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七年级数学导学案
七年级数学导学案
第22章一元二次方程
22.1一元二次方程
1.只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是__2__的整式方程,叫做一元二次方程.
2.判断一个方程是否是一元二次方程,必须满足下列条件:
(1)是__整式__方程;
(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是__2__;(4)二次项系数不能为__0__.
3.关于x的一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a,b,c是已知数,a≠0),其中__a__是二次项系数,__b__是一次项系数;__c__是常数项.注意:
“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分.
知识点1:
一元二次方程的概念
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是(C)
A.x2+=1
B.ax2+bx+c=0
C.(x-1)(x+2)=5
D.x(2x-1)+3=2x2
2.方程(m-2)x2+mx+1=0是关于x的一元二次方程,则m的值为(C)
A.任何实数B.m≠0
C.m≠2D.m≠-2
知识点2:
一元二次方程的一般形式
3.一元二次方程x2-=3x的一般形式为__x2-3x-=0__,其二次项系数、一次项系数、常数项分别为__1,-3,-__.
4.一元二次方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=2的一般形式为__2x2+2x-5=0__,其中二次项的系数为__2__,一次项是__2x__,常数项是__-5__.
5.一元二次方程5x2=6x-8的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(C)
A.5,6,-8B.5,-6,-8
C.5,-6,8D.6,5,-8
6.下列一元二次方程中,不含一次项的是(D)
A.x(3x-4)=0B.5x2=x(1-2x)
C.(2x+1)(1-x)=0D.x(1-x)=x
知识点3:
一元二次方程的根
7.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值是(A)
A.-3B.3C.0D.0或3
8.
(1)(2014·哈尔滨)若x=-1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解,则m的值为__1__;
(2)若-1是方程ax2+bx+c=0的一个根,则a-b+c=__0__.
知识点4:
根据实际问题列一元二次方程
9.(2014·海南)某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元,已知两次降价的百分率都为x,那么x满足的方程是(B)
A.100(1+x)2=81B.100(1-x)2=81
C.100(1-x%)2=81D.100x2=81
10.某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪,它的长比宽多10米,设草坪的宽为x米,则可列方程为(D)
A.x(x-10)=200B.2x+2(x-10)=200
C.2x+2(x+10)=200D.x(x+10)=200
11.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化为一般形式.
(1)正方体的表面积为36,求正方体的边长x;
(2)两个相邻偶数的积为328,求其中较小的偶数x.
解:
(1)6x2=36,一般形式为:
6x2-36=0
(2)x(x+2)=328,一般形式为x2+2x-328=0
12.若方程(m-1)x2+x=1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是(C)
A.m≠1B.m≥0
C.m≥0且m≠1D.m为任意正实数
13.目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系,某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元.设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是(B)
A.438(1+x)2=389B.389(1+x)2=438
C.389(1+2x)=438D.438(1+2x)=389
14.(2014·菏泽)已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b,则a-b的值为(A)
A.1B.-1C.0D.-2
15.在一幅长为80cm,宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是(B)
A.x2+130x-1400=0
B.x2+65x-350=0
C.x2-130x-1400=0
D.x2-65x-350=0
16.已知关于x的一元二次方程的一个根是1,写出一个符合条件的方程:
__答案不唯一,如x(x-1)=0__.
17.已知关于x的方程(m-3)x|m|-1+(m-2)x=5是一元二次方程,则m=__-3__.
18.直角三角形的三边是三个连续整数,求三边的长.若设较长的直角边为x,则根据题意可列方程为__(x-1)2+x2=(x+1)2__.
19.把下列关于x的一元二次方程化为一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)2x2=5x-3;
解:
一般形式是2x2-5x+3=0,二次项系数是2,一次项系数是-5,常数项是3
(2)-7x2+2x=x+1;
解:
一般形式是7x2-x+1=0,二次项系数是7,一次项系数是-1,常数项是1
(3)(x+3)(x-3)+2x=9.
解:
一般形式是x2+2x-18=0,二次项系数是1,一次项系数是2,常数项是-18
20.根据问题,列出关于x的方程:
在圣诞节到来之际,九(3)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺,所有同学送完后共送了1640张,求九(3)班有多少同学?
解:
设九(3)班有x名同学,根据题意,得x(x-1)=1640
21.k为何值时,关于x的方程(k+3)(k-1)x2+(k-1)x+5=0.
(1)是一元一次方程?
解:
∵(k+3)(k-1)=0且k-1≠0,∴k=-3.即当k=-3时,原方程是一元一次方程
(2)是一元二次方程?
解:
∵(k+3)(k-1)≠0,∴k≠-3且k≠1.即当k≠-3且k≠1时,原方程是一元二次方程
22.已知k是方程x2-2015x+1=0的一个不为0的根,不解方程,你能求出k2-2014k+的值吗?
如果能,请写出解答过程;如果不能,请说明理由.
解:
∵k是方程x2-2015x+1=0的一个根,∴k2-2015k+1=0,∴k2+1=2015k,∵k≠0,∴k+=2015,∴原式=k-1+=2015-1=2014
22.2一元二次方程的解法
22.2.1直接开平方法和因式分解法
第1课时用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程
1.利用__平方根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直接开平方法.
2.解一元二次方程,实质上是把一个一元二次方程“__降次__”,转化为两个__一元一次__方程.
3.当p≥0时,x2=p的解为__x=±__.
4.当把一元二次方程的一边化为0,而另一边易分解成两个一次因式的乘积时,可令每个因式分别等于0,得到两个__一元一次方程__,从而实现降次求解的目的,这种解法叫做因式分解法.
知识点1:
用直接开平方法解方程的条件
1.一元二次方程x2=c有解的条件是(D)
A.c>0B.c0D.b2-4ac0,所以x===-2±,解得x1=-2+,x2=-2-
18.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=3cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时出发,几秒钟后P,Q两点的距离等于4cm?
解:
设x秒后,P,Q两点的距离等于4cm,则由题意,得AP=x,PB=6-x,BQ=2x,在Rt△PBQ中,PQ2=PB2+BQ2,所以(4)2=(6-x)2+(2x)2,所以5x2-12x+4=0,解得x1=,x2=2,因为当x=2时,BQ=2×2=4>3,所以x=2不符合题意,应舍去,所以经过秒钟后P,Q两点的距离等于4cm
综合练习一元二次方程的解法
1.利用求根公式求方程3x2+=7x的根时,a,b,c的值分别是(C)
A.3,,7B.3,7,
C.3,-7,D.3,-7,-
2.用配方法解方程x2-2x-5=0时,原方程应变形为(C)
A.(x+1)2=6B.(x+2)2=9
C.(x-1)2=6D.(x-2)2=9
3.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是(D)
A.-1B.2C.1和2D.-1和2
4.(2014·陕西)若x=-2是关于x的一元二次方程x2-ax+a2=0的一个根,则a的值为(B)
A.1或4B.-1或-4
C.-1或4D.1或-4
5.要使分式的值等于零的x是(A)
A.6B.-1或6
C.-1D.-6
6.若x2+20与3x2-20x+5互为相反数,则x的值是(D)
A.3B.2
C.2.5,-2.5D.2.5
7.若方程x2-x=0的两个根为x1,x2(x10,∴A>B
17.阅读下面的例题:
解方程x2-|x|-2=0.
解析:
(1)当x≥0时,原方程化为x2-x-2=0.
解得x1=2,x2=-1(不合题意,舍去).
(2)当x0时,方程有__两个不相等的__实数根;
(2)当Δ=0时,方程有__两个相等的__实数根;
(3)当Δ0.∴此方程有两个不相等的实数根
知识点3:
由一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值
7.(2014·广东)关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为(B)
A.m>B.m1B.m=1
C.m__时,方程没有实数根.
11.如果关于x的方程x2-x+k=0(k为常数)有两个实数根,那么k的取值范围是__k≤__.
12.(2014·宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0,当b-1B.k-1且k≠0
14.关于x的一元二次方程x2-mx+(m-2)=0的根的情况是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
15.若关于x的一元二次方程nx2-2x-1=0无实数根,则一次函数y=(n+1)x-n的图象不经过(C)
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
16.(2014·贺州)已知关于x的方程x2+(1-m)x+=0有两个不相等的实数根,则m的最大整数值是__0__.
17.关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,则a满足的条件是__a≥1__.
18.已知a,b,c为三角形的三边长,且关于x的一元二次方程(b-c)x2+2(a-b)x+b-a=0有两个相等的实数根,那么这个三角形一定是__等腰__三角形.
19.(2014·扬州)已知关于x的方程(k-1)x2-(k-1)x+=0有两个相等的实数根,求k的值.
解:
∵关于x的方程(k-1)x2-(k-1)x+=0有两个相等的实数根,∴Δ=0,∴[-(k-1)]2-4(k-1)×=0,整理得k2-3k+2=0,即(k-1)(k-2)=0,解得k=1(不符合一元二次方程定义,舍去)或k=2,∴k=2
20.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根,求的值.
解:
∵ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根,∴b2-4a=0,b2=4a,∴原式==4
21.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.
解:
(1)Δ=4-4(2k-4)=20-8k.∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0.即20-8k>0,∴k0,∴方程有两个不相等的实数根
(2)∵方程有两个不相等的实数根,∴AB=AC不成立.∴要使△ABC是等腰三角形,则AB与AC其中一条边与BC相等,即方程必有一根为5,∴52-5(2k+1)+k2+k=0,解得k=4或k=5.经检验k=4或k=5均符合题意.即k的值为4或5
22.2.5一元二次方程的根与系数的关系
1.若一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则x1+x2=__-p__,x1x2=__q__.
2.一元二次方程在应用根与系数的关系时应注意两个条件:
(1)方程必须是__一般__形式;
(2)Δ__≥__0.
3.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=__-__,x1x2=____.
知识点1:
一元二次方程根与系数的关系
1.(2014·昆明)已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个根,则x1·x2等于(C)
A.-4B.-1C.1D.4
2.下列一元二次方程两实数根的和为-4的是(D)
A.x2+2x-4=0B.x2-4x+4=0
C.x2+4x+10=0D.x2+4x-5=0
3.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1,x2,则x1+x2-x1·x2的值为(D)
A.-7B.-3C.7D.3
4.方程x2=1-2x的两根的和等于__-2__.
5.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积:
(1)x2+3x+=0;
解:
x1+x2=-3,x1·x2=
(2)3x2-2x-1=0;
解:
x1+x2=,x1·x2=-
(3)2x2+3=7x2+x;
解:
x1+x2=-,x1·x2=-
(4)5x-5=6x2-4.
解:
x1+x2=,x1·x2=
知识点2:
一元二次方程根与系数的运用
6.已知一元二次方程x2-3x-1=0的两个根分别是x1,x2,则x12x2+x1x22的值为(A)
A.-3B.3C.-6D.6
7.若关于x的一元二次方程x2-4(m+1)x+4m-1=0两根互为相反数,则m的值是(D)
A.m=-B.m>
C.m>-且m≠0D.m=-1
8.已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根为2,则这个方程的另一个根是__-3__.
9.已知关于x的方程x2-mx+n=0的两个实根是0和-3,则m=__-3__,n=__0__.
10.(2014·莱芜)若关于x的方程x2+(k-2)x+k2=0的两根互为倒数,则k=__-1__.
11.若一元二次方程x2-(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3,b,则a+b=__5__.
12.已知x1,x2是方程x2-3x-2=0的两个实根,不解方程,求下列代数式的值;
解:
由根与系数的关系得x1+x2=3,x1x2=-2.
(1)+;
解:
原式==-
(2)x12+x22;
解:
原式=(x1+x2)2-2x1x2=9+4=13
(3)+;
解:
原式==-
(4)x12-3x1x2+x22;
解:
原式=(x12+x22)-3x1x2=13-3×(-2)=19
(5)(x1-2)(x2-2).
解:
原式=x1x2-2(x1+x2)+4=-2-6+4=-4
13.(2014·攀枝花)若方程x2+x-1=0的两实根为α,β,那么下列说法不正确的是(D)
A.α+β=-1B.αβ=-1
C.α2+β2=3D.+=-1
14.(2014·来宾)已知一元二次方程的两根分别是2和-3,则这个一元二次方程是(D)
A.x2-6x+8=0B.x2+2x-3=0
C.x2-x-6=0D.x2+x-6=0
15.如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1,x2满足x1x2-2x1-2x2-5=0,那么a的值为(B)
A.3B.-3C.13D.-13
16.(2014·呼和浩特)已知m,n是方程x2+2x-5=0的两个实数根,则m2-mn+3m+n=__8__.
点拨:
∵m,n是方程的两个实数根,∴mn=-5,m+n=-2,∵m2+2m-5=0,∴m2=5-2m,原式=(5-2m)-mn+3m+n=10+m+n=10-2=8
17.在解某个二次项系数为1的方程时,甲看错了一次项系数,得出的两个根为-9,-1;乙看错了常数项,得出的两根为8,2.则这个方程为__x2-10x+9=0__.
18.若关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为x1,x2,且满足x1=3x2,试求出方程的两个实数根及k的值.
解:
由根与系数的关系,得又∵x1=3x2③,联立①、③,解方程组,得∴k=x1x2+3=3×1+3=6.答:
方程两根为x1=3,x2=1,k=6
19.关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数根是x1和x2.
(1)求k的取值范围;
(2)如果x1+x2-x1x2-2,又k≤0,且k为整数,∴k=-1或0
20.已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1和x2.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当x12-x22=0时,求m的值.
解:
(1)由题意有Δ=(2m-1)2-4m2≥0,解得m≤.即实数m的取值范围是m≤
(2)由x12-x22=0得(x1+x2)(x1-x2)=0.若x1+x2=0,即-(2m-1)=0,解得m=.∵>,∴m=不合题意,舍去,若x1-x2=0,即x1=x2,∴Δ=0,由
(1)知m=.故当x12-x22=0时,m=
21.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立?
若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
解:
(1)∵原方程有两个实数根,∴[-(2k+1)]2-4(k2+2k)≥0,∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0,∴1-4k≥0,∴k≤,∴当k≤时,原方程有两个实数根
(2)假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立,∵x1,x2是原方程的两根,∴x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k.由x1·x2-x12-x22≥0,得3x1·x2-(x1+x2)2≥0.∴3(k2+2k)-(2k+1)2≥0,整理得:
-(k-1)2≥0,∴只有当k=1时,上式才能成立,又∵由
(1)知k≤,∴不存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立
22.3实践与探索
第1课时用一元二次方程解决简单的应用问题
1.列一元二次方程解决实际问题时,与应用一元一次方程一样,一般步骤为:
(1)审题,找等量关系;
(2)设__未知数__;(3)列__方程__;(4)解__方程__;(5)检验并作答.
2.构建一元二次方程来解决实际问题时,必须验证方程的解是否符合__实际意义__.
3.几何图形问题常根据__面积(或体积)__公式列出一元二次方程.
4.若设每次的平均增长(或降低)率为x,原来的基数为a,则第一次增长(或降低)后的数量为__a(1±x)__,第二次增长(或降低)后的数量为__a(1±x)2__.
知识点1:
用一元二次方程解决几何问题
1.一个面积为35m2的矩形苗圃,它的长比宽多2m,则这个苗圃的长为(C)
A.5mB.6mC.7mD.8m
2.等腰梯形面积为160cm2,上底比高多4cm,下底比高多20cm,这个梯形的高为(B)
A.20cmB.8cm
C.8cm或20cmD.非以上答案
3.一个正方形的边长增加了3cm,面积相应增加了39cm2,则原来这个正方形的边长为__5__cm.
4.如图,在一块长为22米,宽为17米的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米,则根据题意可列方程为__(22-x)(17-x)=300__.
5.如图是一个矩形花园,花园的长为100米,宽为50米,在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭,四周建有与观光休息亭等宽的观光大道,其余部分(图内阴影部分)种植的是不同花草.已知种植花草部分的面积为3600平方米,那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米?
解:
设正方形观光休息亭的边长为x米.依题意,有(100-2x)(50-2x)=3600.整理,得x2-75x+350=0.解得x1=5,x2=70.∵x2=70>50,不合题意,舍去,∴x=5.答:
矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米
知识点2:
用一元二次方程解决增长率问题
6.某药品经过两次降价,每瓶零售价由168元降为128元.已知两次降价的百分率相同,每次降价的百分率为x,根据题意列方程得(B)
A.168(1+x)2=128B.168(1-x)2=128
C.168(1-2x)=128D.168(1-x2)=128
7.某企业五月份的利润是25万元,预计七月份的利润将达到36万元.设平均月增长率为x,根据题意所列方程是__25(1+x)2=36__.
8.(2014·随州)某小区2013年绿化面积为2000平方米,计划2015年绿化面积要达到2880平方米.如果每年绿化面积的增长率相同,那么这个增长率是__20%__.
知识点3:
用一元二次方程解决其他问题
9.若两个连续整数的积是42,那么这两个整数的和是(C)
A.13B.-13
C.13或-13D.12或-14
10.一个两位数等于它的个位数的平方,且个位数比十位数大3,则这个两位数是(C)
A.25B.36
C.25或36D.-25或-36
11.一球以15m/s的速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)近似满足关系式:
h=15t-5t2,则小球在什么时刻的高度为10m?
解:
由题意知,10=15t-5t2,解得t=1或t=2,所以小球在1秒或2秒时的高度为10m
12.某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是(C)
A.50(1+x2)=196
B.50+50(1+x2)=196
C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196
D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196
13.如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2,求道路的宽.如果设小路宽为xm,根据题意,所列方程正确的是(A)
A.(20-x)(32-x)=540
B.(20-x)(32-x)=100
C.(20+x)(32-x)=540
D.(20-x)(32+x)=540
14.有一间长20m,宽15m的会议室,在它的中间辅一块地毯,地毯子的面积是会议室面积的一半,四周未铺地毯的留空宽度相同,则留空宽度为__2.5_m__.
15.(2014·丽水)如图,某小区规划在一个长30m,宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种花草,要使每一块花草的面积都为78m2,那么通道的宽应设计成多少?
设通道的宽为xm,由题意列方程__(30-2x)(20-x)=6×78__.
16.某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.
解:
设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x,根据题意,得400×(1+10%)(1+x)2=633.6,解得x=0.2=20%,x2=-2.2(不舍题意,舍去).答:
3月份到5月份营业额的
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