《控制工程基础》第三章习题解题过程和参考答案.docx
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《控制工程基础》第三章习题解题过程和参考答案
3-1已知某单位反馈系统的开环传递函数为,试求其单位阶跃响应。
解法一,采用拉氏反变换:
系统闭环传递函数为:
输入为单位阶跃,即:
故:
可由待定系数法求得:
所以,
对上式求拉氏反变换:
解法二,套用典型一阶系统结论:
由式(3-15),已知典型一阶系统为:
由式(3-16),其单位阶跃响应为:
若一阶系统为,则其单位阶跃响应为:
现本系统闭环传递函数为:
其中,
所以,
采用解法二,概念明确且解题效率高,计算快捷且不易出错,应予提倡。
3-2设某温度计可用一阶系统表示其特性,现在用温度计测量容器中的水温,当它插入恒温水中一分钟时,显示了该温度的98%,试求其时间常数。
又若给容器加热,水温由0℃按10℃/min规律上升,求该温度计的测量误差。
解:
(1)由题意知,误差为2%,因此调节时间:
,即时间常数T:
(2)由题意知输入信号为斜坡信号,。
由式(3-24),一阶系统跟踪斜坡信号时有一固定稳态误差:
3-3一阶系统的结构如题3-3图所示,其中K1为开环放大倍数,K2为反馈系数。
设K1=100,K2=0.1。
试求系统的调节时间ts(按±5%误差计算);如果要求ts=0.1,求反馈系数K2。
题3-3图系统的结构图
解:
系统闭环传递函数为:
可见,时间常数
(1)调节时间(5%误差)
(2)已知,所以
3-4设单位反馈系统的开环传递函数为,求该系统的单位阶跃响应。
解:
系统闭环传递函数为:
这是一个二阶过阻尼系统,不是二阶振荡系统,因此不能套用现成结论。
可用传统方法求解,即:
输入为单位阶跃:
故:
对上式求拉氏反变换:
3-5已知某系统的闭环传递函数为
系统单位阶跃响应的最大超调,峰值时间,试确定和值。
解:
由,可求得:
(也可查图3-16而得)
由,可求得:
3-6一单位反馈系统的开环传递函数为
求:
(1)系统的单位阶跃响应及动态性能指标、、和;
(2)输入量为单位脉冲时系统的输出响应。
解:
系统闭环传递函数为:
(注:
上式已经符合标准式(3-27),否则应变换为标准式才能继续)
系统的参数为:
,为欠阻尼。
(1)由式(3-46),单位阶跃响应:
,其中
代入各参数:
,其中
以下求各指标:
由,其中,
故:
(也可查图3-16而得)
(2)由式(3-46),单位脉冲响应:
代入各参数:
3-7某二阶系统的结构框图如题3-7图所示,试画出,和时的单位阶跃响应曲线。
题3-7图控制系统框图
解:
系统闭环传递函数为:
系统的参数为:
。
(1)
此时,,为欠阻尼,可求得:
(2)
此时,由,可知,仍为欠阻尼。
由于阻尼比增大,因此超调量减小。
若,调节时间将由于阻尼比的增大而减小.
(3)
此时,由,可知,成为过阻尼系统,因此没有超调量。
调节时间的计算不能应用公式,应按照定义计算,通常会加大,略.
三种情况下的单位阶跃响应曲线如下面图所示。
3-8由实验测得二阶系统的单位阶跃响应曲线如题3-8图所示,试计算其系统参数和。
题3-8图二阶系统的单位阶跃响应曲线
解:
由图可知,。
由,可求得:
(也可查图3-16而得)
由,可求得:
3-9某系统如题3-9图所示,若要求单位阶跃响应的最大超调,调节时间,试确定值和值。
题3-9图控制系统框图
解:
系统闭环传递函数为:
与标准式(3-27)比较,知:
且,所以:
根据题意,最大超调。
而超调量是阻尼比的单值函数,由此可决定阻尼比:
而调节时间,所以:
由此得联立方程:
解得:
3-10典型二阶系统的单位阶跃响应为
试求系统的最大超调、峰值时间、调节时间。
解:
由式(3-46),典型二阶系统的单位阶跃响应表达式为:
,其中
将上式与给定响应式比较,可计算系统的二个参数。
由,求得阻尼比:
或者也可这样求:
由,求得阻尼比:
由,得
二个参数求出后,求各指标就很方便了。
(1)最大超调(或查图3-16)
(2)峰值时间
(3)调节时间:
3-11已知某三阶控制系统的闭环传递函数为
试说明该系统是否有主导极点。
如有,求出该极点,并简要说明该系统对单位阶跃输入的响应。
解:
闭环系统有三个极点,分别是:
将实极点与共轭复极点的实部作一比较:
,且附近无零点。
因此确实可视为闭环系统主导极点。
即可以用二阶主导极点系统近似等于原三阶系统:
该二阶系统的参数为:
单位阶跃输入的响应指标为:
3-12已知控制系统的特征方程如下,试分析系统的稳定性。
3-12
(1)
解:
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
1
1
4
2
3
5
9
5
5
结论:
劳斯表第—列变号二次,系统不稳定。
(特征方程有二个右根)
3-12
(2)
解:
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
2
3
10
1
5
10
10
结论:
劳斯表第—列变号二次,系统不稳定。
(特征方程有二个右根)
3-12(3)
解:
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
1
1
1
3
3
0
1
结论:
劳斯表第—列出现零值,系统不稳定。
(特征方程有纯虚根)
3-12(4)
解:
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
1
8
20
16
2
12
16
2
12
16
0
0
结论:
劳斯表出现全零行,系统不稳定。
(特征方程有纯虚根)
3-13设某系统的特征方程,试确定待定参数a及b,以便使系统稳定。
解:
列劳斯表如下
1
为使系统稳定,需满足以下条件:
①特征方程的系数均大于0,即:
②劳斯表第—列元素均大于0,去除与条件①重复部分后,有:
解以上4个不等式:
由
(1):
;由
(2)和(3):
;综合得:
;
由(3):
;
由(4):
;综合得:
于是,闭环系统稳定条件为:
3-14已知单位反馈系统的开环传递函数为
(1)
(2)
试分析闭环系统的稳定性。
解:
(1)
系统闭环传递函数为:
闭环系统特征方程为:
判别稳定性:
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
0.1
10
2.5
100
6
100
结论:
劳斯表第一列均为正值,系统闭环稳定。
(2)
系统闭环传递函数为:
闭环系统特征方程为:
判别稳定性:
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
4
2500
1
120
3
2499.9
1
2.952
1
结论:
劳斯表第一列均为正值,系统闭环稳定。
3-15试分析下列图示系统的稳定性。
题3-15图控制系统框图
解:
3-15(a)
先求系统闭环传递函数:
闭环系统特征方程为:
判别稳定性:
这是一个二阶系统,只要特征方程的系数均大于0就必然稳定,无须采用劳斯判据。
(同学可自证之)
3-15(b)
该闭环系统有二个反馈回路,可采用方块图等效化简方法合并之。
即系统闭环传递函数:
闭环系统特征方程为:
判别稳定性:
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
1
10
21
10
10
结论:
劳斯表第—列均为正值,系统闭环稳定。
3-16试确定使题3-16图所示系统稳定的值。
3-16(a)
解:
先求系统闭环传递函数:
闭环系统特征方程为:
判别稳定性:
①特征方程的系数均大于0且无缺项,要求K>0。
②列劳斯表如下
1
2
1
K
K
若要求劳斯表第—列均为正值,应满足:
综合有:
开环增益K在上述范围内,则闭环系统稳定。
3-16(b)
解:
先求系统闭环传递函数(可参考习题3-15b):
闭环系统特征方程为:
判别稳定性:
①特征方程的系数均大于0且无缺项,要求。
②列劳斯表如下
1
10
10
10
若要求劳斯表第—列均为正值,应满足:
综合有:
速度反馈增益K在上述范围内,则闭环系统稳定。
3-16(c)
解:
先求系统闭环传递函数:
闭环系统特征方程为:
判别稳定性:
①特征方程的系数均大于0且无缺项,要求。
②列劳斯表如下
0.025
1
0.35
K
K
若要求劳斯表第—列均为正值,应满足:
综合有:
开环增益K在上述范围内,则闭环系统稳定。
3-17已知单位反馈系统的开环传递函数为
式中,,,试确定使系统稳定的值。
解:
先求系统闭环传递函数:
闭环系统特征方程为:
判别稳定性:
①特征方程的系数均大于0且无缺项,要求。
②列劳斯表如下
1
K
K
若要求劳斯表第—列均为正值,应满足:
综合有:
(1)
代入数据后:
开环增益K在上述范围内,则闭环系统稳定。
本题的数学模型较为常见,采用先公式运算再代入参数的方法可以得到一般性结论,例如
(1)式。
习题3-19就可引用本题结果。
3-18设单位反馈系统的开环传递函数为
要求闭环特征根实部均小于-1,试确定值的取值范围。
解:
通常,闭环特征根实部均小于0可使闭环系统稳定。
但在工程上,不仅要求闭环系统稳定,而且常常要求闭环系统具有一定的稳定裕量。
本题的意义即在于此。
有关稳定裕量的概念,将在第4章中介绍。
数学上可这样处理:
令,代入特征方程。
这表示,若求解特征方程,使闭环特征根的实部小于0,就相当于使的实部小于-1,因此,对于变量的特征方程,就可以使用常规劳斯判据了。
求系统闭环传递函数:
闭环系统特征方程为:
令,代入特征方程:
即:
判别稳定性:
①特征方程的系数均大于0且无缺项,要求。
②列劳斯表如下
若要求劳斯表第—列均为正值,应
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