数学建模竞赛中的优化问题.ppt
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数学建模竞赛中的优化问题,数学建模培训组2009.3,本次讲座目的,让大家了解数学建模中常常遇到的问题优化问题;初步认识数学建模需要准备的算法,软件。
优化问题,优化问题的解题步骤:
1、确定最优目标函数。
2、寻找构成目标函数的各元素应该遵守的约束条件。
3、利用相应软件或算法求解。
数学规划,线性规划(linearprogramming)是康托洛维奇1939年提出的,1947年(G.B.Dantzig)提出求线性规划的单纯形法(simplemethod),理论上趋向成熟,实际上的应用也越来越广泛,几乎各行各业都可建立线性规划模型。
某企业要在计划期内安排生产甲、乙两种产品,这个企业现有的生产资料是:
设备18台时,原材料A4吨,原材料B12吨;已知单位产品所需消耗生产资料及利润如下表。
问应如何确定生产计划使企业获利最多。
1.1线性规划问题,例1生产计划问题,表1,Formulationasalinearprogrammingproblem,x1=numberofunitsofproduct1x2=numberofunitsofproduct2z=totalprofitfromproductingthesetwoproductsx1,x2arethedecisionvariablesforthemodel.maximizez=3x1+5x2,非负约束,设备限制,原料A的限制,原料B的限制,相应的数学模型,资源的合理利用问题-theallocatingresourcestoactivities,一般的资源利用问题可表述为:
设某企业利用m种资源来生产n种产品,已知该企业拥有的第i种资源的数量是bi,生产单位第j种产品所消耗的第i种资源的数量为aij,第j种产品的单位利润是cj。
现制定一个生产计划方案,使总利润最大。
z=valueofoverallmeasureofperformance,xj=levelofactivitiesj(forj=1,2,n),cj=increaseinzthatwouldresulefromeachunitincreaseinlevelofactivityj-价值系数,aij=amountofresourceiconsumedbyeachunitofactivityj.-技术系数,bi=amountofresourceithatisavailableforallocationtoactivities(fori=1,2,m)-资源系数,x1,x2,xnarecalledthedecisionvariables.,cj,bi,aij(fori=1,2,mandj=1,2,n)aretheinputconstantsortheparametersforthemodel.,资源利用问题的数学模型为:
theobjectivefunction,functionalconstrains,nonegativeconstrains,假设企业决策者不考虑自己生产产品甲乙,而是将厂里的现有资源(见表1)买出。
试问该厂的决策者应给每种资源制定一个怎样的价格,才能获得良好收益?
例2资源定价问题,问题分析,解:
决策者显然要考虑两个因素:
第一,每种资源所收回的费用应不底于自己生产时所获得的利润;第二,定价又不能太高,要使对方容易接受。
总之,定价要公平合理,使双方都能接受。
问题分析,设y1,y2,y3分别表示这三种资源的收费单价。
则由第一条原则:
将用于加工产品甲或乙的所有资源,如用来加工外来产品所获得的收回的费用,应不低于可获得的利润,即,从工厂的决策者来看当然是越大越好。
但是根据第二条原则,也应该使对方的支出尽可能的少;从而这个问题就可以转化为下述数学问题:
当然对价格还要有非负限制。
即:
将该厂所有的资源都用来加工外来产品,其总收入(即对方的总支出)是,定价问题的数学模型,设某单位现有n个人员A1,A2,An来完成n项工作B1,B2,Bn。
按工作要求,每个人员需干一项工作,每项工作也需一人去完成。
已知人员Ai做工作Bj的效率是cij。
问应如何分配,才使总效率最好。
例3人员分配问题,问题分析,令xij表示分配人员Ai完成工作Bj的决策变量。
xij=1表示分配Ai干工作Bjxij=0表示不分配Ai干工作Bj按问题要求,每人要做一项工作,每项工作需一人去做。
建立该问题的数学模型的过程:
问题分析,派工方案的总效益,对工作Bj;要求一人员去完成,对人员Ai;要求承担一项工作:
分配问题的数学模型,某公司要运销一种物资。
该物资有甲、乙两个产地,产量分别是2000吨、1000吨;另有A、B、C三个销地,销量分别是1700吨、1100吨、200吨。
已知该物资的单位运价如表1-2。
问应如何确定调运方案,才能使在产销平衡的条件下,总运费最低?
例4物资运输问题,表3,分析确定调运方案就是确定从不同产地到各个销地的运输量。
设xij表示这些要找的运量。
即x11、x12、x13分别表示从甲地调往A、B、C三地的运量。
x21、x22、x23分别表示从已地调往A、B、C三地的运量。
由于要求产销平衡:
从两产地甲、乙分别调往三销地A、B、C的物资数量应该分别等于两产地甲、乙的产量,所以xij应满足:
运到A、B、C三销地的物资数量应分别等于A、B、C三销地的销量,所以xij还应该满足:
由于xij是运量,不能是负数:
调运方案的总运费为:
建立产销平衡下运费最省的调运问题的数学模型:
运输问题的数学模型,某种物资有m个产地,A1,A2,Am,产量分别a1,a2,am个单位,另有n个销地B1,B2,Bn,销量分别是b1,b2,bn个单位。
假设产销是平衡的,即总产量等于总销量。
已知由产地Ai向销地Bj运输一个单位物资的运价xij;问应该怎样调运物资才能使总运费最省。
令xij表示由产地Ai向销地Bj的运量,运输问题的一般提法:
运输问题的数学模型为:
上述例子,虽然有不同的实际内容,但是它们都是要求一组变量的值,这组值满足一定的约束条件,如资源限制、供求关系等。
这种约束条件都可以用一组线性不等式或线性方程来表示,同时使某个线性函数指标达到最大或最小。
具有这些特征的问题,称为线性规划问题。
1.2图解法-graphicalmethod,图解法适用于来解只有两个变量的线性规划问题.,Thefeasibleregionisthecollectionofallfeasiblesolutions.,Afeasiblesolutionisasolutionforwhichalltheconstraintsaresatisfied.Itispossibleforaproblemtohavenotfeasiblesolutions.,Aninfeasiblesolutionisasolutionforwhichatleastoneconstraintisviolated.,Anoptimalsolutionisafeasiblesolutionthathasthemostfavorablevalue(thelargestorthesmallest)oftheobjectivefunction.,Itispossibleforaproblemtohavemorethanoneoptimalsolution.Anyproblemhavingmultipleoptimalsolutionswillhaveaninfinitenumberofthem.,例1,图解法求解线性规划问题,图解法简单直观,有助于了解线性规划问题求解的基本原理和思想。
下面举例说明图解法求解线性规划问题的步骤。
解该线性规划问题的可行域见图1。
2468x1,x286420,x1=4,2x2=12,3x1+2x2=18,Q,Q0(0,0),Q1(0,6),Q2(2,6),Q3(4,3),Q4(4,0),图解法解题过程,图1-1,可行域-thefeasibleregion,246x1,x286420,x1=4,2x2=12,3x1+2x2=18,Q,Q0(0,0),Q1(0,6),Q2(2,6),Q3(4,3),Q4(4,0),3x1+5x2=z=36,3x1+5x2=z=20,3x1+5x2=z=0,图解法解题过程,图1-1,让直线束,沿正法线,在可行域Q移动,,通过点(2,6)的直线:
注:
本问题只有唯一最优解。
例1的最优生产方案为:
生产产品甲为2件,生产产品乙6件,最大利润为36万元。
x186420,x1=4,Q,Q0(0,0),Q1(0,6),Q2(2,6),Q3(4,3),Q4(4,0),x1,注:
问题的可行域是一个有界的凸多边形,其边界由5条直线所围成:
X1=0,X2=0X1=42x2=123x1+2x2=18最优解(2,6)在凸多边形的顶点Q2上。
x286420,x1=4,Q,Q0(0,0),Q1(0,6),Q2(2,6),Q3(4,3),Q4(4,0),x1,例2,解该问题的可行域Q是一个有界的凸多边形(如图1-2)。
-x1+x2=0,X1+x2=5,6x1+2x2=21,3x1+x2=z=0,3x1+x2=z=6,3x1+x2=z=21/2,A(11/4,9/4),B(21/6,0),x1,x2,让直线束3x1+x2=z沿正法线向移动,到达线段AB时,使Z达到最大。
所以线段AB上的每一点都可使Z达到最大值,注:
本问题有无穷多个最优解。
-x1+x2=0,x1+x2=5,6x1+2x2=21,3x1+x2=z=0,3x1+x2=z=6,3x1+x2=z=21/2,A(11/4,9/4),B(21/6,0),x1,x2,例3,图1-3,解该问题的可行域是一个无界的凸多边形,让直线束沿其负法线方向移动,可以无限制地移动下去,一直与相交,所以其最小值为;即函数在上无下界。
注:
本问题有可行解,但无最优解。
例4,解该问题的可行域是空的,即无可行解,X1-x2=-1,x1+x2=-1,注:
本问题无可行解,更无最优解。
进一步讨论给定只有两个变量的线性规划问题:
图解法求解线性规划问题的步骤如下:
若是空集,则说明线性规划问题无可行解。
如果不是空集,那么是平面上的一个凸多边形,这个凸多边形可能是有界的(封闭的),也可能是无界的(不封闭的)。
表示一个以z为参数的平行直线束。
沿正法线方向移动可得最大值,沿负法线方向移动可得最小值。
注意:
一定要精确,在平面上取定直角坐标系,画出可行域,记为。
通过以上例子可以看出,两个变量的线性规划的解可能有以下4种情况:
有唯一的最优解。
最优解一定是可行域的一个顶点。
有无穷多的最优解。
最优解是可行域的一段边界。
有可行解,但无最优解。
目标函数值无界.无可行解。
(最大值点(最小值点)一定在可行域的边界上)问题是对于一般的线性规划问题有无类似结论,结论成立的判定准则如何。
1.3整数规划,例1、集装箱运货,解:
设X1,X2为甲、乙两货物各托运箱数,maxZ=20X1+10X2,例2、背包问题,背包可再装入8单位重量,10单位体积物品,解:
Xi为是否带第i种物品,maxZ=20X1+30X2+10X3+18X4+15X5,一般形式:
整数,
(1)、Xi为i物品携带数量ai
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- 数学 建模 竞赛 中的 优化 问题