初中数学知识点框架图.docx

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初中数学知识点框架图

第一部分《数与式》知识点定义：

有理数和无理数统称实数

分类有理数：

整数与分数

实数

类无理数：

常见类型（开方开不尽的数、与有关的数、无限不循环小数）法则：

加、减、乘、除、乘方、开方

实数运算

运算定律：

交换律、结合律、分配律

相关概念数轴（比较大小八相反数、倒数（负倒数）科学记数法

有效数字、平方根与算术平方根、立方根、非负式子a2,a,ya）

八*单项式：

系数与次数分类

多项式：

次数与项数

（添括号）法则、合并同类项

加减法则：

加减法、去括号

幕的运算

mnm

a;a

整式

m

m、nmnmm.m/a、ma0

；（a）a,（ab）ab;（匸）而；a

bb

1a

aP

单项式;

单项式;

单项式

单项式

先乘方开方，再乘除，最后算加减；同级运算自左至右顺序计算;乘法公式平方差公式：

（ab）（ab）a2b2

完全平方公式：

（ab）2a22abb2

乘法运算

混合运算:

单项式

多项式

多项式；多项式多项式

单项式

括号优先

分式的定义：

分母中含可变字母

分式分式有意义的条件：

分母不为零

数与式

分式

分式值为零的条件：

分子为零，分母不为零分式的性质：

a冬卫;a2（通分与约分的根据）

bbmbbm

通分、约分，加、减、乘、除

分式的运算和“+治先化简再求值（整式与分式的通分、符号变化）简求整体代换求值

定义：

式子•a（a>0叫二次根式二次根式的意义即被开方数大于等于1

二次根式的性质（孑a;了爲0。

））

最简二次根式（分解质因数法化简）二次根式二次根式的相关概念同类二次根式及合并同类二次根式

分母有理化（“单项式与多项式’型）

加减法：

先化最简，再合并同类二次根式

二次根式的运算一一—書a

乘除法:

:

aVb^―;（结果化简）

定义：

（与整式乘法过程相反，分解要彻底）

提取公因式法：

（注意系数与相冋字母，要提彻底）

分解因式、、土公式法平方差公式：

22b2（ab）（ab）2

方法元全平方公式：

a2abb（ab）

十字相乘法：

x2（ab）xab（xa）（xb）

分组分解法：

（对称分组与不对称分组）

第二部分《方程与不等式》知识点

分式方程定义与根（增根）：

解法：

去分母化为整式方程，解整式方程，验根.

解法：

（借助数轴）

4最佳方案问题

5.最后一个分配问题

第三部分《函数与图象》知识点

3平行于x轴，y轴的线段长度的求法（大坐标减小坐标）

4不共线的几点围成的多边形的面积求法（割补法）

关于x轴对称（x相同，y相反）

5对称点的坐标关于y轴对称（x相反，y相同）

、三象限角平分线：

y=x、四象限角平分线:

y=-x

关于原点0对称（x,丫都相反）

十丄—丄亠正比例函数：

y=kx（k半0）（一点求解析式）函数表达式

一次函数：

y=kx+b（k工0）（两点求解析式）

增减性：

丫=収与丫=収+匕增减性一样，k>0时，x增大y增大；kv0,x增大y减小.

平移性：

y=kx+b可由y=kx上下平移而来；若y=kx+b与y=k2X+b平行，则kik?

b^b2.垂直性：

若y=kx+b与y=k2x+b2垂直，则Kg21.

求交点：

（联立函数表达式解方程组）

正负性：

观察图像y>0与y<0时，x勺取值范围（图像在x轴上方或下方时，x的取值范围）

k

表达式：

y-（k^0）（一点求解析式）

x

1区域性：

k>0时，图像在一、三象限；k<0时，图像在二、四象限.

k>0在每个象限内，y随x的增大而减小；

2增减性

反比例函数性质k<0在每个象限内，y随x的增大而减小.

3恒值性：

（图形面积与k值有关）

4

函数

对称性：

既是轴对称图形，又是中心对称图形.

①一般式：

y=ax2

表达式②顶点式：

y=a（x

求交点：

（联立函数表达式解方程组求交点坐标，还可由图像比较函数的大小）

bxc,其中（a0）,

k）2h,其中（a0）,（k,h）为抛物线顶点坐标;

③交点式：

y=a（xxi）（xX2）,其中（a0），x、血是函数图象与x轴交点的横坐标;

a与c：

开口方向确定a的符号，抛物线与y轴交点纵坐标确定c的值；

b的符号：

b的符号由a与对称轴位置有关：

左同右异.

符号判断△=b24ac：

A>0与x轴有两个交点；△二0与x轴有两个交点；△<0与x轴无交点.

abc:

当x=1时，y=a+b+c的值.

abc：

当x=-1时，y=a-b+c的值.

1求函数表达式:

2

函数应用

求交点坐标：

3求围成的图形的面积（巧设坐标）：

④比较函数的大小.

第四部分《图形与几何》知识要点

直线：

两点确定一条直线

线射线：

线段：

两点之间线段最短，（点到直线的距离，平行线间的距离）

角的分类：

锐角、直角、钝角、平角、周角•

角角的度量与比较：

160,160；

余角与补角的性质：

同角的余角（补角）相等，等角的余角（补角）相等,角的位置关系：

同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角

几何初步

对顶角：

对顶角相等•

垂线：

定义，垂直的判定，垂线段最短

定义：

在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线

平行线性质：

两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补;同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行判定：

平行于同一条直线的两条直线平行

平面内，垂直于同一条直线的两直线平行

应用：

要构造RtA，才能使用三角函数.

按边分类：

不等边三角形、等腰三角形、等边三角形

分类

按角分类：

锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

三边关系：

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

边1亠

面积与周长：

C=a+b=，S=-底咼.

2

三角形的内角和等于180度，夕卜角和等于360度;

角三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角

一般三角形中线：

一条中线平分三角形的面积

性质：

角平分线上的点到角两边的距离相等；

角平分线判定：

到角两边的距离相等的点在角的平分线上

内心：

三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等

三角形

线段高：

高的作法及高的位置（可以在三角形的内部、边上、外部）中位线：

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半性质：

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；中垂线判定：

到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上外心：

三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等

等腰三角形的两腰相等、两底角相等，具有三线合一性质，是轴对称图形性质

等边三角形的三边上均有三线合一，三边相等，三角形等都为度

等腰三角形有两边相等的三角形是等腰三角形；

女/判定有两角相等的三角形是等腰三角形；

定有一个角为50度的等腰三角形是等边三角形；

有两个角是50度的三角形是等边三角形

一个角是直角或两个锐角互余；

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

性质0

直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；

直角三角形勾股定理：

两直角边的平方和等于斜边的平方

证一个角是直角或两个角互余；

判定有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：

若a2+b2=c，贝y/C9d.

性质全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长、面积也相等；

全等三角形性质全等三角形对应线段（角平分线、中线、高、中位线等）相等

判定：

ASA,SASAAS,SSSHL.

多边形：

多边形的内角和为（n-2）180°,外角和为360°.

定义：

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形

直角梯形

性质：

两腰相等、对角线相等，同一底上的两角相等

特殊梯形等腰梯形两腰相等的梯形是等腰梯形；

寺腰形判定对角线相等的梯形是等腰梯形；

同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形；

两组对边分别平行且相等

性质：

平行四边形的两组对角分别相等

两条对角线互相平分

两组对边分别平行

一组对边平行且相等

判定：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

两组对角分别相等

对角线互相平分

共性：

具有平行四边形的所有性质性质

四边形

个性：

对角线相等，四个角都是直角

矩形先证平行四边形，再证有一个直角；

判定先证平行四边形，再证对角线相等；三个角是直角的四边形是矩形.

共性：

具有平行四边形的所有性质.性质

个性：

对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角，四条边相等

菱形先证平行四边形，再证对角线互相垂直；

判定先证平行四边形，再证一组邻边相等；

四条边都相等的四边形是菱形.

性质：

具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质

正方形涮宀证平行四边形矩形正方形判定

证平行四边形菱形正方形

高二中位线高

1

梯形：

S=-（上底下底）

2

菱形：

S二底高二对角线乘积的一半正方形：

S边长边长二对角线乘积的一半

点在圆外：

d>r

点与圆的三种位置关系点在圆上：

dr

点在圆内：

dvr

弓形计算：

（弦、弦心距、半径、拱咼）之间的关系

圆的轴对称性垂径定理

定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分线所对的弧

五组量的关系:

在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角、两个圆周角、两条弦心距中有一组量相等，则其余的各组两也分别等.

同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；

圆的中心对称性圆周角与圆心角半圆（或直径）所对的圆周角是°；

90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆

相交线定理：

圆中两弓Ab、cd相交于p点，贝Upa^apcpd.圆中两条平行弦所夹的弧相等

相离：

d>r

直线和圆的三种位置关系相切：

d=r（距离法）

相交：

dvr

圆的切线性质：

圆的切线垂直F过切点的直径（或半径）

直线和圆的位置关系圆的线判定：

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

弦切角：

弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

切线长定理：

如图,PA=PB,PO平分/APB

切割线定理：

如图，PA2PCpD.外心与内心：

相离：

外离d>R+），内含（dvR-r）

圆和圆的位置关系相切：

外切（d=R+>，内切

相交：

R-rvdvR+i）

弧长公式：

弧长36°2r

圆锥的全面积：

S全r2rl

第五部分《图形的变化》知识点

1轴对称指两个图形之间的关系，它们全等

2

轴对称（折叠）

轴对称

对应点的连线段被对称轴垂直平分

3对应线段所在的直线相交于对称轴上一点（或平行）

4图形折叠后常用勾股定理求线段长

1

轴对称图形

指一个图形

2轴对称图形被对称轴分成的两部分全等

①平移前后两个图形全等

平移②平移前后对应点的连线段相等且平行（或共线）

移③平移前后的对应角相等，对应线段相等且平行（或共线）

④平移的两个要素：

平移方向、平移距离

1旋转前后的两个图形全等

2旋转前后对应点与旋转中心的连线段相等，且它们的夹角等于旋转角旋转

3旋转前后对应角相等，对应线段相等

4旋转的三要素：

旋转中心、旋转方向、旋转角

视图的画法①大线比线要适中

视图与投影

投影

平行投影：

平行光线下的投影，物体平行影子平行或共线中心投影：

点光源射出的光线下的投影，影子不平行视点、视线、盲区

图形的变化

基本性质:

a

c

adbe

b

d

比例的性质合比性质:

a

c

abed

b

d

bd

等比性质:

a

c

m,ab..

...k

.mk，（条件bd.

..n工0）

b

d

nbd.

..n

投影的计算：

画好图形，相似三角形性质的应用

黄金分割：

线段AB被点C分成AC、BC两线段（AC>BC），满足AC2=BCg\B，

贝9点C为AB的一个黄金分割点

相似形

性质：

相似多边形的对应边成比例、对应角相等

判定：

全部的对应边成比例、对应角相等

①对应角相等、对应边成比例

性质②对应线段（中线、高、角平分线、周长）的比等于相似比

③面积的比等于相似比的平方

相似图形

①有两个角相等的两个三角形相似

相似三角形判定

2两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似

3三边对应成比例的两个三角形相似

④有一条直角边与斜边对应成比例的两个直角三角形相似

射影定理：

在Rt^ABC中，/C90°，CD丄AB，贝贝AC2=ADAB，

BC2=BDAB，CD2=ADBD（如图）

①位似图形是一种特殊的相似图形，具有相似图形的一切性质位似图形②位似图形对应点所确定的直线过位似中心

③通过位似可以将图形放大或缩小

第六部分《统计与概率》知识要点

.普查：

总体与个体（研究对象中心词）两查

抽样调查：

样本与容量（无单位的数量）

折线图（发展趋势与波动性横纵轴坐标单位长度要统一）

三图条形图（纵坐标起点为零高度之比等于频数或频率之比）

扇形图（知道各量的百分比可用加权平均数求平均值）

算术平均数

平均数参照平均数

一疥加权平均数

三数

众数（可能不止一个）中位数（排序、定位）

方差：

S2-（xxj2（xx2）2L（xXn）2

统计与概率

n

（一组数据整体被扩大n倍，平均数扩大n倍，方差扩大n2倍）；三差（一组数据整体被增加m平均数增加m方差不变）

标准差：

方差的算术平方根s

极差：

最大数与最小数之差

（方差与标准差均衡量数据的波动性，方差越小波动越小）

用宀击几必然事件：

（概率为1）

+确定事件

事件不可能事件：

（概率为0）

不确定事件：

（概率在0与1之间）

频率：

（试验值，多次试验后频率会接近理论概率）

亠比例法（数量之比、面积之比等）

两率

概率：

求法列表法（返回与不返回的两步实验求概率）

树状图（返回与不返回的两步或两步以上的试验求概率）

初中数学常考知识点

I、代数部分:

一、数与式：

1、实数：

1）实数的有关概念；常考点：

倒数、相反数、绝

对值（选择第1题）

2）科学记数法表示一个数（选择题第二题）

3）实数的运算法则：

混合运算（计算题）

4）实数非负性应用：

代数式求值（选择、填空）

2、代数式：

代数式化简求值（解答题）

3、整式：

1）整式的概念和简单运算、化简求值（解答题）

2）利用提公因式法、公式法进行因式分解（选择填空必考题）

4、分式：

化简求值、计算（解答题）、分式求取值范围（一般为填空题）（易错

点：

分母不为0）

5、二次根式：

求取值范围、化简运算（填空、解答题）

二、方程与不等式：

1、解分式方程（易错点：

注意验根）、一元二次方程（常考解答题）

2、解不等式、解集的数轴表示、解不等式组解集（常考解答题）

3、解方程组、列方程（组）解应用题（若为分式方程仍勿忘检验）（必考解答

题）

4、一元二次方程根的判别式

三、函数及其图像

1、平面直角坐标系与函数

1）函数自变量取值范围，并会求函数值；

2）坐标系内点的特征；

3）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析

（选择8题）

2、一次函数（解答题）

1）理解正比例函数、一次函数的意义、会画图像

2）理解一次函数的性质

3）会求解析式、与坐标轴交点、求与其他函数交点

4）解决实际问题

3、反比例函数（解答题）

1）反比例函数的图像、意义、性质（两支，中心对称性、分类讨论）

2）求解析式，与其他函数的交点、解决有关问题（如取值范围、面积问题）

4、二次函数（必考解答题）

1）图像、性质（开口、对称性、顶点坐标、对称轴、与坐标轴交点等）

2）解析式的求解、与一元二次方程综合（根与交点、判别式）

3）解决实际问题

4）与其他函数综合应用、求交点

5）与特殊几何图形综合、动点问题（解答题）

II、空间与图形

一、图形的认识

1、立体图形、视图和展开图（选择题）

1）几何体的三视图，几何体原型相互推倒

2）几何体的展开图，立体模型相互推倒

2、线段、射线、直线（解答题）

1）垂直平分线、线段中点性质及应用

2）结合图形判断、证明线段之间的等量、和差、大小关系

3）线段长度的求解

4）两点间线段最短（解决路径最短问题）

3、角与角分线（解答题）

1）角与角之间的数量关系

2）角分线的性质与判定（辅助线添加）

4、相交线与平行线

1）余角、补角

2）垂直平分线性质应用

3）平分线性质与判定

5、三角形

1）三角形内角和、外角、三边关系（选择题）

2）三角形角分线、高线、中线、中位线性质应用（辅助线）

3）三角形全等性质、判定、融入四边形证明（必考解答题）

4）三角形运动、折叠、旋转、平移（全等变换）、拼接（探究问题）

6等腰三角形与直角三角形

1）等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理及逆定理

2）等腰三角形、直角三角形与四边形或圆的综合

3）锐角三角函数、特殊角三角函数、解直角三角形（解答题）

4）等腰、直角、等腰直角三角形与函数综合形成的代几综合题（压轴题必考）

7、多边形：

内角和公式、外角和定理（选择题）

8、四边形（解答题）

1）平行四边形的性质、判定、结合相似、全等证明

2）特殊的平行四边形：

性质、判定、以及与轴对称、旋转、平移和函数等结合

应用（动点问题、面积问题及相关函数解析式问题）

3）梯形：

一般梯形及等腰、直角梯形的性质、与平行四边形知识结合，四边形

计算题，辅助线的添加等

9、圆（必考解答题）

1）圆的有关概念、性质

2）圆周角、圆心角之间的相互联系

3）掌握并会利用垂径定理、弧长公式、扇形面积公式，圆锥侧面面积、全面积

公式解决问题

4）圆中的位置关系：

要会判断：

点与圆、直线与圆、圆与圆（重点是圆与圆位

置关系）

5）重点：

圆的证明计算题（圆的相关性质与几何图形综合）

二、图形与变换

1、轴对称：

会判断轴对称图形、能用轴对称的知识解决简单问题

2、平移：

会运用平移的性质、会画出平移后的图形、能用平移的知识解决简单

问题

3、旋转：

理解旋转的性质（全等变换），会应用旋转的性质解决问题（全等证

明），会判断中心对称图形

4、相似：

会用比例的基本性质解题、利用三角形相似的性质证明角相等、应用

相似比求解线段长度（解答题）

III、统计与概率

一、相关概念的理解与应用：

平均数、中位数、众数、方差等（选择题）

二、能利用各种统计图解决实际问题（必考，解答题）

三、会用列举法（包括图表、树状图法）计算简单事件发生的概率（解答题,

填空题）