小学数学难题解法大全 第一部分 常用解题依据 六一四则运算定律与性质.docx

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小学数学难题解法大全第一部分常用解题依据六一四则运算定律与性质

小学数学难题解法大全第一部分常用解题依据之

（一）四则运算定律与性质

1．加法运算定律

　　【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。

这叫做“加法的交换定律”，简称“加法交换律”。

　　加法交换律用字母表达，可以是

　　a+b=b+a。

　　例如：

864+1，236=1，236+864=2，100

　　【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。

这叫做“加法的结合定律”，简称“加法结合律”。

　　加法结合律用字母表达，可以是

　　（a+b）+c=a+（b+c）。

　　例如：

（48928+2735）+7265

　　=48928+（2735+7265）

　　=48928+10000

　　=58928

2．乘法运算定律

　　【乘法交换律】两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。

这叫做“乘法的交换律”。

　　用字母来表达乘法交换律，可以是

　　a·b＝b·a

　　例如，807×13，865=13，865×807=11，189，055

　　【乘法结合律】三个数相乘，先把前面两个数相乘，再与第三个数相乘；或者先把后面两个数相乘，再与第一个数相乘，它们的积不变。

这叫做“乘法的结合律”。

　　用字母表达乘法结合律，可以是

　　（a·b）·c=a·（b·c）

　　例如，（427×125）×8=427×（125×8）

　　=427×1，000

　　=427，000

　　【乘法分配律】两个数的和乘以一个数（或者一个数乘以两个数的和），等于每一个加数分别乘以这个数（或者这个数分别乘以每一个加数）所得的两个积之和。

这叫做“乘法对于加法的分配律”，简称“乘法分配律”。

　　用字母表达乘法分配律，可以是

　　（a+b）c=ac+bc；

　　或者是a（b+c）=ab+ac。

　　例如，（125+25）×8=125×8+25×8

　　=1，000+200

　　=1，200

　　=8+15

　　=23

　　【乘法运算律的推论】

　　推论1若干个数的和乘以若干个数的和，可以先把第一个和里的每一个加数与第二个和里的每一个加数相乘，再把所得的积相加。

　　用字母来表达，可以是：

　　（a1+a2+a3+…+an）（b1+b2+b3+…+bn）

　　＝a1b1+a2b1+a3b1+…+anb1+a1b2+a2b2+a3b2+…+

　　anb2+a1b3+a2b3+a3b3+…+anb3+…+a1bn+a2bn+

　　a3bn+…+anbn

　　例如，（2000+300+40+5）×（600+70+8）

　　=2000×600+300×600+40×600+5×600+2000×70

　　+300×70+40×70+5×70+2000×8+300×8+40

　　×8+5×8

　　=1200000+180000+24000+3000+140000+21000+

　　2800+350+16000+2400+320+40

　　=1589910

　　推论2两个数的差乘以一个数（或者一个数乘以两个数的差），等于被减数和减数分别乘以这个数所得积的差（或者是这个数分别乘以被减数和减数所得积的差）。

　　用字母来表达，可以是：

　　（a－b）c＝ac－bc；或a（b-c）=ab-ac。

　　例如，（250-25）×4=250×4-25×4

　　=1000-100

　　=900

　　=15-8

　　=7

3．四则运算性质

　　【加法运算性质】加法的运算性质主要有以下三条：

（1）一个数加上几个数的和，可以把这个数加和里的第一个加数，再加第二、三……个加数。

　　用字母来表达，可以是：

　　a+（b+c+d）=a+b+c+d。

　　例如，85+（15+57+43）=85+15+57+43

　　=100+57+43

　　=157+43

　　=200

（2）几个数的和加上一个数，可以把这个加数加到和里的任意一个加数上去，再加和里的其他加数。

　　用字母来表达，可以是：

　　（a+b+c）+d=（a+d）+b+c

　　=a+（b+d）+c

　　=a+b+（c+d）。

　　（3）几个数的和加上几个数的和，可以把两个和里的所有加数依次相加。

　　用字母来表达，可以是:

　　（a1+a2+a3+……+an）+（b1+b2+b3+……+bn）

　　=a1+a2+a3+……+an+b1+b2+b3+……+bn

　　例如，（800+70+6）+（1200+500+60+7）

　　=800+70+6+1200+500+60+7

　　=2643

　　【加减混合运算性质】“加减混合运算性质”也可称为“和与差的性质”。

这些性质有以下几条：

（1）第一个数加上（或减去）第二个数，再减去第三个数，可以把第一个数先减去第三个数，再加上（或减去）第二个数。

这就是说，在加减混合运算中，改变运算的顺序，得数不变。

这常被称之为加减混合运算的“交换性质”。

　　用字母来表达这一性质，可以是：

　　a+b-c=a-c+b；

　　或a-b-c=a-c-b。

　　例如3458+6789-2458=3458-2458+6789

　　=1000+6789

　　=7789

　　4087-1198-2087=4087-2087-1198

　　=2000-1198

　　=802

（2）一个数加上两个数的差，等于这个数加上差里的被减数，再减去差里的减数。

这可以称之为加减混合运算的“结合性质”。

　　用字母表示这一性质，可以是：

　　a+（b-c）＝a+b-c

　　例如，1364+（8636-2835）=1364+8636-2835

　　=10000-2835

　　=7165

　　（3）一个数减去几个数的和，等于这个数依次减去和里的每一个加数。

这也可称之为“结合性质”。

　　用字母表示这一性质，可以是：

　　a-（b+c+d+e）=a-b-c-d-e。

　　例如，8675-（605+1070+287）

　　=8675-605-1070-287

　　=8070-1070-287

　　=7000-287

　　=6713

　　（4）一个数减去两个数的差，等于这个数先加上差里的减数，再减去差里的被减数。

这也是加减混合运算的“结合性质”。

　　用字母表示这一性质，可以是：

　　a－（b－c）＝a+c－b。

　　例如，754-（600-246）=754+246-600

　　=1000-600

　　=400

　　（5）几个数的和减去一个数，可以用和里的等于或大于这个数的一个加数，先减去这个数，然后再加和里的其他加数。

这也是“结合性质”。

　　用字母表示这一性质，可以是：

　　（a+b+c+d）-e=（a-e）+b+c+d（a、b、d、d≥e）

　　=a+（b-e）+c+d

　　=a+b+（c-e）+d

　　=a+b+c+（d-e）。

　　例如，（421+368+468）-368=421+（368-368）+468

　　=421+468

　　=889

　　（6）几个数的和减去几个数的和，可以用第一个和里的各个加数，分别减去第二个和里不比它大的各个加数，然后相加。

这也可称为“结合性质”。

　　用字母表示这一性质，可以是：

　　（a+b+c+d）-（e+f+g+h）

　　=（a-e）+（b-f）+（c-g）+（d-h）

　　（a≥e，b≥f，c≥g，d≥h）

　　例如，（865+721+543+697）-（765+621+343+697）

　　=（865-765）+（721-621）+（543-343）+（697-697）

　　=100+100+200+0

　　=400

　　【乘除混合运算性质】“乘除混合运算性质”也可称之为“积与商的性质”。

它们的性质可分为三类：

　　第一类是“交换性质”：

　　在乘除混合运算或连除的算式中，变更它们的运算顺序，得数的大小不变。

　　用字母表示这一性质，可以是：

　　a·b÷c=a÷c·b（c≠0）

　　a÷b·c=a·c÷b（b≠0）

　　a÷b÷c=a÷c÷b（b≠0，c≠0）

　　例如2460×376÷246=2460÷246×376

　　=10×376

　　=3760

　　6900÷25÷69=6900÷69÷25

　　＝100÷25

　　=4

　　第二类是“结合性质”。

结合性质有以下几条：

（1）一个数乘以两个数的商，等于这个数先乘以商里的被除数，再用积除以商里的除数。

　　用字母表达这一性质，可以是：

　　a·（b÷c）＝a·b÷c（c≠0）

　　例如7×（400÷28）=7×400÷28

　　=2800÷28

　　=100

（2）一个数除以两个（或若干个）因数的积，等于这个数除以积里的一个因数，再依次除以其他的因数。

　　用字母表达这一性质，可以是：

　　a÷（b·c）=a÷b÷c（b、c≠0）

　　a÷（b·c……·m）=a÷b÷c÷……÷m（b，c……m≠0）

　　例如，1050÷（2×3×5×7）=1050÷2÷3÷5÷7

　　＝525÷3÷5÷7

　　=175÷5÷7

　　＝35÷7

　　=5

　　（3）一个数除以两个数的商，等于这个数除以商里的被除数，再乘以商里的除数。

　　用字母表示这一性质，可以是：

　　a÷（b÷c）＝a÷b×c（b≠0，c≠0）

　　例如，3600÷（360÷40）=3600÷360×40

　　=10×40

　　＝400

　　第三类是“分配性质”。

分配性质有以下几条：

（1）两个数的差与一个数相乘，可以用被减数与减数分别与这个数相乘，然后再相减。

　　用字母表达这一性质，可以是：

　　（a-b）c＝ac－bc

　　a（b-c）=ab-ac

　　例如，（100-3）×21=100×21-3×21

　　=2100-63

　　=2037

　　78×（100-1）=78×100-78×1

　　=7800-78

　　=7722

（2）几个数的和除以一个数，可以用和里的每个加数分别除以这个数，再把所得的商相加。

　　用字母表达这一性质，可以是:

　　（a+b+c）÷d=a÷d+b÷d+c÷d。

（d≠0）

　　例如，（3700+1110+37）÷37

　　=3700÷37+1110÷37+37÷37

　　=100+30+1

　　=131

　　注意：

此性质不适用于“一个数除以几个数的和”，即a÷（b+c+d）≠a÷b+a÷c+a÷d。

比方，

　　6850÷（100+37）≠6850÷100+6850÷37。

　　（3）两个数的差除以一个数，可以把被减数和减数分别除以这个数，再把所得的商相减。

　　用字母表达这一性质，可以是：

　　（a-b）÷m=a÷m-b÷m（m≠0）

　　例如，（3400-68）÷34=3400÷34-68÷34

　　=100-2

　　=98

　　注意：

此性质也不适用于“一个数除以两个数的差”。

即

　　m÷（a-b）≠m÷a-m÷b。

　　比方3400÷（68-34）≠3400÷68-3400÷34。

　　（4）几个数的积除以一个数，可以把积里的任何一个因数除以这个数，然后再与其他因数相乘。

　　用字母表达这一性质，可以是：

　　（a·b·c）÷m=（a÷m）·b·c＝a·（b÷m）·c=a·b·（c÷m）（m≠0）

　　例如，（20×48×5）÷8=20×（48÷8）×5

　　=20×6×5

　　=600

　　（5）几个数的积除以几个数的积，可以把第一个积里的各个因数，分别除以第二个积里的各个因数，然后把所得的商相乘。

　　用字母表达这一性质，可以是：

　　（a·b·c·d）÷（e·f·g）＝（a÷e）·（b÷f）·（c÷g）·d。

（e·f·g≠0）

例如，（21×15×48）÷（7×3×16）=（21÷7）×（15÷3）×（48÷16）=3×5×3=45