初二上全等三角形学案.docx
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初二上全等三角形学案.docx
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初二上全等三角形学案
1.1全等三角形学案
成功目标
1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素;
2.知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等;
3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.
成功学习
自主学习与小组合作探究
获取概念:
(1)能够完全重合的两个图形叫做全等形,则______________________叫做全等三角形。
(2)全等三角形的对应顶点:
对应角:
对应边:
。
(3)“全等”符号:
读作“全等于”
(4)全等三角形的性质:
(5)如下图:
这两个三角形是完全重合的,则△ABC△A1B1C1..
点A与__点___是对应顶点;
点___与点是对应顶点;
点C与点是对应顶点.
对应边:
对应角:
。
成功检测
1.由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案全等图形,而由同一张
底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片全等图形(填“是”或“不是”).
2.如图,△ABC与△DBC能够完全重合,则△ABC与△DBC是__________,
表示为△ABC____△DBC.
3.如图3,若△ABC≌△DEF,回答下列问题:
(1)若△ABC的周长为17cm,BC=6cm,DE=5cm,则DF=cm
(2)若∠A=50°,∠E=75°,则∠B=
4.如图,△AOB≌△COD,那么∠ABD与∠CDB相等吗?
为什么?
5.由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案全等图形,而由同一张
底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片全等图形(填“是”或“不是”).
6.如图,△ABC与△DBC能够完全重合,则△ABC与△DBC是__________,
表示为△ABC____△DBC.
7.如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=900,AB=DC,那么图中有全等三角形对.
7题图
8.如图,△ABC≌△ADE,若∠D=∠B,∠C=∠AED,则∠DAE=,
∠DAB=.
8题图
9.如图,△ABD≌△CDB,若AB=4,AD=5,BD=6,则BC=______,CD=______.
9题图
10.已知△ABC≌△DEF,且∠A=90°,AB=6,AC=8,BC=10,△DEF中最大边长是,最大角是_________度.
11.如图,△ABC≌△FED,AC与DF是对应边,∠C与∠D是对应角,则AC//FD成立吗?
请说明理由.
12.如图,△OCA≌△OBD,C和B,A和D是对应顶点,
则这两个三角形中相等的边,
相等的角。
12题图13题图14题图
13.如图,已知△ABE≌△ACD,∠ADE=∠AED,∠B=∠C,
指出其它的对应角
对应边:
14.已知如图,△ABC≌△ADE,
试找出对应边
对应角.
15.如图所示,若△OAD≌△OBC,∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD=.
(15题图)
1.2三角形全等的判定
(一)
成功目标
1.三角形全等的“边角边”的条件.
2.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
3.掌握三角形全等的“SAS”条件.
4.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.
成功学习:
一、:
温故知新
1.怎样的两个三角形是全等三角形?
2.全等三角形的性质?
二、读一读,想一想,画一画,议一议
1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等),画出的两个三角形一定全等吗?
2.给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗?
总结:
通过我们画图可以发现只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等),画出的两个三角形不一定全等;给出两个条件画出的两个三角形也不一定全等,按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.
给出三个条件画三角形,你能说出有几种可能的情况吗?
归纳:
有四种可能.即:
三内角、三条边、两边一内角、两内角有一边.
在刚才的探索过程中,我们已经发现三内角不能保证三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.
3、如图2,AC、BD相交于O,AO、BO、CO、DO的长度如图所标,△ABO和△CDO是否能完全重合呢?
不难看出,这两个三角形有三对元素是相等的:
AO=CO,
∠AOB=∠COD,
BO=DO.
如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转,因为OA=OC,所以可以使OA与OC重合;又因为∠AOB=∠COD,OB=OD,所以点B与点D重合.这样△ABO与△CDO就完全重合.
由此,我们得到启发:
判定两个三角形全等,不需要三条边对应相等和三个角对应相等.而且,从上面的例子可以引起我们猜想:
如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.
4.上述猜想是否正确呢?
不妨按上述条件画图并作如下的实验:
(1)读句画图:
①画∠DAE=45°,②在AD、AE上分别取B、C,使AB=3.1cm,AC=2.8cm.③连结BC,得△ABC.④按上述画法再画一个△A'B'C'.
(2)如果把△A'B'C'剪下来放到△ABC上,想一想△A'B'C'与△ABC是否能够完全重合?
5.“边角边”公理.
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)
书写格式:
在△ABC和△A1B1C1中
∴△ABC≌△A1B1C1(SAS)
用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.所以“SAS”是证明三角形全等的一个依据..
三、典型例题:
例1:
已知AB=AD,∠BAC=∠DAC,△ABC和△ADC全等吗?
说明你的理由。
例2:
如图为了测量池塘边上不能直接达到的两点A、B之间的距离,小亮设计了这样一个方案:
先在平地上取一个能直接到达点A与点B的点C,然后在射线AC上取一点D,使CD=CA,在射线上取一点E,使CE=CB.测量DE的长,那么DE的长就等于A,B两点之间的距离。
他的方案对吗?
为什么?
四、小组合作学习
(1)如图3,已知AD∥BC,AD=CB,要用边角边公理证明△ABC≌△CDA,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD=CB(已知),二是___________;还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗?
).
(2)如图4,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,要用边角边公理证明△ABD≌△ACE,需要满足的三个条件中,已具有两个条件:
_________________________还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗?
).
成功展示
当堂小结
1.根据边角边公理判定两个三角形全等,要找出两边及夹角对应相等的三个条件.
2.找使结论成立所需条件,要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件,如公共边、公共角等),并要善于运用学过的定义、公理、定理.
成功检测
1.如图,AB=AC,AD=AE,欲证△ABD≌△ACE,可补充条件()
A.∠1=∠2B.∠B=∠CC.∠D=∠ED.∠BAE=∠CAD
2.能判定△ABC≌△A′B′C′的条件是()
A.AB=A′B′,AC=A′C′,∠C=∠C′
B.AB=A′B′,∠A=∠A′,BC=B′C′
C.AC=A′C′,∠A=∠A′,BC=B′C
D.AC=A′C′,∠C=∠C′,BC=B′C
3.如图,AB与CD交于点O,OA=OC,OD=OB,∠AOD=,
根据_________可得到△AOD≌△COB,从而可以得到AD=_________.
4.如图,已知BD=CD,要根据“SAS”判定△ABD≌△ACD,
则还需添加的条件是。
5.如图,AD=BC,要根据“SAS”判定△ABD≌△BAC,
则还需添加的条件是
6.如图,已知△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,
请补充完整过程说明△ABD≌△ACD的理由.
解:
∵AD平分∠BAC,
∴∠________=∠_________(角平分线的定义).
在△ABD和△ACD中,
∵
∴△ABD≌△ACD()
7.如图,AC与BD相交于点O,已知OA=OC,OB=OD,
求证:
△AOB≌△COD
证明:
在△AOB和△COD中
∵
∴△AOB≌△COD()
8.已知:
如图,AB=CB,∠1=∠2△ABD和△CBD全等吗?
拓展延伸
1.已知:
如图,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2。
试说明:
△ABD≌△ACE。
2.已知:
如图,△ABC中,AD⊥BC于D,AD=BD,DC=DE,∠C=50°。
求∠EBD的度数。
作业布置
1.2三角形全等的判定学案
(二)
成功目标
1.掌握三角形全等的“角边角”条件、“角角边”条件。
2.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.
成功学习
一.温故知新
1.
(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?
三个角、三个边、两边一角、两角一边.
(2)到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?
各是什么?
二种:
①定义__________________________________________________;
②“SAS”公理__________________________________________________
2.在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了二种,今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢?
3.三角形中已知两角一边有几种可能?
.两角和它们的夹边.
.两角和其中一角的对边.
二、自主学习教材P11-12
判定全等三角形的第二种方法“角边角”定理
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
书写格式:
在△ABC和△A1B1C1中
∴△ABC≌△A1B1C1(ASA)
判定全等三角形的第二种方法“角角边”定理
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
书写格式:
在△ABC和△A1B1C1中
∴△ABC≌△A1B1C1(AAS)
三.典型例题:
例3
例4
四、小组合作学习
1.如下图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.
求证:
AD=AE.
2.观察下图中的两个三角形,它们全等吗?
请说明理由.
(2)(3)
3.下图中,若AE=BC则这两个三角形全等吗?
请说明理由.
4.如图:
在△ABC和△DBC中,∠1=∠2,∠3=∠4,P是BC上任一点。
求证:
PA=PD。
当堂小结
成功检测
1.已知:
如图,∠1=∠2,∠3=∠4求证:
AC=AB.
2.已知:
如图,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.F、C在直线BE上.
求证:
AB=DE,AC=DF.
3.已知:
如图,AB⊥BC于B,EF⊥AC于G,DF⊥BC于D,BC=DF.
求证:
AC=EF.
4.已知:
如图AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,M是AB的中点,连结CM并延长交BD于点F。
求证:
AC=BF.
5.已知:
如图,E、D、B、F在同一条直线上,AD∥CB,∠BAD=∠BCD,DE=BF.
求证:
AE∥CF.
6.如图在△ABC和△DBC中,∠1=∠2,∠3=∠4,P是BC上任意一点.求证:
PA=PD.
7.已知:
如图,AE=BF,AD∥BC,AD=BC.AB、CD交于O点.
求证:
OE=OF
8.已知:
如图AC∥BD,AE和BE分别平分∠CAB∠DBA,CD过点E.
求证AB=AC+BD
作业布置
1.2三角形全等的判定(三)
成功目标
1.三角形全等的“边边边”的条件.
2.了解三角形的稳定性.
3.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
成功学习
一.回顾思考:
1.
(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?
三个角、三个边、两边一角、两角一边.
(2)到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?
各是什么?
三种:
①定义__________________________________________________;
②“SAS”公理__________________________________________________
“ASA”定理__________________________________________________
④“AAS”定理__________________________________________________
二、新课
1.回忆前面研究过的全等三角形.
已知△ABC≌△A′B′C′,找出其中相等的边与角.
图中相等的边是:
AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C.
相等的角是:
∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′.
2.已知三角形△ABC你能画一个三角形与它全等吗?
怎样画?
自主学习教材P13-15
归纳:
三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.
书写格式:
在△ABC和△A1B1C1中
∴△ABC≌△A1B1C1(SSS)
3.三角形的稳定性:
生活实践的有关知识:
用三根木条钉成三角形框架,它的大小和形状是固定不变的,而用四根木条钉成的框架,它的形状是可以改变的.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.所以日常生活中常利用三角形做支架.就是利用三角形的稳定性.例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等.
三、典型例题:
例5
例6
四.
小组合作学习
(1)如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连结点A与
BC中点D的支架.
(2)如图,已知AC=FE、BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外,还应该有一个条件:
______________________,怎样才能得到这个条件?
试说明理由。
(3)在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,P是AD的一点,求证:
PB=PC
当堂小结
成功检测
1、如图1,AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAD=46°,则∠ACD的度数是()
A.120°B.125°C.127°D.104°
2、如图2,线段AD与BC交于点O,且AC=BD,AD=BC,则下面的结论中不正确的是()
A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OCD.∠C=∠D
3、在△ABC和△A1B1C1中,已知AB=A1B1,BC=B1C1,则补充条件____________,可得到△ABC≌△A1B1C1.
4、如图3,AB=CD,BF=DE,E、F是AC上两点,且AE=CF.欲证∠B=∠D,可先运用等式的性质证明AF=________,再用“SSS”证明______≌_______得到结论.
5、如图,AB=AC,BD=CD,求证:
∠1=∠2.
6、如图,已知AB=CD,AC=BD,求证:
∠A=∠D.
7、如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.请推导下列结论:
⑴∠D=∠B;⑵AE∥CF.
8、已知如图,A、E、F、C四点共线,BF=DE,AB=CD.
⑴请你添加一个条件,使△DEC≌△BFA;
⑵在⑴的基础上,求证:
DE∥BF.
作业布置
1.2本节概括总结
1.本节课我们探索得到了三角形全等的条件,又发现了证明三角形全等的一个规律SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题.
2.到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?
各是什么?
①定义__________________________________________________;
②“SAS”_________________________________________________
“ASA”________________________________________________
“AAS”_________________________________________________
⑤“SSS”_________________________________________________
温馨提示:
“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
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