山西煤炭职业技术学院单招数学模拟试题附答案.docx
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山西煤炭职业技术学院单招数学模拟试题附答案
2016山西煤炭职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一,填空题
(1)已知集合,则=
(2)复数.
(3)经过圆的圆心C,且与直线垂直的直线方程是.
(4)直线绕原点逆时针旋转,再向右平移1个单位,所得到的直线为
(5)函数的最小正周期是.
(6)已知等差数列中,,,若,则数列的前5项和等于.
(7)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如表,则这100人成绩的标准差为.
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
(8)设,若函数,有大于零的极值点,则a的范围是.
(9)若为不等式组表示的平面区域,则当从-2连续变化到1时,动直线扫过中的那部分区域的面积为.
(10)电子钟一天显示的时间是从00:
00到23:
59的每一时刻都由四个数字组成,则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为.
(11)过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为______________
(12)不等式的解集为
(13)已知是平面内的单位向量,若向量满足,则的取值范围是.
(14)下列说法:
①当;②ABC中,是成立的充要条件;③函数的图象可以由函数(其中)平移得到;④已知是等差数列的前项和,若,则.;⑤函数与函数的图象关于直线对称。
其中正确的命题的序号为。
二:
解答题:
(14+14+15+15+16+16=90)
15,已知函数f(x)=为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
(Ⅰ)求f()的值;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.
16,如图,在多面体ABCDE中,AE⊥ABC,BD∥AE,
且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F在CD上(不含C,D两点)
(1)求多面体ABCDE的体积;
(2)若F为CD中点,求证:
EF⊥面BCD;
(3)当的值=时,能使AC∥平面EFB,并给出证明。
17.(本小题满分15分)
如图,某小区准备在一直角围墙内的空地上植造一块“绿地”,其中长为定值,长可根据需要进行调节(足够长).现规划在的内接正方形内种花,其余地方种草,且把种草的面积与种花的面积的比值称为“草花比”.
(Ⅰ)设,将表示成的函数关系式;
(Ⅱ)当为多长时,有最小值?
最小值是多少?
18,已知m∈R,直线l:
和圆C:
。
(1)求直线l斜率的取值范围;
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧?
为什么?
19,设函数。
(Ⅰ)求的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对一切,,求的最大值。
20,设为实数,是方程的两个实根,数列满足,,(…).
(1)证明:
,;
(2)求数列的通项公式;
(3)若,,求的前项和.
参考答案
一,填空题:
1,2,23,4,
5,6,907,8,
9,10,11,12,
13,14,②③④
二,解答题
15,解:
(Ⅰ)f(x)=
=
=2sin(-)
因为 f(x)为偶函数,
所以 对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,
因此 sin(--)=sin(-).
即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),
整理得 sincos(-)=0.因为 >0,且x∈R,所以 cos(-)=0.
又因为 0<<π,故 -=.所以 f(x)=2sin(+)=2cos.
由题意得
故 f(x)=2cos2x.
因为
(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移个个单位后,得到的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到的图象.
当 2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),
即 4kπ+≤≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为 (k∈Z)
16,解:
(1)设AB中点为H,则由AC=AB=BC=2,可得CH⊥AB且CH=.
又BD∥AE,所以BD与AE共面.
又AE⊥面ABC,所以平面ABDE⊥平面ABC.
所以CH⊥平面ABDE,即CH为四棱锥C-ABDE的高.
故四棱锥C-ABDE的体积为VC-ABDE=SABDE·CH=[(1+2)×2×]=.
(2)取BC中点G,连FG,AG.
因为AE⊥面ABC,BD∥AE,所以BD⊥面ABC.
又AG?
面ABC,所以BD⊥AG.
又AC=AB,G是BC的中点,所以AG⊥BC,所以AG平面BCD.
又因为F是CD的中点且BD=2,所以FG∥BD且FG=BD=1,所以FG∥AE.
又AE=1,所以AE=FG,所以四边形AEFG是平行四边形,
所以EF∥AG,所以EF⊥BCD.
(3)=2(证明过程略)。
17,【解】解:
(Ⅰ)因为,所以的面积为()…………(2分)
设正方形的边长为,则由,得,
解得,则………………………………(6分)
所以,则…(9分)(Ⅱ)因为,所以…(13分)
当且仅当时取等号,此时.所以当长为时,有最小值1…(15分)
18,【试题解析】(1)直线的方程可化为,此时斜率
因为,所以,当且仅当时等号成立
所以,斜率k的取值范围是;
(2)不能.由(1知的方程为,其中;
圆C的圆心为,半径;圆心C到直线的距离
由,得,即,从而,若与圆C相交,则圆C截直线所得
的弦所对的圆心角小于,所以不能将圆C分割成弧长的比值为的两端弧;
19【解析】
(Ⅰ),
当时,;当时,;
故在单调增加,在单调减少。
的极小值,极大值
(Ⅱ)由知
即
由此及(Ⅰ)知的最小值为,最大值为
因此对一切,的充要条件是,
即,满足约束条件
, 由线性规划得,的最大值为5.
20,【解析】
(1)由求根公式,不妨设,得
,
(2)设,则,
由得,
消去,得,是方程的根,
由题意可知,
①当时,此时方程组的解记为
即、分别是公比为、的等比数列,
由等比数列性质可得,,
两式相减,得
,,
,
,
即,
②当时,即方程有重根,,
即,得,不妨设,
由①可知
,,
即,等式两边同时除以,得,即
数列是以1为公差的等差数列,
综上所述,
(3)把,代入,得,解得
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