届湖南省长沙市湖南师范大学附中高考模拟一数学理试题.docx

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届湖南省长沙市湖南师范大学附中高考模拟一数学理试题

2019届湖南省长沙市湖南师范大学附中高考模拟

（一）数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）

A．的虚部为B．复数在复平面内对应的点位于第三象限

C．的共轭复数D．

【答案】D

【解析】利用的周期性先将复数化简为即可得到答案.

【详解】

因为，，，所以的周期为4，故，

故的虚部为2，A错误；在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；的共

轭复数为，C错误；，D正确.

故选：

D.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.

2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则；其中真命题的个数为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.

【详解】

如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线

平行于平面与平面的交线时也有，，故②错误；若，则垂直平面

内以及与平面平行的所有直线，故③正确；若，则存在直线且，因

为，所以，从而，故④正确.

故选：

C.

【点睛】

本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.

3．给出下列四个命题：

①若“且”为假命题，则﹑均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题，，则命题，；④设集合，，则“”是“”的必要条件；其中正确命题的个数是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】①利用真假表来判断，②考虑内角为，③利用特称命题的否定是全称命题判断，

④利用集合间的包含关系判断.

【详解】

若“且”为假命题，则﹑中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为时，不是象限角，故②错误；

由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为，所以，所以“”是“”的必要条件，

故④正确.

故选：

B.

【点睛】

本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题.

4．执行下面的程序框图，如果输入，，则计算机输出的数是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.

【详解】

本程序框图的功能是计算，中的最大公约数，所以，

，，故当输入，，则计算机输出的数

是57.

故选：

B.

【点睛】

本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.

5．已知，且，则的值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由及得到、，进一步得到，再利用两角差的正切公式计算即可.

【详解】

因为，所以，又，所以，

，所以.

故选：

A.

【点睛】

本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.

6．一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价元，乙每件进价元，甲商品每卖出去件可赚元，乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（）

A．甲件，乙件B．甲件，乙件C．甲件，乙件D．甲件，乙件

【答案】D

【解析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.

【详解】

设购买甲、乙两种商品的件数应分别，利润为元，由题意，

画出可行域如图所示，

显然当经过时，最大.

故选：

D.

【点睛】

本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断，是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.

7．已知函数，给出下列四个结论：

①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】化的解析式为可判断①，求出的解析式可判断②，由得，结合正弦函数得图象即可判断③，由

得可判断④.

【详解】

由题意，，所以，故①正确；

为偶函数，故②错误；当

时，，单调递减，故③正确；若对任意，都有

成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为

，故④正确.

故选：

C.

【点睛】

本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.

8．已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】先将所求问题转化为对任意恒成立，即得图象恒在函数

图象的上方，再利用数形结合即可解决.

【详解】

由得，由题意函数得图象恒在函数图象的上方，

作出函数的图象如图所示

过原点作函数的切线，设切点为，则，解得，所以切

线斜率为，所以，解得.

故选：

D.

【点睛】

本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题.

9．如图，四边形为正方形，延长至，使得，点在线段上运动.设，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】以为坐标原点，以分别为x轴，y轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决.

【详解】

以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形的边长为1，

则，，设，则，所以，且，

故.

故选：

C.

【点睛】

本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系，是一道基础题.

10．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值：

先用计算机产生个数对，其中，都是区间上的均匀随机数，再统计，能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若，则的估计值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】先利用几何概型的概率计算公式算出，能与构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到，能与构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出.

【详解】

因为，都是区间上的均匀随机数，所以有，，若，能与构成锐角三角形三边长，

则，由几何概型的概率计算公式知，

所以.

故选：

B.

【点睛】

本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.

11．已知双曲线的实轴长为，离心率为，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上运动，若为锐角三角形，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由已知先确定出双曲线方程为，再分别找到为直角三角形的两种情况，最后再结合即可解决.

【详解】

由已知可得，，所以，从而双曲线方程为

，不妨设点在双曲线右支上运动，则，当时，

此时，所以，

，所以；

当轴时，，所以，又为锐角三

角形，所以.

故选：

A.

【点睛】

本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到为锐角三角形的临界情况，即为直角三角形，是一道中档题.

12．已知定义在上的函数满足，且当时，，则方程的最小实根的值为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】先确定解析式求出的函数值，然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的，通过计算即可得到答案.

【详解】

当时，，所以，故当

时，，所以，而

，所以，又当时，

的极大值为1，所以当时，的极大值为，设方程

的最小实根为，，则，即，此时

令，得，所以最小实根为411.

故选：

C.

【点睛】

本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题.

二、填空题

13．设，则除以的余数是______.

【答案】1

【解析】利用二项式定理得到，将89写成1+88，然后再利用二项式定理展开即可.

【详解】

，因展开式中

后面10项均有88这个因式，所以除以的余数为1.

故答案为：

1

【点睛】

本题考查二项式定理的综合应用，涉及余数的问题，解决此类问题的关键是灵活构造二项式，并将它展开分析，本题是一道基础题.

14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是______.

【答案】

【解析】先由三视图在长方体中将其还原成直观图，再利用球的直径是长方体体对角线即可解决.

【详解】

由三视图知该几何体是一个三棱锥，如图所示

长方体对角线长为，所以三棱锥外接球半径为，故所求外接球的

表面积.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查几何体三视图以及几何体外接球的表面积，考查学生空间想象能力以及基本计算能力，是一道基础题.

15．如图，的外接圆半径为，为边上一点，且，，则的面积为______.

【答案】

【解析】先由正弦定理得到，再在三角形ABD、ADC中分别由正弦定理进一步得到B=C，最后利用面积公式计算即可.

【详解】

依题意可得，由正弦定理得，即，由图可

知是钝角，所以，，在三角形ABD中，，

，在三角形ADC中，由正弦定理得即，

所以，，故，，，故的面积为

.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查正弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，要灵活运用正弦定理公式及三角形面积公式，本题属于中档题.

16．如图，在平面四边形中，点，是椭圆短轴的两个端点，点在椭圆上，，记和的面积分别为，，则______.

【答案】

【解析】依题意易得A、B、C、D四点共圆且圆心在x轴上，然后设出圆心，由圆的方程与椭圆方程联立得到B的横坐标，进一步得到D横坐标，再由计算比值即可.

【详解】

因为，所以A、B、C、D四点共圆，直径为，又A、C关于x轴对称，

所以圆心E在x轴上，设圆心E为，则圆的方程为，联立椭圆方程

消y得，解得，故B的横坐标为，又B、D中点是E，所以D的横坐标为，

故.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查椭圆中的四点共圆及三角形面积之比的问题，考查学生基本计算能力及转化与化归思想，本题关键是求出B、D横坐标，是一道有区分度的压轴填空题.

三、解答题

17．在数列中，已知，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，证明：

.

【答案】

（1）；

（2）见解析.

【解析】

（1）由已知变形得到，从而是等差数列，然后利用等差数列的通项公式计算即可；

（2）先求出数列的通项，再利用裂项相消法求出即可.

【详解】

（1）由已知，，即，又，则数列是以1为首项3

为公差的等差数列，所以，即.

（2）因为，则，

所以，又

是递增数列，所以，综上，.

【点睛】

本题考查由递推公式求数列通项公式、裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，是一道基础题.

18．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，底面，且，为的中点.

（1）证明：

；

（2）设点是线段上的动点，当直线与直线所成的角最小时，求三棱锥的体积.

【答案】

（1）见解析；

（2）.

【解析】

（1）要证明，只需证明平面即可；

（2）以C为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求，并求其最大值从而确定出使问题得到解决.

【详解】

（1）连结AC、AE，由已知，四边形ABCE为正方形，则①，因为底面

，则②，由①②知平面，所以.

（2）以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

，所以，，，设，

，则，所以

，设，则

，所以当，即时，取最大值，

从而取最小值，即直线与直线所成的角最小，此时，

则，因为，，则平面，从而M到平面的

距离，所以.

【点睛】