数学七年级下北师大版第二章平行线与相交线学案.docx
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数学七年级下北师大版第二章平行线与相交线学案
第二章平行线与相交线
2.1余角与补角
学习目标:
1、经历观察、操作、推理、交流等过程,进一步发展空间观
念、推理能力和有条理表达的能力。
2、在具体情景中了解补角、余角、对顶角,知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等,并能解决一些实际问题。
学习过程:
一、知识回顾
1、在同一平面内,两条直线有_______和_______两种位置关系.
2、角的概念,我们学过角的表示方法有N
二、学习新课AB
1、在课本P59页图2-1中,是锐角,12
是直角,是钝角D34E
相加等于90°的两个角有,相加等于180°的两个角O
有。
在这个图形中∠1=∠2,结合上面的结论,说
说各角与∠3的关系:
2、
(1)余角的概念:
如果两个角,那么称这两个角互为余角.
图2-1中,互为余角的有
(2)互为余角的有关性质:
①若∠1,∠2互余.则,反过来,若∠1+∠2=90°,
则∠1与∠2.
②如果∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,则有∠2∠3.
通过这个推理,我们可以得出:
同角的余角。
如果∠1=∠2,则∠1的余角等于,∠2的余角等于
那么∠1的余角∠2的余角
通过这个推理,我们可以得出:
等角的余角。
3、
(1)补角的概念:
如果两个角,那么称这两个角互为补角.
图2-1中,互为余角的有
(2)互为补角的有关性质:
①若∠1,∠2互补,则∠1+∠2=反过来,若∠1+∠2=180°则∠1,∠2.
②如果∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,则有∠2∠3.
通过这个推理,我们可以得出:
同角的补角
如果∠1=∠2,则∠1的补角等于,∠2的补角等于
那么∠1的补角∠2的补角
通过这个推理,我们可以得出:
等角的补角.
★注意:
余角或补角都是相对于两个角而言,而且只与这两个角的有关,与它们的无关.C
4、观察P60图2-3A2
(1)
+=180°,
+=180°O
根据同角的补角,得出
D1B
(2)对顶角的概念:
直线AB与CD______于点O,
与
有__________O,它们的两边互为反向延长线,这样的_________叫做对顶角;对顶角一定___________
(3)请举出生活中包含对顶角的例子
三、巩固新知
1、已知∠α=48°21′则∠α的余角等于________,补角等于__________
2、一个角的补角是它的余角的3倍,则这个角为()
A、22.5°B、50°C、45°D、135°
3、判断
(1)两直线相交,有公共顶点的角是对顶角.()
(2)一个钝角的补角比它的余角大90º.()
(3)如果一个角等于它的补角,那么这个角一定是直角.()
(4)相等的角一定是对顶角()
(5)一个角的余角必为锐角,一个角的补角必为钝角()
4、如图,已知EF⊥CD,垂足为点O,AB是经过点O的一条直线。
如果∠AOC=70°,那么∠AOE、∠AOD、∠DOB、∠BOF分别等于多少度?
为什么?
第4题图
四、小结:
本节课你学到了
2.2探索直线平行的条件
(1)
学习目标
1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,推理能力和有条理表达的能力。
2、会认由三线八角所成的同位角
3、经历探索直线平行的条件的过程,掌握直线平行的条件,并能解决一些问题
学习过程
一、知识回顾
(1)在同一平面内,两条直线的位置关系是
(2)在同一平面内,两条直线的是平行线
(3)两条直线相交,交成个角,这些角有对对顶角
二、学习新课
1、思考:
若两条直线被第三条直线所截,形成个角,这几个角中除具有特殊位置关系的对顶角外,还有什么关系?
2、请认真观察P63图2-4和2-5,回答下列问题
(1)木条a转动过程中,∠2的大小发生变化,木棒a和b的位置关系也发生变化
①当∠2∠1,直线a和b
②当∠2∠1,直线a和b
③当∠2∠1,直线a和b
(2)小组讨论交流:
改变图中∠1的大小,按照上面的方式再做一做,∠1与∠2的大小满足什么关系时,木条a与木条b平行?
3、如右图,具有∠1与∠2这样的的角叫做同位角
两直线被第三直线所截,构成的所有角中,位于两直线
、且在第三直线的一对角叫做同位角.
找出右图所有的同位角
4、图2-5中,∠1和∠2就是一对
由上面可以知道:
当∠2∠1,木棒a和b
也就是说直线平行的条件:
同位角,两直线
5、课本P64用移动三角板的方法画过已知直线外一点的平行线,根据的理由是
如右图,已知一直线
外有一点P,求过点P
与m平行的直线
三、巩固新知
1、P65随堂练习1、2
2、下面说法,正确的是 ()
A.在同一平面内,不相交的两条射线是平行线
B.在同一平面内,不相交的两条线段是平行线
C.在同一平面内,两条不同直线位置关系不相交就平行
D.不相交的两条直线是平行线
3、互不重合的三条直线公共点的个数是 ()
A.只可能是0个,1个或3个B.只可能是0个,1个或2个
C.只可能是0个,2个或3个D.0个,1个,2个或3个都有可能
小结:
找同位角的关键是抓住第三线,从F形中去找第三线同侧、另两线的同一方位的两个角
2.2探索直线平行的条件
(2)
学习目标:
1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动,进一步发展空间观念、推理能力和
有条理表达的能力。
2、经历探索直线平行的条件的过程,掌握直线平行的条件,并能解决一些问题。
3、会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
学习过程
一、知识回顾
1、从数量上看,两直线相交成个角,从位置关系看,两直线相交成
对对顶角。
2、在“三线八角”中,除了能找到互为补角的角、对顶角外,还能找出
二、学习新课
1、阅读P66和观察图2-7,回答问题
(1)线段AB把小画板分成个角,其中∠1与∠4、∠3和∠2都是互为
(2)
1如左图,具有∠1与∠2这样位置关系的角
4称为,具有∠1与∠3这样位置关系
的角称为
32
找出其它内错角和同旁内角
2、
(1)如右图所示,两直线AB和CD被第三条直线EF所截,已知
内错角∠1=∠2,试说明直线AB//CD
理由:
∠2的对项角是,
所以∠2=∠3,()
又因为∠1=∠2,()
所以∠3=∠1,()
所以直线AB∥CD.()
所以得出结论:
内错角,两直线平行;
(2)如果
(1)已知条件改为∠1+∠4=180°,能不能说明AB//CD
理由:
因为∠2和∠4
∠1和∠4也()
所以∠1∠2()
又因为∠1和∠2是
所以直线AB∥CD()
于是得出结论:
同旁内角,两直线平行
3、“三线八角”小结
(1)位于两直线同一方、且在第三直线同一侧的两个角,叫做
(2)位于两直线的,且在第三直线的的两个角,叫做内错角
(3)位于两直线的,且在第三直线的的两个角,叫做同旁内角
4、观察图2-8,图中有平行线,说出你的判定理由
三、巩固新知
1、P68随堂练习1、2
2、小结:
(1)三线八角中,同位角对,内错角对,同旁内角对
(2)证明两直线平行,要根据已知条件,选定同位角相等、内错角相等及同旁内角互补之一来进行
四、能力提升
1、如图
(1)
(1)如果∠1=∠4,根据_________________,可得AB∥CD;
(2)如果∠1=∠2,根据_________________,可得AB∥CD;
(3)如果∠1+∠3=1800,根据______________,可得AB∥CD.
图1
2、如图
(2)
(1)如果∠1=∠D,那么______∥________;
(2)如果∠1=∠B,那么______∥________;
(3)如果∠A+∠B=1800,那么______∥________;
(4)如果∠A+∠D=1800,那么______∥________;
3、在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?
为什么?
2.3平行线的特征
学习目标
1、经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.
2、经历探索平行线的特征的过程,掌握平行线的特征,并能解决一些问题.
学习过程
一、知识回顾
前面两节课,我们共同探讨了直线平行的条件,请写出直线平行的条件:
1、两直线平行.
2、两直线平行.
3、两直线平行.
请观察上面的三个直线平行的条件的共同点是什么呢?
都是由或,推出两直线平行.
那反过来,如果有两条直线平行,那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?
二、学习新课
1、如图1,直线a与直线b平行.
图1图2
测量同位角∠1∠5,图中还有其他的同位角,它们的大小也是的。
是不是所有的同位角都相等呢?
2、如图2中的∠1与∠2是同位角,∠1∠2
想一想:
两条直线在什么情况下,同位角才相等?
3、如图3,直线a与直线b平行.
(1)图中有对内错角,它们的大小关系是,理由
(2)图中有对同旁内角,它们的大小关系,理由
(3)换另一组平行线试一试,你能得到相同的结论吗?
图3
由此我们得到了平行线的特征.
两条平行直线被第三条直线所截,同位角,内错角,同旁内角.
简记为:
两直线平行,同位角相等
两直线平行,内错角相等.
两直线平行,同旁内角互补.
4、图4,一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射,∠1∠2,∠3∠4.
(1)可以得到∠1∠3,∠2∠4,理由
(2)反射光线BCEF,理由
三、巩固新知
1、P71随堂练习1
2、小结:
(1)本节课我们主要学习了平行线的特征及其应用,还了解了直线平行的条件与平行线的特征的区别.
(2)平行线的特征:
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.
2.4用尺规作线段和角学案
一、学习目标
1、会利用尺规作一条线段等于已知线段,能利用尺规作线段的和、差
2、能按照作图语言来完成作图过程,能用尺规作一个角等于已知角,能利用尺规作角的和、差、倍.
二、课前预习
预习教材并完成书后习题
三、当堂检测
1.如图1,射线OA表示的方向
是()
A.西北方向;B.西南方向;
C.西偏南10°;D.南偏西10°
2.如图2所示,下列说法正确的
是()
A.OA的方向是北偏东30°;
B.OB的方向是北偏西60°
(1)
(2)
C.OC的方向是北偏西75°;D.OC的方向是南偏西75°
3.画一个钝角∠AOB,然后以O为顶点,以OA为一边,在角的内部画一条射线OC,使∠AOC=90°,正确的图形是()
4.如图,已知∠1,∠2,求作一个角,使它等于2∠1-∠2.
5.已知,直线AB和AB外一点P,作一条经过点P的直线CD,使CD∥AB.
6.已知,如图,∠AOB及其两边上的点C、D,过点C作CE∥OB,过点D作DF∥OA,CE、DF交于点P.
7.如图,已知∠AOB=α,以P为顶点,PC为一边作∠CPD=α,并用移动三角尺的方法验证PC与OB,PD与OA是否平行.
8.有两个角,若第一个角割去它的
后,与第二个互余,若第一个角补上它的
后,与第二个角互补,求这两个角的度数.
9.小明的一张地图上A、B、C三地,但地图被墨迹污染,C地具体位置看不清楚了,但知道C地在A地的北偏东30°,在B地的南偏东45°,请你帮他确定C地的位置.
10.如图,古塔直立地面上,塔的中心线OP与地面上的射线OA成直角,为了测塔的大致高度,在地面上选取与点O相距50m的点A,测得∠OAP,用1cm代表10m(即1∶1000的比例尺),画线段AO,再画射线AP、OP,使∠PAO=30°,∠POA=90°,AP、OP相交于P,量PO的长(精确到1mm),再按比例尺换算出古塔的高.
四、课后作业
A层:
基础题
一、选择题
1.下列作图属于尺规作图的是()
A.画线段MN=3cm
B.用量角器画出∠AOB的平分线
C.用三角尺作过点A垂直于直线L的直线
D.已知∠
,用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB,使∠AOB=2∠
2.下列尺规作图的语句正确的是()
A.延长射线AB到点CB.延长直线AB到点C
C.延长线段AB到点C,使BC=ABD.延长线段AB到点C,使AC=BC
3.下列尺规作图的语句错误的是()
A.作∠AOB,使∠AOB=3∠
B.以点O为圆心作弧
C.以点A为圆心,线段a的长为半径作弧D.作∠ABC,使∠ABC=∠
+∠
4.如图所示,过点P画直线a的平行线b的作法的依据是()
A.两直线平行,同位角相等
B.同位角相等,两直线平行
C.两直线平行,内错角相等
D.内错角相等,两直线平行
5.如图所示,已知线段a,b,c(a>b+c),求作线段AB,使AB=a-b-c.下面利用尺规作图正确的是()
二、填空题
6.如下左图所示,AF=_______.(用a,b,c表示)
7.画线段AB;延长线段AB到点C,使BC=2AB;反向延长AB到点D,使AD=AC,则线段CD=______AB.
8.已知∠AOB=22.5°,分别以射线OA,OB为始边,在∠AOB的外部作∠AOC=∠AOB,∠BOD=2∠AOB,则OC与OD的位置关系是______.
9.如上右图所示,求作一个角等于已知角∠AOB.作法:
(1)作射线_______;
(2)以______为圆心,以_____为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;
(3)以______为圆心,以_____为半径画弧,交O′B′于点D′;
(4)以点D′为圆心,以______为半径画弧,交前面的弧于点C′;
(5)过______作射线O′A′.
∠A′O′B′就是所求作的角.
三、作图题
10.如图所示,已知线段a,b,c,利用尺规作一条线段,使它等于a+b-2c,并写出作法.
11.如图所示,已知线段a和b,直线AB与CD相交于点O.利用尺规,按下列要求作图:
(1)在射线OA,OB上分别作线段OA′,OB′,使它们都与线段a相等;
(2)在射线OC,OD上分别作线段OC′,OD′,使它们都与线段b相等;(3)依次连接A′,C′,B′,D′,A′.
你得到了一个怎样的图形?
(不写作法,保留作图痕迹)
B层:
提高题
一、七彩题
1.(一题多解题)如图所示,利用尺规作∠A′O′B′=3∠AOB.
2.(一题多变题)如图所示,已知∠
和∠
,利用尺规作∠BOD=∠
+2∠
.
(1)一变:
利用尺规作∠AOB,使∠AOB=∠
-∠
.
(2)二变:
利用尺规作∠AOB,使∠AOB=2(∠
-∠
).
二、知识交叉题
3.(当堂交叉题)已知线段a,b,且a>b,如图,利用尺规求作一条线段,使其等于2a-b.
三、实际应用题
4.如图所示,在一个三角形支架上要加一根横杆DE,使DE∥BC,请你用尺规作出DE的位置.(不写作法,保留作图痕迹),并说说你的根据.
四、经典中考题
5.(南京(节选),7分)已知直线L及L外一点,按下列要求写出画法,并保留画图痕迹.在下图中,只用圆规在直线L外画出一点P,使得点A,P所在直线与直线L平行.
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- 关 键 词:
- 数学 年级 北师大 第二 平行线 相交 线学案