,这两种情况均不能用区间[a,b]表示.
例题讲解
题型一函数概念的理解
例1下列对应关系是否为A到B的函数?
(1)A=RB={x|x>0},f:
xty=|x|;
(2)A=Z,B=Z,f:
xty=x2;
(3)A=RB=Z,f:
xty=;
(4)A=[—1,1],B={0},f:
xty=0.
解析:
(1)A中的元素0在B中没有对应元素,故不是A到B的函数;
(2)对于集合A中的任意一个整数X,按照对应关系f:
xty=x2,在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应,故是集合A到集合B的函数;
(3)A中元素负数没有平方根,故在B中没有对应的元素且不一定为整数,故此对应关系不是A
到B的函数;
(4)对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系f:
xty=0,在集合B中都有唯一一个确定的
数0与它对应,故是集合A到集合B的函数.
点评:
判断所给对应是否是函数,首先观察两个集合代B是否是非空集合(数集),其次验证对
应关系下,集合A中数x的任意性,集合B中数y的唯一性.
巩固:
若集合A={x|0wx<2},B-{y|0wyw3},则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函
数f:
AtB的是()
y;B、C均不满足函
解析:
A中的对应不满足函数的存在性,即存在x€A,但B中无与之对应的
数的唯一性,只有D正确.
答案:
D
题型二“f”的含义及函数值的问题
例2已知f(x)=x2—6x.
(1)求f
(2),f(a+1)的值;
(2)若f(x)=—5,求x的值.
2
解析:
(1)f
(2)=2—6X2=—8,
22
f(a+1)=(a+1)—6(a+1)=a—4a—5.
(2)f(x)=x2—6x=—5?
x=1或x=5.
f下x对应的函数
)代入既可;
点评:
(1)在函数y=f(x)中,x为自变量,f为对应关系,f(x)是对应关系值,所以求函数值时,只需将f(x)的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式
(2)求f[f(x)]时,一般应遵循由里到外的原则.
2
【巩固1已知f(x)=(x€R且x工一1),g(x)=x+2(x€R).求:
(1)f
(2)、g
(2)的值;
(2)f[g
(2)]的值;
(3)
⑶f[g(x)]的解析式.
解析:
(1)函数y=3—1x的定义域为R;
—x》0,
⑶要使函数有意义,需2x2—3x—2.0
1
x<0且x.—2*
故函数y=
—x
2x2—3x—2
的定义域为
x|x<0且XM—2=—O,—1U—20;
2x+3>0,
⑷要使函数有意义,需2—x>0,
x丰0.
3
解得—壬x<2且x丰0,
33
x|—产x<2且XM0=—-,0U(0,2)
点评:
求函数定义域的原则:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数;
(4)零指数幕的底数不等于零等.
巩固:
求下列函数的定义域:
0
r6
(1)f(X)-x2—3x十2;
ftX十1
(2)f(x)—,:
3x—1十.1—2x十4;(3)f(x)—|x|—x
解析:
2
(1)由x—3x+2工0,
得:
XM1,x工2
6
•••f(x)=弋的定义域是{x€R|x工1且x丰2}.
x—3X十2
3x—1>0
⑵由1—2x>0
11
•f(x)=3x—1十'1—2x十4的定义域是3,2.
x+1工0X—1
⑶由|x|—XK,得|x|丰x,•x<0且x7,
题型四两函数相同的判定
例4下列各题中两个函数是否表示同一函数:
(1)f(X)=X,g(x)=0JX)2;
(2)f(t)=t,g(x)=慣;⑶f(x)=^——4,g(x)=x+2.
解析:
(1)f(x)的定义域为R,
g(x)的定义域为{x|x>0},
两个函数的定义域不同,故不是同一函数.
(2)g(x)=x,两者的定义域和对应法则相同,故是同一函数.
(3)f(x)的定义域为(一R,2)U(2,+^),
g(x)的定义域为R故不是同一函数.
点评:
只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一函数,这就是
说:
(1)定义域不同,两个函数也就不同;
(2)对应法则不同,两个函数也是不同的;
(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和
值域不能唯一地确定函数的对应法则;
(4)两个函数是否相同,与自变量是什么字母无关.
[巩固]试判断下列函数是否为同一函数:
(1)f(x)=.'x•x+1与g(x)=:
xx+1;
(2)f(x)=x2—2x与g(t)=t2—2t;
(3)f(x)=1与g(x)=x°(xm0).
解析:
⑵是,
(1)、(3)不是.
对于
(1),f(x)的定义域为[0,+^),
而g(x)定义域为(—a,—1]U[0,+^).
(3)也是定义域不同.
综合练习题
A组
1.下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是()
答案:
D
2•下列各组函数表示同一函数的是()
x2-9.
A.y=与y=x+3
B.y=x2-1与y=x-1
C.y=x°(xm0)与y=1(xm0)
D.y=2x+1,x€Z与y=2x—1,x€Z
答案:
C
3.给出四个命题:
①函数就是定义域到值域的对应关系;②若函数的定义域只含有一个元素,则值域也只含有一
个元素;③因为f(x)=5(x€R),这个函数值不随x的变化而变化,所以f(0)=5也成立;④定义域和对应关系确定后,函数值域也就确定了.
以上命题正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
答案:
D
B组
1
1.函数y=的定义域为()
寸x+1
C.[—1,+^)D.(—1,+m)
答案:
D
2
2.设函数f(x)=x—3x+1,则f(a)—f(—a)=()
A.0B.—6a
22
C.2a+2D.2a—6a+2
答案:
B
3•下列用表给出的函数关系中,当x=6时,对应的函数值y等于()
x
0VxWl
1vx<5
5vxw10
x>10
y
1
2
3
4
A.2B.3
C.4D.无法确定
答案:
B
4.函数y=—3x+1,x€[—1,1]的值域为
答案:
[—2,4]
5•函数y^UR的定义域为
x
解析:
利用解不等式组的方法求解.
x>—1,解得
x工0.
x+1》0,要使函数有意义,需
x工0.
•••原函数的定义域为{x|x>—1且xm0}.
答案:
{x|x>—1且xm0}
x+4x<0
则f[f(—3)]的值为
6.已知f(x)=
x—4x>0
解析:
f(—3)=—3+4=1,f(f(—3))=f⑴=1—4=一3.
答案:
—3
1.已知集合P={x|—421
A.2y=xB.y=q(x+4)
122
C.y=4X—2D.x=—8y
答案:
B
22
2.已知函数f(x)=x+2x+a,f(bx)=9x—6x+2,其中x€R,a,b为常数,则方程f(ax+
b)=0的解集为.
a=2,
b=—3.
b=9,
22
解析:
f(bx)=(bx)+2bx+a=9x—6x+2?
2b=—6,
a=2,
22
•••f(2x—3)=(2x—3)+2(2x—3)+2,f(ax+b)=0,即为4x—8x+5=0,而△<0,故方程f(ax+b)=0的解集为?
.
答案:
?
3.求下列函数的值域:
(1)y=x+1,x€{234,5,6};
(2)y=x+1;
(3)y=x2—4x+6.
解析:
(1){3,4,5,6,7}.
(2)■/x>0,二y>1,故值域为{y|y>1}.
22
(3)Ty=x—4x+6=(x—2)+2,
(4)
已知函数f(x)=
1
求f
(2)+f2+f(3)+f3+…+f(2012)+f2~012的值.
2
”x
解析:
⑴•••f(x)=1+亍,
2
1x+1=~2~=1.
x+1x+1
(3)由⑵知,f(x)
•f
(2)+f2=1,
1
f(3)+f3=1,
1
f(4)+f;=1,
f(2012)+f207=1,
•f
(2)+f1+f(3)+f1+…+f(2012)+f207=2011.
5.已知f(x)的定义域为(0,1],求g(x)=f(x+a)•f(x-a)(a<0)的定义域.
0解析:
由已知得
0—a用数轴法,讨论
(1)当a=0时,x€(0,1];
⑵当aw—f时,x€?
,即函数不存在;
⑶当一f课后总结:
1."y=f(x),'是函数符号,可以用任意的字母表示,如"y=g(x)”.
2.函数符合"y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,f(x)是一个数,而不是f乘x.
3.构成函数的三要素是:
定义域、对应关系和值域.
4.函数中的自变量可以在定义域范围内任意取值,包括变成其他字母,这是函数抽象的重要原因.
5.函数的定义域包含三种形式:
(1)自然型.指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如:
分式函数的分母不为零,偶次
根式函数的被开方数为非负数,等等).
(2)限制型.指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因
为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误.
(3)实际型.解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考查自变量x的实际意义.
x<0,
x工2且XM—1