全国各地高考文科数学试题分类汇编14导数.docx
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全国各地高考文科数学试题分类汇编14导数
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编14:
导数
一、选择题
1.(2013年高考课标Ⅱ卷(文))已知函数,下列结论中错误的是 ( )
A.R, B.函数的图像是中心对称图形
C.若是的极小值点,则在区间上单调递减
D.若是的极值点,则
【答案】C
2.(2013年高考大纲卷(文))已知曲线( )
A. B. C. D.
【答案】D
3.(2013年高考湖北卷(文))已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
4.(2013年高考福建卷(文))设函数的定义域为,是的极大值点,以下结论一定正确的是 ( )
A. B.是的极小值点
C.是的极小值点 D.是的极小值点
【答案】D
5.(2013年高考安徽(文))已知函数有两个极值点,若,则关于的方程的不同实根个数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】A
6.(2013年高考浙江卷(文))已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是
【答案】B
二、填空题
7.(2013年高考广东卷(文))若曲线在点处的切线平行于轴,则____________.
【答案】
8.(2013年高考江西卷(文))若曲线(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________.
【答案】2
三、解答题
9.(2013年高考浙江卷(文))已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;
(Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.
【答案】解:
(Ⅰ)当时,,所以,所以在处的切线方程是:
;
(Ⅱ)因为
①当时,时,递增,时,递减,所以当
时,且,时,递增,时,递减,所以最小值是;
②当时,且,在时,时,递减,时,递增,所以最小值是;
综上所述:
当时,函数 最小值是;当时,函数最小值是;
10.(2013年高考重庆卷(文))(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为米,高为米,体积为立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率).
(Ⅰ)将表示成的函数,并求该函数的定义域;z
(Ⅱ)讨论函数的单调性,并确定和为何值时该蓄水池的体积最大.z
【答案】
11.(2013年高考陕西卷(文))已知函数.
(Ⅰ)求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
(Ⅱ)证明:
曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点.
(Ⅲ)设a
【答案】解:
(Ⅰ) f(x)的反函数,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=.
.过点(1,0)的切线方程为:
y=x+1
(Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点,过程如下.
因此,
所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕)
(Ⅲ)设
令.
,
且 .
,所以
12.(2013年高考大纲卷(文))已知函数
(I)求;
(II)若
【答案】(Ⅰ)当时, .
令,得,,.
当时,,在是增函数;
当时,,在是减函数;
当时,,在是增函数;
(Ⅱ)由得,.
当,时,
,
所以在是增函数,于是当时,.
综上,a的取值范围是.
13.(2013年高考辽宁卷(文))(I)证明:
当
(II)若不等式取值范围.
【答案】
14.(2013年高考四川卷(文))已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.
(Ⅰ)指出函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,证明:
;
(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.
【答案】解:
(Ⅰ)函数的单调减区间为,单调增区间为,
(Ⅱ)由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,
故当点处的切线互相垂直时,有 ,
当x<0时,
因为,所以 ,所以, ,
因此,
(当且仅当,即且时等号成立)
所以函数的图象在点处的切线互相垂直时有.
(Ⅲ)当或时, ,故.
当时,的图象在点处的切线方程为
即 .
当时,的图象在点处的切线方程为
即 .
两切线重合的充要条件是,
由①及知,,
由①、②得 ,
令,则,且
设,则
所以为减函数,则,
所以,
而当且t趋向于0时,无限增大,
所以的取值范围是.
故当函数的图象在点处的切线重合时,的取值范围是.
15.(2013年高考课标Ⅱ卷(文))己知函数f(X)=x2e-x
(I)求f(x)的极小值和极大值;
(II)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.
【答案】
16.(2013年高考北京卷(文))已知函数.
(Ⅰ)若曲线在点)处与直线相切,求与的值.
(Ⅱ)若曲线与直线 有两个不同的交点,求的取值范围.
【答案】解:
由,得.
(I)因为曲线在点处与直线相切,所以
,解得,.
(II)令,得. 与的情况如下:
所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,是的最小值.
当时,曲线与直线最多只有一个交点;
当时,>, ,
所以存在,,使得.
由于函数在区间和上均单调,所以当时曲线与直线有且只有两个不同交点.
综上可知,如果曲线与直线有且只有两个不同交点,那么的取值范围是.
17.(2013年高考课标Ⅰ卷(文))(本小题满分共12分)
已知函数,曲线在点处切线方程为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)讨论的单调性,并求的极大值.
【答案】
(II)由(I)知,
令
从而当<0.
故.
当.
18.(2013年高考天津卷(文))设,已知函数
(Ⅰ)证明在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;
(Ⅱ)设曲线在点处的切线相互平行,且 证明.
【答案】
19.(2013年高考福建卷(文))已知函数(,为自然对数的底数).
(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;
(2)求函数的极值;
(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.
【答案】解:
(Ⅰ)由,得.
又曲线在点处的切线平行于轴,
得,即,解得.
(Ⅱ),
①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.
②当时,令,得,.
,;, .
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上,当时,函数无极小值;
当,在处取得极小值,无极大值.
(Ⅲ)当时,
令,
则直线:
与曲线没有公共点,
等价于方程在上没有实数解.
假设,此时,,
又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.
又时,,知方程在上没有实数解.
所以的最大值为.
解法二:
(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.
(Ⅲ)当时,.
直线:
与曲线没有公共点,
等价于关于的方程在 上没有实数解,即关于的方程:
(*)
在上没有实数解.
①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解.
②当时,方程(*)化为.
令,则有.
令,得,
当变化时,的变化情况如下表:
当时,,同时当趋于时,趋于,
从而的取值范围为.
所以当时,方程(*)无实数解,解得的取值范围是.
综上,得的最大值为.
20.(2013年高考湖南(文))已知函数f(x)= .
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)证明:
当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.
【答案】解:
(Ⅰ)
.
所以,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,只需要证明:
当x>0时f(x) . 21.(2013年高考广东卷(文))设函数 . (1)当时,求函数的单调区间; (2)当时,求函数在上的最小值和最大值, 【答案】 (1)当时 ,在上单调递增. (2)当时,,其开口向上,对称轴 ,且过 (i)当,即时,,在上单调递增, 从而当时, 取得最小值 , 当时, 取得最大值. (ii)当,即时,令 解得: 注意到, (注: 可用韦达定理判断,,从而;或者由对称结合图像判断) 的最小值, 的最大值 综上所述,当时,的最小值,最大值 解法2 (2)当时,对,都有 ,故 故,而 , 所以 , (1) 解法3: 因为,; ① 当时,即时,,在上单调递增,此时无最小值和最大值; ② 当时,即时,令,解得或;令,解得或; 令,解得; 因为, 作的最值表如下: 极大值 极小值 则,; 因为 ; ,所以; 因为 ; ; 所以; 综上所述,所以,. 22.(2013年高考山东卷(文))已知函数 (Ⅰ)设,求的单调区间 (Ⅱ)设,且对于任意,.试比较与的大小 【答案】 当时函数的单调递减区间是 23.(2013年高考湖北卷(文))设,,已知函数. (Ⅰ)当时,讨论函数的单调性; (Ⅱ)当时,称为、关于的加权平均数. (i)判断, ,是否成等比数列,并证明; (ii)、的几何平均数记为G.称为、的调和平均数,记为H.若,求的取值范围. 【答案】(Ⅰ)的定义域为, . 当时,,函数在,上单调递增; 当时,,函数在,上单调递减. (Ⅱ)(i)计算得,,. 故,即 . ① 所以成等比数列. 因,即.由①得. (ii)由(i)知,.故由,得 . ② 当时,. 这时,的取值范围为; 当时,,从而,由在上单调递增与②式, 得,即的取值范围为; 当时,,从而,由在上单调递减与②式, 得,即的取值范围为.
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