椭圆重点.docx

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椭圆重点

椭圆（重点）

适用学科

高中数学

适用年级

高中三年级

适用区域

全国新课标

课时时长（分钟）

60

知识点

1.椭圆的定义2.椭圆的图像和性质

3.椭圆的应用

教学目标

1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．

2．了解椭圆的简单应用．理解数形结合的思想.

教学重点

椭圆的定义与标准方程；椭圆的几何性质的应用

教学难点

椭圆的综合问题的处理及运算能力的要求。

教学过程

一.课程导入：

取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

（学生动手，观察结果） 

思考：

移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

经过观察后思考：

在移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数.

二、复习预习

根据圆的定义我们得到圆的图形和方程,那么我们是否可以利用椭圆的定义画出椭圆的图像和方程,通过我们我们了解的图像和方程,我们就要研究它的性质,这也是我们这节课的重点

三、知识讲解

考点1、椭圆的定义

在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

考点2、椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

＋

＝1（a>b>0）

＋

＝1

（a>b>0）

图　形

性质

范　围

－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性

对称轴：

坐标轴；对称中心：

原点

顶点

A1（－a,0），A2（a,0）

B1（0，－b），B2（0，b）

A1（0，－a），A2（0，a）

B1（－b,0），B2（b,0）

轴

长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b

焦距

|F1F2|＝2c

离心率

e＝

∈（0,1）

a，b，c

的关系

c2＝a2－b2

四、例题精析

考点一椭圆的标准方程

【例题1】

【题干】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为

，则椭圆方程为（　　）

A.

＋

＝1B.

＋

＝1C.

＋

＝1D.

＋

＝1

【答案】D

【解析】　2a＝12，∴a＝6，∵e＝

＝

，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选D.

考点二椭圆的定义

【例题2】

【题干】已知圆（x＋2）2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2,0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（　　）

A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线

【答案】B

【解析】点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，

∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．

考点三椭圆的离心率

【例题3】

【题干】正数a、b的等差中项是

，等比中项是

，且a>b，则椭圆

＋

＝1的离心率e等于

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】　由题意可知

又因为a>b，

所以解得

所以椭圆的半焦距为c＝

，

所以椭圆的离心率e＝

＝

，故选C.

考点四椭圆中的最值问题

【例题4】

【题干】直线l：

x－y＝0与椭圆

＋y2＝1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．

【答案】

【解析】设与l平行的直线方程为x－y＋a＝0，当此直线与椭圆的切点为C时，△ABC的面积最大，将y＝x＋a代入

＋y2＝1中整理得，3x2＋4ax＋2（a2－1）＝0，由Δ＝16a2－24（a2－1）＝0得，a＝±

，两平行直线x－y＝0与x－y＋

＝0的距离d＝

，将y＝x代入

＋y2＝1中得，x1＝－

，x2＝

，

∴|AB|＝

|

－（－

）|＝

，

∴S△ABC＝

|AB|·d＝

×

×

＝

.

课后评价