最新全国3卷理科数学试题及答案解析.docx
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最新全国3卷理科数学试题及答案解析
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注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷
3至5页。
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。
4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)设集合S
x|(x
2)(x3)
0,T
x|x0
,则S
T(
)
(A)[2,3]
(B)(-
,2]U
[3,+)
(C)[3,+)
(D)(0,2]U[3,+
)
【答案】D
4i
()若z1
2i,则zz1
(
)
2
(A)1
(B)
-1
(C)i
(D)
i
【答案】C
【解析】
4i
4i
i
试题分析:
zz
1(1
2i)(1
2i)1
,故选C.
考点:
1、复数的运算;
2、共轭复数.
uuv
uuuv
BA(1,3)
BC(3,1)
ABC
(3)已知向量
2
2
,
22,则
(
)
(A)30
(B)45
(C)60
(D)120
【答案】A
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(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低
气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为
15C,B点表示四月的平均最低气
温约为5C.下面叙述不正确的是(
)
(A)各月的平均最低气温都在
0C以上
(B)七月的平均温差比一月的平均温差大
(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同
(D)平均气温高于20C的月份有5个
【答案】D
(5)若tan
3
,则cos2
4
2sin2(
)
64
48
16
(A)25
(B)25
(C)1
(D)25
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【答案】A
【解析】
tan
3
sin
3,cos
4
sin
3,cos
4
试题分析:
由
4,得
5
5或
5
5,所以
cos2
2sin2
16
4
12
64
25
25
25,故选A.
4
2
1
(6)已知a23,b
45,c
253,则(
)
(A)bac
(B)a
bc
(C)b
ca
(D)cab
【答案】A
【解析】
4
2
2
1
2
2
试题分析:
因为
a23
43
45
b,c
253
53
43
a,所以b
a
c,故选A.
(7)执行下图的程序框图,如果输入的
a
4,b
6,那么输出的n
(
)
(A)3
(B)4
(C)5
(D)6
【答案】B
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(8)在△ABC中,
B=π
1
BC
则cosA=(
4,BC边上的高等于
3
)
3
10
10
-
10
-
3
10
(A)10
(B)10
10
10
(C)
(D)
【答案】C
【解析】
试题分析:
设BC边上的高线为
AD,则BC
3AD
,所以AC
AD2
DC2
5AD,
AB2AD
.
由
余
弦
定
理
,
知
cosA
AB2
AC2
BC2
2AD2
5AD2
9AD2
10
2ABAC
2
2AD
5AD
10,故选C.
(9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体
的表面积为()
(A)18365
(B)54185
(C)90
(D)81
【答案】B
(10)
在封闭的直三棱柱
ABCA1B1C1内有一个体积为
V的球,若AB
BC,AB
6,
BC
8,AA1
3,则V的最大值是(
)
9
32
(A)4π
(B)2
(C)6π
(D)3
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【答案】B
【解析】
试题分析:
要使球的体积V最大,必须球的半径R最大.由题意知球的与直三棱柱的上下
3
4
R34
(3)3
9
底面都相切时,球的半径取得最大值2
,此时球的体积为
3
3
2
2,故选B.
x2
y2
1(a
b
0)
A,B分别为C
(11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
a2
b2
的左焦点,
的左,右顶点.P为C上一点,且PF
x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴
交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(
)
1
1
2
3
(A)3
(B)2
(C)3
(D)4
【答案】A
(12)定义“规范01
数列”an
如下:
an
共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任
意k2m,a1,a2,
ak中0的个数不少于
1的个数.若m
4,则不同的“规范
01数列”
共有(
)
(A)18个
(B)16个
(C)14个
(D)12个
【答案】C
【解析】
试题分析:
由题意,得必有
a1
0,a8
1,则具体的排法列表如下:
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
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1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第(
13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须
作答。
第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:
本大题共
3小题,每小题
5分
x
y1
0
x
2y
0
(13)若x,y满足约束条件
x
2y
20则z
xy的最大值为_____________.
3
【答案】2
【解析】
试题分析:
作出不等式组满足的平面区域,如图所示,由图知,当目标函数
zxy经过
A(1,1)
时取得最大值,即
zmax
1
1
3
点2
2
2.
(14)函数ysinx
3cosx的图像可由函数ysinx
3cosx的图像至少向右平移
_____________个单位长度得到.
【答案】3
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(15)已知f
x
为偶函数,当x0时,f(x)
ln(x)
3x,则曲线y
fx在点(1,3)
处的切线方程是_______________.
【答案】y
2x1
【解析】
试题分析:
当
x
0时,
x0,则f(
x)
lnx
3x.又因为
f(x)为偶函数,所以
f(x)
1
f(x)
f(
x)
3
,则切线斜率为f
(1)
2,所以切线方程
lnx3x,所以
x
为y3
2(x
1),即y
2x1.
(16)已知直线l:
mxy3m3
0与圆x2
y2
12交于A,B两点,过A,B分别做
l的垂线与x轴交于C,D两点,若AB
23,则|CD|
__________________.
【答案】4
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)精品文档
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已知数列{an}的前n项和Sn1an,其中0.
(I)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
31
(II)若
S5
32,求.
an
1(
)n1
1.
【答案】(Ⅰ)
1
1;(Ⅱ)
an
1
由a1
0,
0得an
0,所以an
1.
1
an
1
(
1
)n1
因此{an}是首项为1
,公比为
1的等比数列,于是
1
.
Sn
1(
)n
S5
31
1(
)531
(
)5
1
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
1
,由
32得
1
32,即
1
32,
解得
1.
(18)(本小题满分12分)
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:
亿吨)的折线图
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(I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合
y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(II)建立y关于t的回归方程(系数精确到
0.01),预测
2016年我国生活垃圾无害化处理
量.
附注:
7
7
7
2
(yiy)
0.55
yi
9.32
tiyi40.17
参考数据:
i1
,i1
,
i1
,7≈2.646.
n
r
(ti
t)(yiy)
i1
,
n
n
(tit)2
(yiy)2
参考公式:
相关系数
i1
i1
回归方程yab
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
n
(ti
t)(yiy)
b
i1
,
n
(ti
t)2
i
1
aybt.
【答案】(Ⅰ)理由见解析;(Ⅱ)1.82亿吨.
试题解析:
(Ⅰ)由折线图这数据和附注中参考数据得
7
7
(tit)2
28
(yiy)2
0.55
t4,i1
,
i1
,
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777
(tit)(yiy)
tiyityi
40.1749.322.89
i1
i1
i1
,
2.89
0.99
r
0.5522.646
.
因为y与t的相关系数近似为
0.99,说明y与t的线性相关相当高,从而可以用线性回归模
型拟合y与t的关系.
(19)(本小题满分
12分)
如图,四棱锥
P
ABC中,PA
地面ABCD,AD
BC,ABAD
AC3,
PABC
4,M为线段AD上一点,AM
2MD,N为PC的中点.
(I)证明MN平面PAB;
(II)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
85
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)25.
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【解析】
试题分析:
(Ⅰ)取PB的中点T,然后结合条件中的数据证明四边形
AMNT为平行四边形,
从而得到MN
AT,由此结合线面平行的判断定理可证;
(Ⅱ)以
A为坐标原点,以
AD,AP所在直线分别为
y,z轴建立空间直角坐标系,然后通过求直线
AN的方向向量与平
面PMN法向量的夹角来处理AN与平面PMN所成角.
AM
2AD
2
AT,TN,由N为PC
试题解析:
(Ⅰ)由已知得
3
,取BP的中点T,连接
TN
1BC
2
中点知TN//BC,
2
.
又AD//BC,故
TNAM
,四边形AMNT为平行四边形,于是MN//AT.
因为AT
平面PAB,MN
平面PAB,所以MN//平面PAB.
2x
4z
0
n
PM
0
5xy
2z0
设n
(x,y,z)为平面PMN的法向量,则
n
PN
0,即2
,可取
n
(0,2,1),
|nAN|
85
|cosn,AN|
25
于是
|n||AN|
.
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【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)y2x1.
F(1,0)
a,l2:
y
b,则ab
0,且
试题解析:
由题设
2
.设l1:
y
A(a2
0),B(b2
b),P(
1,a),Q(
1,b),R(
1,ab)
2
2
2
2
2
2
.
记过A,B两点的直线为l
,则l的方程为2x
(a
b)y
ab
0.
.....3分
(Ⅰ)由于F在线段AB上,故1
ab0.
k1
a
b
a
b
1
ab
k2
记AR的斜率为k1,FQ
1
a2
a2
ab
a
b
的斜率为k2,则
a
,
所以AR
FQ.
......5分
(Ⅱ)设l与x轴的交点为D(x1,0),
SABF
1
aFD
1
b
ax1
1
a
b
b
2
SPQF
2
则
2
2
.
1b
ax1
1
a
b
,所以x1
0(舍去),x1
1.
由题设可得2
2
2
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
当AB与x轴不垂直时,由kAB
2
y
(x
1)
kDE可得a
bx
1
.
a
b
y,所以y2
x1(x
1).
而
2
当AB与x轴垂直时,
E与D重合,所以,所求轨迹方程为
y2
x1.....12分
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(21)(本小题满分
12分)
设函数f(x)
acos2x
(a1)(cosx
1),其中a
0,记|f(x)|的最大值为A.
(Ⅰ)求f(x);
(Ⅱ)求A;
(Ⅲ)证明|f
(x)|
2A.
2
3a,0
1
a
5
a2
6a
1
1
A
8a
a1
5
3a
2,a1
【答案】(Ⅰ)f'(x)
2asin2x(a
1)sinx;(Ⅱ)
;(Ⅲ)
见解析.
试题解析:
(Ⅰ)f'(x)2asin2x(a1)sinx.
(Ⅱ)当a1时,
|f'(x)|
|asin2x
(a1)(cosx
1)|
a
2(a
1)
3a2
f(0)
因此,A
3a
2.
⋯⋯⋯4分
当0
a
1时,将f(x)变形为f(x)
2acos2x
(a
1)cosx
1.
令g(t)
2at2
(a
1)t
1,则A是|g(t)|在[
1,1]上的最大值,g
(1)
a,
1
a
g
(1)
3a2
t
g(t)
,
且当
4a
时,
取得极小值,极小
值为
1a
(a1)2
a2
6a1
g(
)
8a
1
8a
4a
.
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1
a
1
a
1
1
1
3(舍去),
a
令
4a
,解得
5.
0
1
a
时,g(t)在(1,1)
内无极值点,|g
(1)|
a,|g
(1)|2
3a,
(ⅰ)当
5
|g(
1)|
|g
(1)|,所以A
23a.
(Ⅲ)由(Ⅰ)得|f'(x
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