八年级初二数学 平行四边形知识点+典型题附解析.docx
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八年级初二数学平行四边形知识点+典型题附解析
八年级初二数学平行四边形知识点-+典型题附解析
一、解答题
1.如图,在中,,过点的直线,为边上一点,过点作,交直线于,垂足为,连接、
(1)当在中点时,四边形是什么特殊四边形?
说明你的理由;
(2)当为中点时,等于度时,四边形是正方形.
2.在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,点P是边AD上一点,PF⊥BD于点F,PA=PF.
(1)试判断四边形AGFP的形状,并说明理由.
(2)若AB=1,BC=2,求四边形AGFP的周长.
3.如图,在长方形中,.动点分别从点同时出发向点运动,点的运动速度为每秒2个单位,点的运动速度为每秒1个单位,当点运动到点时,两个点都停止运动,设运动的时间为.
(1)请用含的式子表示线段的长,则________,________.
(2)在运动过程中,若存在某时刻使得是等腰三角形,求相应的值.
4.如图1,已知四边形ABCD是正方形,E是对角线BD上的一点,连接AE,CE.
(1)求证:
AE=CE;
(2)如图2,点P是边CD上的一点,且PE⊥BD于E,连接BP,O为BP的中点,连接EO.若∠PBC=30°,求∠POE的度数;
(3)在
(2)的条件下,若OE=,求CE的长.
5.如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折叠纸片使B点落在边AD上的E处,折痕为PQ,过点E作EF∥AB交PQ于F,连接BF.
(1)求证:
四边形BFEP为菱形;
(2)当E在AD边上移动时,折痕的端点P、Q也随着移动.
①当点Q与点C重合时,(如图2),求菱形BFEP的边长;
②如果限定P、Q分别在线段BA、BC上移动,直接写出菱形BFEP面积的变化范围.
6.如图,菱形纸片的边长为翻折使点两点重合在对角线上一点分别是折痕.设.
(1)证明:
;
(2)当时,六边形周长的值是否会发生改变,请说明理由;
(3)当时,六边形的面积可能等于吗?
如果能,求此时的值;如果不能,请说明理由.
7.已知,如图,在三角形中,,于,且.点从点出发,沿方向匀速运动,速度为;同时点由点出发,沿方向匀速运动,速度为,过点的动直线,交于点,连结,设运动时间为,解答下列问题:
(1)线段_________;
(2)求证:
;
(3)当为何值时,以为顶点的四边形为平行四边形?
8.已知:
在矩形ABCD中,点F为AD中点,点E为AB边上一点,连接CE、EF、CF,EF平分∠AEC.
(1)如图1,求证:
CF⊥EF;
(2)如图2,延长CE、DA交于点K,过点F作FG∥AB交CE于点G若,点H为FG上一点,连接CH,若∠CHG=∠BCE,求证:
CH=FK;
(3)如图3,过点H作HN⊥CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.
9.如图,已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置,连接AG,AE.
(1)求证:
(2)过点F作于P,交AB、AD于M、N,交AE、AG于P、Q,交BC于H,.求证:
NH=FM
10.已知:
正方形ABCD和等腰直角三角形AEF,AE=AF(AE<AD),连接DE、BF,P是DE的中点,连接AP.将△AEF绕点A逆时针旋转.
(1)如图①,当△AEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时,则线段AP与线段BF的位置关系为,数量关系为.
(2)当△AEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时,证明:
第
(1)问中的结论仍然成立.
(3)若AB=3,AE=1,则线段AP的取值范围为.
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一、解答题
1.
(1)四边形是菱形,理由见解析;
(2)
【分析】
(1)先证明,得出四边形是平行四边形,再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出,得出四边形是菱形;
(2)先求出,再根据菱形的性质求出,即可证出结论.
【详解】
解:
当点是的中点时,四边形是菱形;理由如下:
∵,
,
∵,
,
,
∵,即,
四边形是平行四边形,
;
为中点,
,
,
∵,
四边形是平行四边形,
∵,为中点,
,
四边形是菱形;
(2)当时,四边形是正方形;理由如下:
∵,,
,
∵四边形是菱形,
,
,
四边形是正方形.
故答案为:
.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质;根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键.
2.
(1)四边形AGFP是菱形,理由见解析;
(2)四边形AGFP的周长为:
【分析】
(1)根据矩形的性质和菱形的判定解答即可;
(2)根据全等三角形的判定和性质,以及利用勾股定理解答即可.
【详解】
解:
(1)四边形AGFP是菱形,理由如下:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAP=90°,
∵PF⊥BD,PA=PF,
∴∠PBA=∠PBF,
∵AE⊥BD,
∴∠PBF+∠BGE=90°,
∵∠BAP=90°,
∴∠PBA+∠APB=90°,
∴∠APB=∠BGE,
∵∠AGP=∠BGE,
∴∠APB=∠AGP,
∴AP=AG,
∵PA=PF,
∴AG=PF,
∵AE⊥BD,PF⊥BD,
∴AE∥PF,
∴四边形AGFP是平行四边形,
∵PA=PF,
∴平行四边形AGFP是菱形;
(2)在Rt△ABP和Rt△FBP中,
∵PB=PB,PA=PF,
∴Rt△ABP≌Rt△FBP(HL),
∴AB=FB=1,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=2,
∴BD=,
设PA=x,则PF=x,PD=2﹣x,PF=﹣1,
在Rt△DPF中,DF2+PF2=PD2,
∴
解得:
x=,
∴四边形AGFP的周长为:
4x=4×.
【点睛】
此题考查矩形的性质,菱形的判定,全等三角形的判定和性质和勾股定理,解题的关键是熟练掌握所学的知识定理进行解题.
3.
(1)8-2t,8-t;
(2)或
【分析】
(1)根据P、Q的运动速度以及AB和CD的长即可表示;
(2)分PQ=PB、BP=BQ和QP=QB三种情况进行分析即可.
【详解】
解:
(1)由题意可得:
DP=2t,AQ=t,
∴PC=8-2t,BQ=8-t,
故答案为:
8-2t,8-t;
(2)当PQ=PB时,
如图①,QH=BH,
则t+2t=8,
解得,t=,
当PQ=BQ时,
(2t-t)2+62=(8-t)2,
解得,t=,
当BP=BQ时,
(8-2t)2+62=(8-t)2,
方程无解;
∴当t=或时,△BPQ为等腰三角形.
【点睛】
本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定,掌握性质并灵活运用性质是解题的关键,注意分情况讨论思想的应用.
4.
(1)详见解析;
(2)30°;(3)2
【分析】
(1)利用正方形的性质,得到AD=CD,∠ADB=∠CDB=45°,进而判断△ADE≌△CDE得到结论;
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可以得到OB=OE,∠OBE=∠OEB=15°,再利用外角和定理求得;
(3)连接OC,与
(2)同理得到∠POC=60°,则△EOC为直接三角形,再应用勾股定理求得.
【详解】
证明:
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠ADB=∠CDB=45°,
在△ADE和△CDE中,
,
∴△ADE≌△CDE(SAS),
∴AE=CE;
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DBC=45°,
∵∠PBC=30°,
∴∠PBE=15°,
∵PE⊥BD,O为BP的中点,
∴EO=BO=PO,
∴∠OBE=∠OEB=15°,
∴∠EOP=∠OBE+∠OEB=30°;
(3)如图,连接OC,
∵点O是BP的中点,∠BCP=90°,
∴CO=BO,
∴EO=CO=,∠OBC=∠OCB=30°,
∴∠POC=60°,
∴∠EOC=∠EOP+∠POC=90°,
∵EC2=EO2+CO2=4,
∴EC=2.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、外角和定理、勾股定理,综合性较强,要注意数形结合.
5.
(1)证明过程见解析;
(2)①边长为cm,②.
【分析】
(1)由折叠的性质得出PB=PE,BF=EF,∠BPF=∠EPF,由平行线的性质得出∠BPF=∠EFP,证出∠EPF=∠EFP,得出EP=EF,因此BP=BF=EF=EP,即可得出结论;
(2)①由矩形的性质得出BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,∠A=∠D=90°,由对称的性质得出CE=BC=5cm,在Rt△CDE中,由勾股定理求出DE=4cm,得出AE=AD-DE=1cm;在Rt△APE中,由勾股定理得出方程,解方程得出EP=cm即可;
②当点Q与点C重合时,点E离点A最近,由①知,此时AE=1cm;当点P与点A重合时,点E离点A最远,此时四边形ABQE为正方形,AE=AB=3cm,即可得出答案.
【详解】
解:
(1)证明:
∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处,折痕为PQ,
∴点B与点E关于PQ对称,
∴PB=PE,BF=EF,∠BPF=∠EPF,
又∵EF∥AB,
∴∠BPF=∠EFP,
∴∠EPF=∠EFP,
∴EP=EF,
∴BP=BF=EF=EP,
∴四边形BFEP为菱形;
(2)①∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,∠A=∠D=90°,
∵点B与点E关于PQ对称,
∴CE=BC=5cm,
在Rt△CDE中,DE==4cm,
∴AE=AD﹣DE=5cm-4cm=1cm;
在Rt△APE中,AE=1,AP=3-PB=3﹣PE,
∴,解得:
EP=cm,
∴菱形BFEP的边长为cm;
②当点Q与点C重合时,点E离点A最近,由①知,此时AE=1cm,BP=cm,
,
当点P与点A重合时,点E离点A最远,此时四边形ABQE为正方形,AE=AB=3cm,
,
∴菱形的面积范围:
.
【点睛】
本题是四边形综合题目,考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识,求出PE是本题的关键.
6.
(1)见解析;
(2)不变,见解析;(3)能,或
【分析】
(1)由折叠的性质得到BE=EP,BF=PF,得到BE=BF,根据菱形的性质得到AB∥CD∥FG,BC∥EH∥AD,于是得到结论;
(2)由菱形的性质得到BE=BF,AE=FC,推出△ABC是等边三角形,求得∠B=∠D=60°,得到∠B=∠D=60°,于是得到结论;
(3)记AC与BD交于点O,得到∠ABD=30°,解直角三角形得到AO=1,BO=,求得S四边形ABCD=2,当六边形AEFCHG的面积等于时,得到S△BEF+S△DGH=,设GH与BD交于点M,求得GM=x,根据三角形的面积列方程即可得到结论.
【详解】
解:
折叠后落在上,
平分
,
四边形为菱形,同理四边形为菱形,
四边形为平行四边形,
.
不变.
理由如下:
由得
四边形为菱形,
为等边三角
,
为定值.
记与交于点.
当六边形的面积为时,
由得
记与交于点
,
同理
即
化简得
解得,
∴当或时,六边形的面积为.
【点睛】
此题是四边形的综合题,主要考查了菱形的性质,等边三角形的判定和性质,三角形的面积公式,菱形的面积公式,解本题的关键是用x表示出相关的线段,是一道基础题目.
7.
(1)12;
(2)证明见详解;(3)或t=4s.
【分析】
(1)由勾股定理求出AD即可;
(2)由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ=∠PQB,再由等腰三角形的判定定理即
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