二次函数知识点及经典例题详解最终.docx
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二次函数知识点及经典例题详解最终
二次函数知识点总结及经典习题
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:
一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数a≠0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2.二次函数y=ax2+bx+c的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
⑵a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式:
y=ax2的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(0,0)
y轴
x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随
x的增大而减小;x=0时,y有最小值0.
a<0
向下
(0,0)
y轴
x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随
x的增大而增大;x=0时,y有最大值0.
2.y=ax2+c的性质:
上加下减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(0,c)
y轴
x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随
x的增大而减小;x=0时,y有最小值c.
a<0
向下
(0,c)
y轴
x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随
x的增大而增大;x=0时,y有最大值c.
3.y=a(x-h)2的性质:
左加右减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(h,0)
X=h
x>h时,y随x的增大而增大;x x的增大而减小;x=h时,y有最小值0. a<0 向下 (h,0) X=h x>h时,y随x的增大而减小;x x的增大而增大;x=h时,y有最大值0. 4.y=a(x-h)2+k的性质: a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a>0 向上 (h,k) X=h x>h时,y随x的增大而增大;x x的增大而减小;x=h时,y有最小值k. a<0 向下 (h,k) X=h x>h时,y随x的增大而减小;x x的增大而增大;x=h时,y有最大值k. 三、二次函数图象的平移 1.平移步骤: ⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标(h,k); ⑵保持抛物线y=ax2的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法如下: 2.平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”. 四、二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的比较 从解析式上看,y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得 到前者,即y=a + ,其中h=- ,k= 五、二次函数y=ax2+bx+c的性质 当a>0时,抛物线开口向上,对称轴为x=- 顶点坐标为 . 当x<- 时,y随x的增大而减小; 当x>- 时,y随x的增大而增大; 当x=- 时,y有最小值 . 2.当α<0时,抛物线开口向下,对称轴为x=- 顶点坐标为 .当 x<- 时,y随x的大而增大y;当随x>- 时,y随x的增大而减小;当x=- 时,y有最大值 . 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式: y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0); 2.顶点式: y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0); 3.两根式(交点式): y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标). 注意: 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b2-4ac≥0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a ⑴当a>0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大; ⑵当a<0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大. 2.一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.(同左异右b为0对称轴为y轴) 3.常数项c ⑴当c>0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; ⑵当c=0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0; ⑶当c<0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置. 八、二次函数与一元二次方程: 1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况): 一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数: ①当∆=b2-4ac>0时,图象与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1≠x2),其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根. ②当∆=0时,图象与x轴只有一个交点; ③当∆<0时,图象与x轴没有交点. 1'当a>0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y>0; 2'当a<0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y<0. 2.抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c); 中考题型例析 1.二次函数解析式的确定 例1求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); (2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8; (3)图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6. 分析: 此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解. (1)解: 设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得 解得 ∴解析式为y=x2+2. (2)解法1: 由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8). 设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8.把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8, ∴a=2.即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6. 解法2: 设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上,把x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2, ∴解析式为y=2x2-4x-6. 解法3: ∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为: y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a. ∵函数有最小值-8. ∴ =-8. 又∵a≠0,∴a=2. ∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6. (3)解: 由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,又∵图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6. 由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0),设出两根式y=a(x-x1)·(x-x2),将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8. 点评: 一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k来求解;若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x1)(x-x2). 2.二次函数的图象 例2y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点M(a,bc)在(). A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 分析: 由图可知: 抛物线开口向上⇒a>0. 抛物线与y轴负半轴相交⇒c<0b ⎬ ⇒bc>0. 对称轴x=-2a在y轴右侧⇒b<0⎪ ∴点M(a,bc)在第一象限.答案: A. 点评: 本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、c的符号. 例3已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是(). 分析: 一次函数y=ax+c,当a>0时,图象过一、三象限;当a<0时,图象过二、四象限;c>0时,直线交y轴于正半轴;当c<0时,直线交y轴于负半轴;对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)来讲: ⎧开口上下决定a的正负 ⎪左同右异(即对称轴在y轴左侧,b的符号 ⎪ ⎨与a的符号相同;)来判别b的符号 ⎪抛物线与y轴的正半轴或负半轴相交确定 ⎪ ⎪⎩c的正负 解: 可用排除法,设当a>0时,二次函数y=ax2+bx+c的开口向上,而一次函数y=ax+c应过一、三象限,故排除C;当a<0时,用同样方法可排除A;c决定直线与y轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y轴交点,本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点,故排除B. 答案: D. 3.二次函数的性质 例4对于反比例函数y=- 与二次函数y=-x2+3,请说出他们的两个相同点: ①,②;再说出它们的两个不同点: ①,②. 分析: 本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③最值④自变量取值范围⑤交点等. 解: 相同点: ①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1); 不同点: ①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值.点评: 本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命 题的热点. 4.二次函数的应用 例5已知抛物线y=x2+(2k+1)x-k2+k, (1)求证: 此抛物线与x轴总有两个不同的交点. 2 (2)设x1、x2是此抛物线与x轴两个交点的横坐标,且满足x12+x2=-2k2+2k+1. ①求抛物线的解析式. ②设点P(m1,n1)、Q(m2,n2)是抛物线上两个不同的点,且关于此抛物线的对称轴对称.求m+m的值. 分析: (1)欲证抛物线与x轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令y=0,证△>0即可. (2)①根据二次函数的图象与x轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出k的值,可确定抛物线解析式; ②由P、Q关于此抛物线的对称轴对称得n1=n2,由n1=m12+m1,n2=m22+m2得m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0可求得m1+m2=-1. 解: (1)证明: △=(2k+1)2-4(-k2+k)=4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1. ∵8k2+1>0, 即△>0,∴抛物线与x轴总有两个不同的交点. (2)①由题意得x1+x2=-(2k+1),x1·x2=-k2+k. ∵x12+x22=-2k2+2k+1, ∴(x1+x2)2-2x1x2=-2k2+2k+1,即(2k+1)2-2(-k2+k)=-2k2+k+1,4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1. ∴8k2=0,∴k=0, ∴抛物线的解析式是y=x2+x. ②∵点P、Q关于此抛物线的对称轴对称, ∴n1=n2. 2 又n1=m12+m1,n2=m2+m2. 2 ∴m12+m1=m2+m2, 即(m1-m2)(m1+m2+1)=0. ∵P、Q是抛物上不同的点, ∴m1≠m2,即m1-m2≠0. ∴m1+m2+1=0 即m1+m2=-1. 点评: 本题考查二次函数的图象(即抛物线)与x轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点. 二次函数对应练习试题 一、选择题 1.二次函数y=x2-4x-7的顶点坐标是() A.(2,-11)B.(-2,7)C.(2,11)D.(2,-3) 2.把抛物线y=-2x2向上平移1个单位,得到的抛物线是() A.y=-2(x+1)2 B.y=-2(x-1)2 C.y=-2x2+1 D.y=-2x2-1 3.函数y=kx2-k和y=k(k≠0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的() x 4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号; ②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0④当y=-2时,x的值只能取0. 其中正确的个数是() A.1个B.2个C.3个D.4个 5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图), 由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和 x2=() A.-1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.3 6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点(ac,bc)在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 7.方程2x-x2= 的正根的个数为() A.0个B.1个C.2个.3个 8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为 A.y=x2-x-2B.y=-x2+x+2 C.y=x2-x-2或y=-x2+x+2D.y=-x2-x-2或y=x2+x+2 二、填空题 9.二次函数y=x2+bx+3的对称轴是x=2,则b=。 10.已知抛物线y=-2(x+3)²+5,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是 11.一个函数具有下列性质: ①图象过点(-1,2),②当x<0时,函数值y随自变量x的增大而增 大;满足上述两条性质的函数的解析式是(只写一个即可)。 12.抛物线y=2(x-2)2-6的顶点为C,已知直线y=-kx+3过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。 13.二次函数y=2x2-4x-1的图象是由y=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b=,c=。 14.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是(π取3.14). 三、解答题: 15.已知二次函数图象的对称轴是x+3=0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0, ). (1)求这个二次函数的解析式; (2)当x为何值时,这个函数的函数值为0? (3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大? 16.某种爆竹点燃后,其上升高度h(米)和时间t(秒)符合关系式h=v0t- gt2(0 0 中重力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以v=20米/秒的初速度上升, (1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米? (2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由. 17.如图,抛物线y=x2+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D. (1)求此抛物线的解析式; (2)点P为抛物线上的一个动点,求使S∆APC: S∆ACD=5: 4的点P的坐标。 18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现: 当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x(元),该经销店的月利润为y(元). (1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量; (2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围); (3)该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元? (4)小静说: “当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗? 请说明理由. 二次函数应用题训练 1、心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分)之间满足函数关系: y=-0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30). (1)当x在什么范围内时,学生的接受能力逐步增强? 当x在什么范围内时,学生的接受能力逐步减弱? (2)第10分钟时,学生的接受能力是多少? (3)第几分钟时,学生的接受能力最强? A 2、如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少? 3、如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动;点Q从点B开始,沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q同时出发,问经过几秒钟△PBQ的面积最大? 最大面积是多少? C Q APB 4、如图,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行 的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. (1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的表达式; (2)该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,问: 球出手时,他跳离地面的高度是多少. 5、如图,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场,设它的长度为xm. (1)要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少m? (2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少m? 比较 (1) (2)的结果,你能得到什么结论? 6、某商场以每件20元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系: m=140-2x. (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式; (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适? 最大销售利润为多少? 二次函数对应练习试题参考答案 一,选择题、 1.A2.C3.A4.B5.D6.B7.C8.C二、填空题、 9.b=-4 10.x<-311.如y=-2x2+4,y=2x+4等(答案不唯一) 12.113.-8714.15 三、解答题 15. (1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,由题意可得 解得a=- b=-3,c=- 所以y=- x2-3x- (2)x=-1或-5 (2)x<-3 16. (1)由已知得,15=20t- ⨯10⨯t2,解得t1=3,t2=1当t=3时不合题意,舍去。 所以当爆竹点燃后1秒离地15米. (2)由题意得,h=-5t2+20t=-5(t-2)2+20,可知顶点的横坐标t=2,又抛物线开口向下,所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内,爆竹在上升. 17. (1)直线y=x-3与坐标轴的交点A(3,0),B(0,-3).则 解得 所以此抛物线解析式为y=x2-2x-3. (2)抛物线的顶点D(1,-4),与x轴的另一个交点C (-1,0).设P(a,a2-2a-3),则( 4 ): ( 4 )=5: 4,化简得 =5. 当a2-2a-3>0时,a2-2a-3=5得a=4,a=-2∴P(4,5)或P(-2,5) 当a2-2a-3<0时,-a2+2a+3=5即a2+2a+2=0,此方程无解.综上所述,满足条件的点的坐标为(4,5)或(-2,5). 18. (1)45+ ⨯7.5=60(吨). (2)y=(x-100)(45+ ⨯
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