
0.0025t,其中Q0是臭氧的初始量,t是所经过的时间(
1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少,
2)多少年后将会有一半的臭氧消失,
第3课时函数中的趣题——
孙悟空大战牛魔王
教学要求:
体会数学在实际问题中的应用价值(
教学过程:
一、故事引入
孙悟空大战牛魔王。
牛魔王不是孙悟空的对手,力倦神疲,败阵而逃。
可是,牛魔王不简单,他会变。
他见悟空紧紧追赶,便随身变成一只白鹤,腾空飞去。
悟空一见,立刻变成一只丹凤,紧追上去。
牛魔王一想:
凤是百鸟之王,我这只白鹤那里斗得过这个丹凤,~他无可奈何,只好飞下山崖,变作一只香獐,装着悠闲的样子,在崖前吃草。
悟空心里想:
好牛精,你休想混过我老孙的火眼金睛~他马上变作一只饿虎,猛扑过去。
牛魔王心慌,赶快变了个狮子,来擒拿饿虎。
悟空看得分明,就地一滚,变成一只巨象,撒开
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长鼻,去卷那头狮子。
牛魔王拿出绝招,现出原形,原来是一头大白牛。
这白牛两角坚似铁塔,身高八千余丈,力大无穷。
他对悟空说:
“你还能把我怎样,”只见悟空弯腰躬身,大喝一声“长”~立即身高万丈,手持大铁棒朝牛魔王打去。
牛魔王见势不妙,只好复了本象相,急忙逃去。
孙悟空与牛魔王杀得惊天动地,惊动了天上的众神,前来帮助围困牛魔王。
牛魔王困兽犹斗,又变成一头大白牛,用铁角猛顶托塔天王,被哪吒用火轮烧得大声吼叫,最后被天王用照妖镜照定,动弹不得,只得连声求饶,献出芭蕉扇,扇灭火焰山烈火,唐僧四人翻越山岭,继续往西天取经
二、实例尝试,探求新知
这段故事很吸引人,而且它和初中代数中所学的函数概念有关。
首先,就从这个“变”字谈起。
孙悟空和牛魔王都神通广大,都能变。
他们能变
飞禽、走兽;大喝一声,身躯能“顶天立地”,也可变成一个小虫儿。
当然,这些都是神话,不是真情实事。
不过,世界上一切事物的确无有不在变化着的。
既然物质在变化,表示它们量的大小的数,自然也要随着而变化了。
这就告诉我们,要从变化的观点来研究数和量以及它们之间的关系。
其次,我们再来看一看,是不是所有的量在任何情况下,都始终变化着的呢,不是的。
研究问题的某个特定过程
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中,在一定的范围内,有的数量是保持不变的。
或者,虽然它也在变,但变化微小,我们把它看成是不变的。
还是用唐僧师徒来做例子。
孙悟空的本事最大,能七十二变;唐僧最没用,一点也不会变,所以妖怪一看就认得他。
都想吃他的肉。
在代数中,把研究某一问题过程中不断变化着的量叫做变量,孙悟空就好象是一个“变量”;把一定范围内保持不变的量叫做常量,唐僧就好象是一个“常量”。
例1、1202年,意大利比萨的数学家斐波那契在他所著的《算盘书》里提出了这样一个有趣的问题:
假定1对一雌一雄的大兔,每月能生一雌一雄的1对小兔,每对小兔过两个月就能长成大兔。
那么,若年初时有1对小兔,按上面的规律繁殖,并且不发生死亡等意外情况,1年后将有多少对兔子,
解析:
第一个月时,有小兔1对;第二个月时,小兔还没有长大,因此兔子数仍是1对;第三个月时,小兔已长成大兔,并且生下1对小兔,这时兔子数是2对;第四个月时,原来的兔子又生了1对小兔,但上个月刚生的小兔尚未成熟,这时兔子数是3对;第五个月时,原来的兔子又生了1对小兔,第三个月出生的小兔这时也已长大并且也生了1对小兔,因此共有兔子5对;一直这样推算下去,可以得到下面的表:
如果仔细观察,就不难发现其中的规律:
从第三个月份起,每个月的兔子对数都
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