初等几何研究试题答案5李长明版.docx
- 文档编号:10821178
- 上传时间:2023-02-23
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:126.25KB
初等几何研究试题答案5李长明版.docx
《初等几何研究试题答案5李长明版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初等几何研究试题答案5李长明版.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
初等几何研究试题答案5李长明版
5、关于平行与垂直
1、I是△ABC的内心,AI、BI和CI的延长线分别交△ABC的外接圆于D、E和F.
求证:
EF⊥AD.
证明:
已知I是△ABC的内心,
∴AD、BE和CF是∠BAC、∠ABC和∠ACB的角平分线
∴⌒BD=⌒CD,⌒BF=⌒AF,⌒AE=⌒CE
∴⌒BD+⌒BF+⌒AE=⌒CD+⌒AF+⌒CE
∴⌒DF+⌒AE=⌒DE+⌒AF
∴∠AIF=∠AIE=∠DIF=∠DIE
∴EF⊥AD
2.A、B、C、D是圆周上“相继的”四点,P、Q、R、S分别是弧AB、BC、CD、DA的中点,求证:
PR⊥QS.
证明:
∵P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DA的中点
∴⌒AP=⌒PB,⌒BQ=⌒QC,⌒CR=⌒RD,⌒DS=⌒SA
∴⌒AP+⌒QC+⌒CR+⌒SA=⌒PB+⌒BQ+⌒RD+⌒DS
又∵⌒PQ+⌒RS=⌒PB+⌒BQ+⌒RD+⌒DS,⌒SP+⌒RQ=⌒AP+⌒QC+⌒CR+⌒SA
∴⌒PQ+⌒RS=⌒SP+⌒RQ
∴SQ⊥PR
3、凸四边形ABCD的每条对角线皆平分它的面积,求证:
ABCD是平行四边形。
证明:
设AC和BD相交于点O,作AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,连接AF,CE
∵对角线BD平分四边形ABCD的面积
∴S△ABD=S△CBD
∴AE=CF
又∵AE⊥BD,CF⊥BD
∴AE∥CF
∴四边形AECF为平行四边形
∴AO=CO
O
O
同理可得BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形
4、已知△BCX和△DAY是□ABCD外的等边三角形,E、F、G和H是YA、AB、XC和CD的中点。
求证:
EFGH是平行四边形。
证:
∵ABCD是平行四边形,且F、H是AB、CD的中点
∴CH=AF,∠BCD=∠BAD,且AD=BC
∵△BCX、△DAY是分别以BC、AD为边的等边三角形
且E、G分别是AY、XC的中点
∴∠XCB=∠DAY,CG=AE∴∠GCH=∠EAF
∴△GCH≌△AEF
∴EF=GH且∠GHC=∠AFE
∵AB∥CD
∴∠AFH=∠AEF,∠GHF=∠EFH
∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形
5.在△ABC的各边上向外作正方形BCDE、CAFG、ABHI,其中心依次为O1,O2,O3
求证:
AO1┴O2O3
证明:
如上图所示
取AC中点M,连结MO2、CE、AE、HC
∵BH=ABBC=CE
∠HBA+∠ABC=∠EBC+∠ABC即∠HBC=∠ABE
∴△ABE≌△HBC
∴AE=HCHB=ABBE=BC
又∵∠HBA=90º
∴AE┴HC
又∵O3、M、O1、中点
∴O3M=
HCMO1=
AE
又∵HC=AE
∴MO1=┴O3M且MO1┴O3M
又∵AM=MO2∠AMO2+AMO3=∠O1MO3+∠AMO3即∠O1MO2=∠AMO1
∴△O2MO3≌△AMO1
∴AM=MO2AO1=O2O3∠AMO2=90º
∴AO1┴O3M
6.正方形ABCD内任取一点E,连AE、BE,在△ABE外分别以AE、BE为边作正方形AEMN和EBFG,连NC、AF.
求证:
NC∥AF
证明:
连结CF、DN.如图所示。
则有
AN=AE,AD=AB
∵∠NAD+∠DAE=∠EAB+∠DAE=90º
∴∠NAD=∠EAB
∴△ADN≌△ABE
又AB=BC,BF=BE
∠CBF+∠CBE=∠ABE+∠CBE=90º
∴∠CBF=∠ABE
即有△ADN≌△CBF
∴AN=CF
又DN=BF,CD=AB
∠NDC=∠NDA+90º=∠ABE+90º=∠ABF
∴△CDN≌△ABF
∴CN=AF
∴四边形AFCN为平行四边形
即NC∥AF
7以□ABCD的对角线AC为一边在其两侧各作一个正三角形ACD、ACQ。
求证:
BPDQ为□。
证明:
由题意可得:
△APC≌ΔACQ
∴AP=QC,AQ=PC又∵∠PAC=∠ACQ=60º
∵AB∥CD∴∠BAC=∠ACD
∠PAB=∠PAC-∠BAC
∠DCQ=∠ACQ-∠ACD
∴∠PAB=∠DCQ
在ΔAPB和ΔDCQ中
AP=CQAB=CD
∴ΔAPB≌ΔQCD
∴BP=DQ
又∠QAC=∠ACP=60º
∵AB∥CD∠BAC=∠ACD
∠BAQ=∠QAC+∠BAC∠DCP=∠ACP+∠ACD
∠BAC=∠DCP
在ΔABQ和ΔPDC中
AB=DCAQ=PC
∴ΔABQ≌ΔPDC
∴BQ=PD
∴四边形BPDQ为平行四边形。
8.已知:
凸五边形的四条边平行于所对的对角线。
求证:
第五边也平行于所对的对角线。
证:
如图所示,已知
AB//CE,BC//DA,
CD//BE,DE//AC,
AB//CE,BC//DA,
CD//BE,DE//AC,
S∆ABE=S∆ABC
S∆ABC=S∆DBC
S∆DBC=S∆DEC
S∆DEC=S∆ADE
S∆ABE=S∆ADE
AE//CE
9.在△ABC中,∠B≠90°,BC边的垂直平分线交AB于D,△ABC的外接圆在A、B两点之切线交于E,
求证:
DE∥BC.
证明:
连接CD
EA=EC
∠2=∠EAC
又CD=BD
∠B=∠DCB
又
∠2=∠B(外角=内对角)
△ACE∽△BCD
∠BCD=∠AEC
又∠BDC+∠CDA=180°
∠AEC+∠CDA=180°
A、D、C、E四点共圆
∠1=∠2(同弦所对的圆周角)
∠1=∠B
10.P是正方形ABCD边CD上的一点,过D作AP的垂线分别交AP、BC于Q、R,O是正方形的中心,求证:
OP⊥OR。
证明:
如图所示,
∵∠PAD=90°-∠APD=∠RDC
又∵∠ADC=∠DCR
∴∠APD=∠DRC
又∵AD=CD
∴△APD≌△DRC
∴AP=DR
∵∠OAP=45°-∠PAD
∠ODR=45°-∠RDC
∴∠OAP=∠ODR
又∵O为正方形ABCD的中心,
∴OA=OD
∴△AOP≌△DOR
又∵AP⊥DR
∴△DOR是经O点旋转90°得到的,
∴OP⊥OR.
11、从等腰△ABC的底边AC上的中点M作BC边的垂线MH,H为垂足,点P为线段MH的中点。
求证:
AH⊥BP。
证明:
如图取AM的中点Q,并连接BQ、PQ
则在Rt△BAM中,BQ为中线
又BP为Rt△BMH的中线
∴∠QBM=∠PBH
∴Rt△BQM∽Rt△BPH
则∠BPH=∠BQM
∴点B、Q、M、H四点共圆
∵∠BPQ=∠BMQ(弦BQ所对的圆用角)
∴PQ⊥BP
又∵P、Q分别为MH与AM的中点
∴PQ∥AH
∴AH⊥BP
12.给定正方形ABCD,P,Q分别为AB,BC上的点,满足BP=BQ,自B作BH⊥PC于H,求证:
∠DHC=90°。
证明:
如图
延长BH交AD于F
∵BH⊥PC
∴∠PBH=∠BCP
又∵AB=BC
∠A=∠B
∴△ABF≌△BCP
∴AF=BP=BQ
∴C,D,F,Q四点共圆(矩形)
∴∠ABF=∠BFQ=∠BCP
BP=BQ
∴F,C,Q,H四点共圆
∴F,D,C,Q,H五点共圆
∵DQ为直径
∴∠DHC=90°
13.在△ABC中,AB=AC,O为外心,D为AB的中点,E是△ACD的重心。
证明:
OE⊥CD
证明:
∵E是ACD的重心。
∴
∵G是△ABC的重心。
∴
。
∴DG=
∵M是DC的中点。
∴DM=
CD。
∴
。
∴
。
∴EG∥AD.
∵OD⊥AB.∴OD⊥EG
∵AH⊥BC且DF∥BC.∴GO⊥DE
∴O是△DEG的垂心。
∴OE⊥DG
∴OE⊥CD
14、在∆ABC中,∠A=90,D在BC上且AD⊥BC,求证:
∠BAC的平分线垂直平分∆ACD与ABD的内心之连线。
证:
设I、J分别是∆ABD、∆CAD的内心,连接I、J并延长分别交AB、AC于E、F,则DI、DJ是对应线段,故由∆ABC∽∆CAD知
=
但∠IDJ=90°∴∆IDJ∽∆BDA.
∴∠DJI=∠DAB∴A、E、D、J共圆∴∠AEJ=∠ADJ=45°∴AE=AF
∴∠BAC的平分线垂直于EJ.
15.考虑△的三个旁切圆,每一对圆恰有一条与△ABC的边不同的公切线,这三条公切线组成一个三角形T,O是△ABC的外心,证明:
OA与T的一边垂直。
证:
利用A处得对称性
设○IB、○IC的另一公切线分别于BA、CA的延长线交于C'、B',则易知△AB'C'与△ABC关于IBIC对称。
连结OA、OB,由中心角与圆周角的关系可知
∠OAB=90°-∠C(∵∠AOB=2∠C)
再自A作AH⊥BC与H,AH′⊥B′C′与H′,则
∠H′AC′=HAC=90°-∠C
∴∠OAB=H′AC′
∴O、A、H共线
OA⊥B′C′
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初等 几何 研究 试题答案 李长明版