福建专用高考数学总复习54坐标系与参数方程文新人教a版109.docx
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福建专用高考数学总复习54坐标系与参数方程文新人教a版109
课时规范练54 坐标系与参数方程
基础巩固组
1.已知曲线C:
=1,直线l:
(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.2.(2017辽宁大连一模,文22)已知在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程;
(2)若曲线C2的参数方程为(α为参数),曲线C1上点P的极角为,Q为曲线C2上的动点,求PQ的中点M到直线l距离的最大值.3.(2017安徽马鞍山一模,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数,α∈R),在以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:
ρsin.
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;
(2)若曲线C1和曲线C2相交于A,B两点,求|AB|的值.
4.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
5.在直角坐标系xOy中,曲线C1:
(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:
ρ=2sinθ,C3:
ρ=2cosθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.〚导学号24190956〛
综合提升组
6.(2017山西临汾三模,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρsinm.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.7.(2017山西太原二模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ(tanαcosθ-sinθ)=1,点A,B(A在x轴下方)是曲线C1与C2的两个不同交点.
(1)求曲线C1普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)求|AB|的最大值及此时点B的坐标.8.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.〚导学号24190957〛创新应用组
9.(2017辽宁沈阳三模,22)已知曲线C的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C',以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线C'的极坐标方程;
(2)若过点A(极坐标)且倾斜角为的直线l与曲线C'交于M,N两点,弦MN的中点为P,求的值.
10.(2017河北邯郸二模,文22)在极坐标系中,已知三点O(0,0),A,B.
(1)求经过O,A,B的圆C1的极坐标方程;
(2)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆C2的参数方程为(θ是参数),若圆C1与圆C2外切,求实数a的值.答案:
1.解
(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=|4cosθ+3sinθ-6|,
则|PA|=|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=.
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.
2.解
(1)曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,即ρ2=4ρcosθ,
可得直角坐标方程:
C1:
x2+y2-4x=0.
直线l的参数方程为(t为参数),
消去参数t可得普通方程:
x+2y-3=0.
(2)P,直角坐标为(2,2),Q(2cosα,sinα),M,
∴M到l的距离
d=
=,
从而最大值为.
3.解
(1)由⇒x2+(y-1)2=1,
由ρsinρsinθ-ρcosθ=⇒y-x=2,即C2:
x-y+2=0.
(2)∵直线x-y+2=0与圆x2+(y-1)2=1相交于A,B两点,
又x2+(y-1)2=1的圆心(0,1),半径为1,
故圆心到直线的距离d=,
∴|AB|=2.
4.解
(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcosθ+11=0.
(2)在
(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0.
于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.
|AB|=|ρ1-ρ2|=.
由|AB|=得cos2α=,tanα=±.
所以l的斜率为或-.
5.解
(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.
联立
解得
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2cosα,α).
所以|AB|=|2sinα-2cosα|=4.
当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.
6.解
(1)曲线C1的参数方程为
消去参数,可得y=x2(-2≤x≤2),由ρsinm,得ρsinθ-ρcosθ=m,所以曲线C2的直角坐标方程为x-y+m=0.
(2)由可得x2-x-m=0,
∵曲线C1与曲线C2有公共点,
∴m=x2-x=.
∵-2≤x≤2,∴-≤m≤6.
7.解
(1)曲线C1的参数方程为(其中φ为参数),普通方程为+y2=1;
曲线C2的极坐标方程为ρ(tanα·cosθ-sinθ)=1,直角坐标方程为xtanα-y-1=0.
(2)C2的参数方程为(t为参数),代入+y2=1,得t2-2tsinα=0,
∴t1+t2=,
∴|AB|=,
∵0<α<π,且α≠,
∴sinα∈(0,1),
∴|AB|max=,此时B的坐标为.
8.解
(1)C1的普通方程为+y2=1,C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cosα,sinα).
因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,
d(α)=.
当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.
9.解
(1)C:
=1,
代入C的普通方程可得x'2+y'2=1,
因为ρ2=x2+y2,所以曲线C'的极坐标方程为C':
ρ=1.
(2)点A的直角坐标是A,
将l的参数方程
代入x2+y2=1,
可得4t2-6t+5=0,∴t1+t2=,t1·t2=,
.
10.解
(1)将O,A,B三点化成直角坐标为O(0,0),A(0,2),B(2,2).
∴圆C1的圆心为(1,1),半径为,
∴圆C1的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,
将代入普通方程得ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ=0,
∴ρ=2sin.
(2)∵圆C2的参数方程为(θ是参数),
∴圆C2的普通方程为(x+1)2+(y+1)2=a2.∴圆C2的圆心为(-1,-1),半径为|a|.
∵圆C1与圆C2外切,
∴2+|a|,解得a=±.
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