各章作业及答案.docx
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各章作业及答案
第一章线性规划及其对偶问题
某厂
第三章运输问题
3.4某厂按合同规定必须于每个季末分别完成10、15、25、20台某种产品。
已知该厂各季度生产能力以及每件产品成本如下表所示。
又已知,如果生产出来的产品当季不交货,每件产品积压一个季度需支出储存和维护费用0.15万元。
试运用运输问题有关方法制定使该厂全年生产、储存和维护费用最小的生产计划方案。
季度
生产能力(件)
单件成本(万元)
1
2
3
4
25
35
30
10
10.8
11.1
11.0
11.3
解题:
1、由题意可得产销平衡和单位费用矩阵如下表(aij表示第i季度生产第j季度交货的所有费用,M为任意大的整数)。
aij
季度1
季度2
季度3
季度4
总供应
季度1
10.8
10.95
11.1
11.25
25
季度2
M
11.1
11.25
11.4
35
季度3
M
M
11.0
11.15
30
季度4
M
M
M
11.3
10
总需求
10
15
25
20
2、由此可知该问题可视为产大于销的产销不平衡的运输问题。
因此增加一假想的需求地D,得到新的产销平衡和单位费用矩阵如下:
aij
季度1
季度2
季度3
季度4
D
总供应
季度1
10.8
10.95
11.1
11.25
0
1
25
季度2
M
11.1
11.25
11.4
0
8
35
季度3
M
M
11.0
11.15
0
6
30
季度4
M
M
M
11.3
0
5
10
总需求
8
10
4
15
3
25
7
20
2
30
3、根据最小元素法确定出示运输方案如下:
aij
季度1
季度2
季度3
季度4
D
总供应
季度1
25
25
季度2
10
15
5
5
35
季度3
25
5
30
季度4
10
10
总需求
10
15
25
20
30
4、计算检验数(以位势法为例)
(1)将初始方案中的数字换成单位运价表种对应的数字并计算位势得下
表:
aij
季度1
季度2
季度3
季度4
D
ui
季度1
(M)
(11.1)
(11.25)
(11.4)
0
M-1
季度2
M
11.1
(11.25)
11.4
0
M-1
季度3
(M-0.25)
(10.85)
11.0
11.15
(-0.25)
M-1.25
季度4
(M-0.1)
(11)
(11.15)
11.3
(-0.1)
M-1.1
vj
1
-M+12.1
-M+12.25
-M+12.4
-M+1
(2)将单位运价表的数字减去上表对应的数字的检验数表如下:
aij
季度1
季度2
季度3
季度4
D
季度1
10.8-M
-0.05
-0.15
-0.15
0
季度2
0
0
0
0
0
季度3
0.25
M-10.85
0
0
0.25
季度4
0.1
M-11
M-11.15
0
0.1
(3)存在负的检验数,必须对初始方案进行调整。
由检验数绝对值最大的10.8-M对应的空格调整初始方案的新的方案如下表:
aij
季度1
季度2
季度3
季度4
D
总供应
季度1
10
15
25
季度2
15
5
15
35
季度3
25
5
30
季度4
10
10
总需求
10
15
25
20
30
5、重新计算检验数(以位势法为例)
(1)将初始方案中的数字换成单位运价表种对应的数字并计算位势,得下
表:
aij
季度1
季度2
季度3
季度4
D
ui
季度1
10.8
(11.1)
(11.25)
(11.4)
0
9.8
季度2
(10.8)
11.1
(11.25)
11.4
0
9.8
季度3
(10.55)
(11.25)
11.0
11.15
(-0.25)
9.55
季度4
(10.7)
(11)
(11.15)
11.3
(-0.1)
9.7
vj
1
1.3
1.45
1.6
-9.8
(2)将单位运价表的数字减去上表对应的数字的检验数表如下:
aij
季度1
季度2
季度3
季度4
D
季度1
0
-0.15
-0.15
-0.15
0
季度2
10.8
0
0
0
0
季度3
0.55
M-11.25
0
0
0.25
季度4
10.7
M-11
M-11.15
0
0.1
(3)存在负的检验数,必须对初始方案进行调整。
由检验数-0.15对应的空格调整初始方案的新的方案如下表:
aij
季度1
季度2
季度3
季度4
D
总供应
季度1
10
15
25
季度2
0
5
30
35
季度3
25
5
30
季度4
10
10
总需求
10
15
25
20
30
6、重新计算检验数(以位势法为例)
(1)将初始方案中的数字换成单位运价表种对应的数字并计算位势,得下
表:
aij
季度1
季度2
季度3
季度4
D
ui
季度1
10.8
10.95
(11.1)
(11.25)
(-0.15)
9.8
季度2
(10.95)
11.1
(11.25)
11.4
0
9.95
季度3
(10.7)
(10.85)
11.0
11.15
(-0.25)
9.7
季度4
(10.85)
(11)
(11.15)
11.3
(-0.1)
9.85
vj
1
1.15
1.3
1.45
-9.95
(2)将单位运价表的数字减去上表对应的数字的检验数表如下:
aij
季度1
季度2
季度3
季度4
D
季度1
0
0
0
0
0.15
季度2
M-10.95
0
0
0
0
季度3
M-10.7
M-10.85
0
0
0.25
季度4
M-10.85
M-11
M-11.15
0
0.1
7、所有检验数为正数,因此得到了最优生产计划方案:
aij
季度1
季度2
季度3
季度4
D
总供应
季度1
10
15
25
季度2
0
5
30
35
季度3
25
5
30
季度4
10
10
总需求
10
15
25
20
30
按该方案生产每年的总费用为:
10*10.8+15*10.95+5*11.4+25*11+5*11.15+10*11.3=773(万元)
生产计划为:
第一季度生产25件,10件当季交货,15件第二季度交货;第二季度生产5件,第4季度交货;第三季度生产30件,25件当季交货,5件第4季度交货;第四季度生产10件。
第四章整数规划与分配问题
4.1试利用逻辑变量将下列问题表示为一般线性约束条件。
(c)
解题:
定义
,M为任意大的正数,
则问题可表示为:
(d)以下四个约束条件中至少满足两个:
解题:
定义
,M为任意大的正数,
则问题可表示为:
4.4(a)某分配问题的效率矩阵如下,试用匈牙利法求其最优解。
解题:
令k=2,构造新的矩阵如下:
最优解为:
x15=x23=x32=x44=x51=1;最优解值为:
3+2+4+3+9=21
4.4(b)某分配问题的效率矩阵如下,试用匈牙利法求其最优解。
解题:
最优解为:
x11=x22=x35=x44=x53=1或x14=x22=x35=x41=x53=1;
最优解值为:
3+1+3+2+2=11。
4.8(b)用分枝定界法求下列整数规划问题(图解)。
解题:
7
6
5
4
3
2
1
012345678x1
x2
(3.5,1.8),Z=5.3
分枝,令
7
6
5
4
3
2
1
012345678x1
x2
x2=2
x2=1
(3,2),Z=5
(4,1),Z=5
(5,0),Z=5
如图所示,有三个最优解(3,2)、(4,1)、(5,0),最优解值为5。
第五章目标规划
5.3(a)用图解法求下列目标规划问题
d1+
d1-
d2+
d2-
0
10
5
5
10
d3+
d3-
A
B
C
D
E
F
x1
x2
解题:
最优解为连接点D(2,4)和F(10/3,10/3)的线段。
得分点:
包括4根直线的平面坐标图
三组偏差变量图示
可行域:
ΔAOB
可行域:
ΔAOC
可行域:
线段EF
最优解连接点D(2,4)和F(10/3,10/3)的线段
5.6某工厂生产甲、乙两种型号的微电脑,它们均需经过两道加工工序,其加工时间、销售利润以及该厂每周最大加工能力如下表所示。
产品
单耗
工序
甲
乙
每周最大生产能力
工序1(小时/台)
4
6
150小时
工序2(小时/台)
3
2
75小时
利润(元/台)
300
450
又已知工厂经营目标的优先等级分别为:
P1:
每周总利润不低于10000元;P2:
合同要求甲型号电脑每周至少生产10台,乙型号电脑每周至少生产15台;P3:
工序1每周生产时间恰好为150小时,工序2生产时间可适当超过其能力。
该厂应如何安排两种型号电脑的周产量以使获利最多。
试建立该问题的数学模型。
解题:
设分别用x1、x2表示每周甲、乙两种型号电脑的生产量。
第六章图与网络分析
6.10某企业购买一台设备准备以后4年内使用。
已知各年年初新设备的购置费用以及不同役龄设备的年使用维护费和年末处理价如下表。
为了用最短路方法求得使企业4年内用于购买、更换以及使用维护的总费用为最省的设备的最优更新策略,试列出该问题的网络图模型。
年份
第一年
第二年
第三年
第四年
年初购置费
2.5万元
2.6万元
2.8万元
3.1万元
设备役龄
0~1
1~2
2~3
3~4
年使用维护费
0.3万元
0.5万元
0.8万元
1.2万元
该役龄年末处理价
2.0万元
1.6万元
1.3万元
1.1
解题:
设用点vi(i=1,2,3,4,5)表示“第i年年初购进一台设备”;弧(vi,vj)表示第i年年初购进的设备一直使用到第年j年初。
则有:
第一年年初购买的设备使用到第二年年初更新的总费用为:
2.5+0.3-2.0=0.8万元
第一年年初购买的设备使用到第三年年初更新的总费用为:
2.5+0.3+0.5-1.6=1.7万元
第一年年初购买的设备使用到第四年年初更新的总费用为:
2.5+0.3+0.5+0.8-1.3=2.8万元
第一年年初购买的设备使用到第五年年初(第四年年末)更新的总费用为:
2.5+0.3+0.5+0.8+1.2-1.1=4.2万元
第二年年初购买的设备使用到第三年年初更新的总费用为:
2.6+0.3-2.0=0.9万元
第二年年初购买的设备使用到第四年年初更新的总费用为:
2.6+0.3+0.5-1.6=1.8万元
第二年年初购买的设备使用到第五年年初更新的总费用为:
2.6+0.3+0.5+0.8-1.3=2.9万元
第三年年初购买的设备使用到第四年年初更新的总费用为:
2.8+0.3-2.0=1.1万元
第三年年初购买的设备使用到第五年年初更新的总费用为:
2.8+0.3+0.5-1.6=2.0万元
第四年年初购买的设备使用到第五年年初更新的总费用为:
3.1+0.3-2.0=2.4万元
网络图模型如下图
1
2
3
4
5
4.2
1.7
0.9
2.8
2.9
1.1
0.8
1.8
2.0
1.4
5(5)
3(3)
6(4)
3(3)
3
(2)
2(0)
5(4)
4(4)
2
(2)
2(0)
6(6)
8(6)
vs
v1
v2
v3
v4
v5
vt
6.13用标号算法求下列容量网络从vs到vt的最大流,并标出网络的最小割。
5(5)
3(3)
6(4)
3(3)
3
(2)
2(0)
5(4)
4(4)
2
(2)
2(0)
6(6)
8(6)
vs(0,∞)
v1(vs,2)
v2(v1,1)
v3(v2,1)
v4(v3,1)
v5(v4,1)
vt(v5,1)
解题:
1.标号如下图。
2.由图可知,vt得到了标号,因此有反向追踪法可得一条增广链,如图虚线所示。
3.通过对增广链进行调整,得到新的可行流如下图所示。
4.重新进行标号。
可知,对vs,v1进行标号后,标号中断。
因此可得最小割为{(vs,v1),(vs,v3),(v1,v2)};网络最大流=最小割的容量=5+5+3=13
5(5)
3(3)
6(5)
3
(1)
3(3)
2(0)
5(5)
4(4)
2
(1)
2(0)
6(6)
8(7)
vs(0,∞)
v1(vs,1)
v2
v3
v4
v5
vt
6.5分别用避圈法和破圈法求下图的最小部分树。
3
1
4
2
5
2
3
2
3
2
4
解题:
1.避圈法(本题得到最优解的过程具有多种形式,但最优解结果只有一种)
3
1
4
2
5
2
3
2
3
2
4
3
1
4
2
5
2
3
2
3
2
4
3
1
4
2
5
2
3
2
3
2
4
3
1
4
2
5
2
3
2
3
2
4
3
1
4
2
5
2
3
2
3
2
4
3
1
4
2
5
2
3
2
3
2
4
图中粗线所示即为最小部分树,最小树长为:
1+2+2+2+2+3=12
1
4
2
5
2
3
2
3
2
4
2.避圈法(得到最优解的过程具有多种形式,但最优解结果只有一种)
图中所示即为最小部分树,最小树长为:
1+2+2+2+2+3=12
1
2
2
2
3
2
3
1
4
2
5
2
3
2
3
2
3
1
4
2
5
2
2
3
2
4
3
1
2
5
2
3
2
3
2
4
3
1
4
2
5
2
3
2
3
2
4
。
第七章计划评审技术与关键路线法
7.3试计算下列PERT网络图的以下时间参数
(1)最早开始时间,
(2)最迟完成时间,(3)总时差;并找出关键路线。
解题:
各时间参数计算如下图所示。
关键路线见粗线所示。
1
2
5
8
9
7
4
3
6
0
2
2
8
4
3
0
8
3
2
1
7
4
7
5
8
8
8
4
12
12
8
8
13
2
15
20
20
20
15
16
16
16
8
8
13
13
5
8
5
(3)
(0)
(1)
(3)
(0)
(3)
(1)
(3)
(1)
(5)
(0)
(3)
(0)
(6)
作业
tES(i,j)
tES(i,j)
R(i,j)
(1,2)
0
5
3
(1,3)
0
5
1
(1,4)
0
8
0
(2,5)
2
8
3
(3,6)
4
13
1
(4,5)
8
8
0
(4,6)
8
13
3
(4,7)
8
16
5
(5,7)
8
16
6
(5,8)
8
15
0
(6,7)
12
16
3
(6,9)
12
20
1
(7,9)
13
20
3
(8,9)
15
20
0
指出下列PERT网络图的错误并改正。
3
6
1
4
7
2
5
a
i
e
d
c
f
h
g
b
解题:
存在以下错误
(1)工序a、b具有相同的箭尾节点与箭头节点,应在1、3之间增加一个节点和一道虚工序;
(3)工序a、e、d构成了循环,应去掉一项作业;
(4)虚工序2-4不必要,应省略;
(5)有两个始点和两个终点,应合并为一个终点、一个始点。
改正后的网络图也可用图表示。
第八章动态规划
8.2有6万元的资金用于四个工厂的扩建,已知每个工厂的利润增长额同投资额之间的关系数据如下表。
单位:
百元
利润增长额
工厂
投资额
0
1
2
3
4
5
6
工厂1
0
20
42
6
75
85
90
工厂2
0
25
45
57
65
70
73
工厂3
0
18
39
61
78
90
95
工厂4
0
28
47
65
74
80
85
试运用动态规划的方法确定使总的投资利润增长额最大的工厂扩建投资方案。
解题:
将6万元投资于四个工厂看成分四个阶段进行投资。
可得
(1)各阶段的允许决策集合为uk={0,1,2,3,4,5,6}(万元)(k=1,2,3,4)
(2)状态转移方程为:
xk+1=xk-uk
(3)用pk(uk)表示k阶段投资额为uk时的利润增长额,则阶段指标函数为:
k=4时,
u4
x4
f4(x4)=p4(u4)
f4(x4)
u4*
0
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
1
0
28
28
1
2
0
28
47
47
2
3
0
28
47
65
65
3
4
0
28
47
65
74
74
4
5
0
28
47
65
74
80
80
5
6
0
28
47
65
74
80
85
85
6
k=3时,
u3
x3
f3(x3)=p3(u3)+f4(x3-u3)
f3(x3)
u3*
0
1
2
3
4
5
6
0
0+0
0
0
1
0+28
18+0
28
0
2
0+47
18+28
39+0
47
0
3
0+65
18+47
39+28
61+0
67
2
4
0+74
18+65
39+47
61+28
78+0
89
3
5
0+80
18+74
39+65
61+47
78+28
90+0
108
3
6
0+85
18+80
39+74
61+65
78+47
90+28
95+0
126
3
k=2时,
u2
x2
f2(x2)=p2(u2)+f3(x2-u2)
f2(x2)
u2*
0
1
2
3
4
5
6
0
0+0
0
0
1
0+28
25+0
28
0
2
0+47
25+28
45+0
53
1
3
0+67
25+47
45+28
57+0
73
2
4
0+89
25+67
45+47
57+28
65+0
92
1、2
5
0+108
25+89
45+67
57+47
65+28
70+0
114
1
6
0+126
25+108
45+89
57+67
65+47
70+28
73+0
134
2
k=1时,
u1
x1
f1(x1)=p1(u1)+f2(x1-u1)
f1(x1)
u1*
0
1
2
3
4
5
6
0
0+0
0
0
1
0+28
20+0
28
0
2
0+53
20+28
42+0
53
0
3
0+73
20+53
42+28
60+0
73
0、1
4
0+92
20+73
42+53
60+28
75+0
95
2
5
0+114
20+92
42+73
60+53
75+28
85+0
115
2
6
0+134
20+114
42+92
60+73
75+53
85+28
90+0
134
0/1/2
当x1=6万元时,u1*=0或1或2
u1*=0时,x2=6,u2*=2,x3=4,u3*=3,x4=1,u4*=1;
u1*=1时,x2=5,u2*=1,x3=4,u3*=3,x4=1,u4*=1;
u1*=2时,x2=4,u2*=1或2,
u2*=1时,x3=3,u3*=2,x4=1,u4*=1;
u2*=2时,x3=2,u3*=0,x4=2,u4*=2。
由此可得,此问题有4个最优解:
最优解1为:
u1*=0,u2*=2,u3*=3,u4*=1,f*=134。
最优解2为:
u1*=1,u2*=1,u3*=3,u4*=1,f*=134。
最优解3为:
u1*=2,u2*=1,u3*=2,u4*=1,f*=134。
最优解4为:
u1*=2,u2*=2,u3*=0,u4*=2,f*=134。
8.3
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