复变函数试题库doc.docx
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复变函数试题库doc
《复变函数论》试题库
梅一A111
《复变函数》考试试题
(一)
dzl、
|zzO|l(zzn
・(n为自然数)
0)
2
2
2.sin
zcos
z.
3.函数sinz的周期为・
f⑵
14.设
z2
b则
f(z)
的孤立奇点有.
5.幕级数nzn
的收敛半径为•
n0
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是
limzlim
zlz2…zn
7.若
n
n
贝I」
zRes(
ez
n
0)
&
其中n为自然数.
9.
sinz的孤立奇点为.
z
limf(z)
10.若zO是
f(z)的极点,则zzO
■
三.计算题(40分):
f(z)
11•设
(zl)(z2)
求f(z)在
D
{z:
0|z|1}
内的罗朗展式.
12.
|z|1
COSZ
dz.
2
3.设
f⑵
371
C
z
d
其中C{z:
|z|3},试求f(li).
w
z1
4.求复数
z1的实部与虚部.
四•证明题.(20分)
1.函数
f(z)在区域D内解析.证明:
如果|f(z)|在D内为常数,
那么它在D内为常数.
2.试证
:
f(z)
在割去线段0Rez1的Z平面内能分出两
个单值解析分支,并求出支割线0Rez1上岸取正值的那支在z1的值.
《复变函数》考试试题
(二)
二填空题.(20分)1.设zi,则|z|_,argz_,_
2.
设
f(z)(x2
2xy)i(lsin(x2
y2
),zxiyC
lim
f(z)z1i3.
dz|zz
0|1
(zzn
.(n为自然数)
0)
4.幕级数nzn
的收敛半径为・
n0
5.若zO是f(z)的m阶零点且m>0,则zO是f(z)的零点.6.函数ez的周期为
7.方程2z5
z3
3z80在单位圆内的零点个数为.&设f(z)
11z
则f(z)的孤立奇点有.
9.函数f(z)|z|的不解析点之集为・
10.
Res(
zlz
4
1)—
■
三•计算题.(40分)
3
1.求函数sin(2z)的幕级数展开式.
则
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数
Z
在正
实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点zi处的值.
3.计算积分:
I
■
1
|z|dz,积分路径为
(1)单位圆(|z|1)
的右半圆.
sinz
z2
(z
4.求
)
四.证明题.(20分)
1.设函数f(z)在区域D内解析,试证:
f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.
2.试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题(三)
二•填空题.(20分)1.设f(z)
lz2
1
则f(z)的定义域为•
2.函数ez
的周期为.
3.若zn2n
n1n
i(l
In
),贝!
Jlimznn
4.sin
2
zcos2
z.
5.
dz|zz0|1
(zzn
.(n为自然数)
0)
5.幕级数nxn
的收敛半径为
n0
6.设
f(z)
lz2
1
则f(z)的孤立奇点有
&设ez
1,则z
9.若zO是
f(z)的极点,则limf(z)
■
zzO
zlO.Res(
ez
n
0)—
■
三•计算题.(40分)
1
1.
内展为Laurent级数
将函数f(z)z2cz在圆环域0z
2.试求幕级数
n!
n
n
z的收敛半径.
n
3.算下列积分:
edz|z|1.
C
z2(z2
,其中9)
C是4.求z
9
2z6
z2
8z20在|z| 四•证明题.(20分) 1.函数 f(z)在区域D内解析.证明: 如果|f(z)|在D 内为常 数,那么它在D内为常数・2.设 f(z)是一整函数,并且假定存在着一个止整数n,以及两个止数R及M,使得当| z|R时 If⑵|M|z| n 证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。 《复变函数》考试试题(四) 二填空题.(20分)1.设z 11i 则Rez_,Imz .2.若limzzlz2...zn n,则lim n n 3.函数ez的周期为.4.函数f(z) 11z 2 的幕级数展开式为 5.若函数f(z)在复平面上处处解析,则称它是 6.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的 .7.设C : |z|1,贝! JC (zl)dz ■ 8. sinz的孤立奇点为・ z 9•若zO是 f(z)的极点,则limf(z) ■ zzO zlO. Res( ez n 0) 三•计算题.(40分) 1.解方程z3 10. z 2.设f(z) e z2 1 求Rcs(f(z),). 3. z忆I2 (9z2 )(zi) dz.. 1 1 3.函数f(z)cz lz有哪些奇点? 各属何类型(若是极点,指明它的阶数). 四•证明题・(20分) 1.证明: 若函数 f(z)在上半平面解析,则函数f()在下半平面解 析. 2.证明z4 6z30方程在1|z|2内仅有3个根. 《复变函数》考试试题(五) 二•填空题.(20分)1.设z 13i,贝i」|z|_,argz_,_ ■ 2.当z时,ez 为实数.— 3.设ez 1,则z 4. e z 的周期为_• 4.设C : |z|1,贝I」C (z1)dz 6. Res( elz 0)— ■ 7.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的o&函数f(z) 1 1z 2 的幕级数展开式为・ 9. sinz的孤立奇点为. z 10.设C是以为a心,「为半径的圆周,则 1C (za) n dz (n为自然数)三.计算题.(40分)z11.求复数的实部与虚部. Z1 2.计算积分: I L Rezdz, 在这里L表示连接原点到1i的直线段.2 3. 求积分: di 12acosa 2
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