第八章Z变换与离散系统z域分析.docx
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第八章Z变换与离散系统z域分析
第八章:
变换
§8.1定义、收敛域(《信号与系统》第二版(郑君里)8.1,8.2,8.3)
定义(变换):
♦序列的双边变换:
(8-1)
♦序列的单边变换:
(8-2)
注:
1)双边:
(8-3)
为Laurent级数,其中,是Laurent级数的正则部,是主部。
2)是复平面上的一点
图8-1
3)对因果序列:
单边变换=双边变换。
♦定义(逆变换):
对双边变换
由Cauchy定理,有
(8-4)
其中,C为包围原点的闭曲线,
定义:
(8-5)
注:
(8-4)的求解:
,,则有
图8-2柯西定理证明示意图
收敛域:
♦定义(收敛域):
对有界,使的的集合。
♦判别方法:
,为充分条件
(8-6)
令,有两种判别级数收敛的方法。
达兰贝尔方法:
(8-7)
柯西方法:
(8-8)
若,则收敛;
若,则发散;
若,则不定。
序列的分类与收敛域:
♦右边序列:
(8-9)
(8-10)
(8-11)
为圆的外部。
8-3因果序列收敛域
(8-12)
(8-13)
♦左边序列:
(8-14)
(8-15)
(8-16)
为圆的内部。
(8-17)
(8-18)
♦双边序列:
(8-19)
=右边序列+左边序列
(8-20)
右边序列,左边序列,若则为环状收敛域,则无公共收敛域。
图8-4双边序列收敛域
典型序列变换:
♦单位样值函数
(8-21)
♦单位阶跃函数
(8-22)
♦斜升函数
(8-23)
♦指数函数(右边)
(8-24)
注:
因式分解求变换的基础与变换不同,
而
♦复指数函数
(8-25)
♦指数函数(左边,逆因果序列)
(8-26)
§8.2变换计算方法(《信号与系统》第二版(郑君里)8.4)
留数方法:
(8-27)
图8-5双边序列收敛域中的围线C
(8-28)
注:
1)(正)包围:
逆时针方向走,极点在围线的左侧;
负包围:
逆时针方向走,极点都在围线的右侧。
2)若的极点为阶,则
当时,
(与LT逆变换类似)
例:
求:
解:
右边序列;
Z=0随着n的取值不同分别是二阶、一阶极点,或不是极点。
①当时,极点为:
②当时,极点为:
Z3=Z4=0为二阶极点,其留数=6,
可求得:
③当时,有三个一阶极点:
可求得:
综上,有
长除法:
略。
部分分式展开法:
类似拉氏变换,Z变换亦有其基本单元:
(8-29)
由于基本单元分子中含有因子z,因此应该对作部分分式展开:
,这样才能使符合基本单元的形式。
其中:
显然,
例:
求:
,1),2),3)
解:
图8-6X(z)/z的零极点
1)
2)
3)
§8.3变换性质(《信号与系统》第二版(郑君里)8.5)
线性性质:
(8-30)
位移:
用移位前序列的变换表示移位后序列的变换。
♦双边变换移位性质:
(8-31)
收敛域
注:
1),右移(延迟)步;,左移(导前)步。
2)引入步延迟算子:
(8-32)
♦因果序列右移的变换性质:
(8-33)
因果序列左移的Z变换纳入下列性质。
♦双边序列左/右移的单边变换:
左移性质:
(8-34)
直观分析:
左移m后,单边Z变换应该从序列的x(m)项开始。
而原序列单边Z变换X(z)是从x(0)项开始的,因此需要减掉。
口诀:
左移项少须减掉。
右移性质:
(8-35)
直观分析:
右移m后,单边Z变换应该从序列的x(m)项开始。
而原序列单边Z变换X(z)是从x(0)项开始的,因此需要把这m项加上。
口诀:
右移项多须外扩。
线性加权Z域微分
(8-36)
口诀:
线性加权慢,微分负号z相伴。
思考题:
序列线性加权后,收敛域是否变化?
指数加权Z域尺度变换
(8-37)
口诀:
征集中……。
初值定理:
若为因果序列,则
(8-38)
终值定理:
若为因果序列,在单位圆上/外解析(在单位圆上,可有的任意阶极点),则
(8-39)
证明:
是因果序列,则。
由序列左移后的单边变换性质有:
,于是
例1:
单位阶跃序列
例2:
指数序列。
例3:
指数序列,,则不宜用终值定理。
例4:
斜变序列,显然。
由终值定理验证:
,亦为无穷大。
例5:
事实上,序列一直振荡,终值不确定。
卷积定理:
,,则
(8-40)
收敛域:
两个z变换收敛域的公共部分。
零极点相消可扩大收敛域。
卷积定理可用于在z域求解,然后逆变换得到时域卷积的结果。
此外,还可以用于求反卷积。
域卷积定理——序列乘积的z变换:
(8-41)
C1为C2相同。
收敛域:
由的收敛域。
即:
若令,常数,常数,则,则有
(8-42)
上式即为的卷积。
可见(8-41)式定义之合理性。
Paserval定理:
(8-43)
证明:
令z=1,,
得到定理公式。
注:
1)条件:
收敛域含单位圆,可以令z=1。
2)单位圆的表示:
,取式中为单位圆,则有。
3)内积不变性:
T由+,则(8-43)式化为:
(8-44)
4)能量不变性:
取,则
(8-45)
§8.4变换与变换的关系(《信号与系统》第二版(郑君里)8.6)
的关系:
♦物理延迟:
(a)
(b)
(c)
图8-7物理延迟的表示:
(a)时域、(b)S域、(c)Z域表示
形式相等:
(8-46)
♦
为采样间隔
,
(8-47)
周期为。
s平面到z平面的映射关系如下:
多 1
虚轴 单位圆,周期为
左半开平面 单位圆内
右半开平面单位圆外
图8-8s平面到z平面的映射关系
采样序列变换与原信号的变换的关系:
图8-9
(*)
注:
1)是稳定信号的极点
2)的收敛域,
(*)式化为:
(上式第三项为零)
与上式结果相同。
例:
§8.5变换解差分方程(《信号与系统》第二版(郑君里)8.7)
(8-48)
(8-49)
可直接带入初值求,并求逆变换得。
如果因果序列输入:
,且零状态:
,则有
(8-50)
图8-10离散系统的z变换求解
§8.6系统函数、BIBO稳定(《信号与系统》第二版(郑君里)8.8)
系统函数:
(8-51)
若,则,则
(8-52)
可见,是线性定常离散时间系统的特征函数。
BIBO稳定,说明的收敛域包含单位圆。
若是因果系统,则的极点全部都在单位圆内。
TheEnd
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- 第八 变换 离散系统 分析