切比雪夫不等式证明完整版.docx
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切比雪夫不等式证明完整版
切比雪夫不等式证明
切比雪夫不等式证明
ε}=1-dxε^2
切比雪夫不等式说明,dx越小,则p{x-exf|取代f,再取如下定义而得:
概率论说法
设x为随机变数,期望值为μ,方差为σ2。
对于任何实数k0,
改进
一般而言,切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。
考虑下面例子:
这个分布的标准差σ=1k,μ=0。
当只求其中一边的值的时候,有antelli不等式:
证明
定义,设为集的指标函数,有
又可从马尔可夫不等式直接证明:
马氏不等式说明对任意随机变数和正数a有\pra。
取=2及a=2。
亦可从概率论的原理和定义开始证明。
第二篇:
切比雪夫不等式的证明
设随机变量x有数学期望?
及方差?
,则对任何正数?
,下列不等式成立2
?
2
p?
x?
e2?
证明:
设x是离散型随机变量,则事件x?
e表示随机变量x取得一切满足不等式xi?
e的可能值xi。
设pi表示事件x?
xi的概率,按概率加法定理得
p?
x?
e
xi?
e?
pi
这里和式是对一切满足不等式xi?
e的xi求和。
由于xi?
e,即?
xi?
e?
22xi?
e,所以有2?
2?
1。
2?
xi?
e?
又因为上面和式中的每一项都是正数,如果分别乘以?
2,则和式的值将增大。
于是得到
p?
x?
e
xi?
e?
pi?
xi?
exi?
e22pi?
1
?
2xi?
exi?
e?
2pi
因为和式中的每一项都是非负数,所以如果扩大求和范围至随机变量x的一切可能值xi求和,则只能增大和式的值。
因此
p?
x?
e1
?
2x?
e?
i
i2pi
上式和式是对x的一切可能值xi求和,也就是方差的表达式。
所以,
?
2
p?
x?
e2?
第三篇:
经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式
mathang
几个经典不等式的关系
一几个经典不等式
(1)均值不等式
设a1,a2,?
an?
0是实数
a?
a?
a12n?
111n?
+a1a2an
其中ai?
0,i?
1,2,?
n.当且仅当a1?
a2?
an时,等号成立.
n
(2)柯西不等式
设a1,a2,?
an,b1,b2,?
bn是实数,则
?
a
21
22?
a2?
anb12?
b22?
bn2?
a1b1?
a2b2?
anbn?
2
当且仅当bi?
0或存在实数k,使得ai?
kbi时,等号成立.
(3)排序不等式
设a1?
a2?
an,b1?
b2?
bn为两个数组,
1,
2,?
,n是b
1,b2,?
,bn的任一排列,则
a1b1?
a2b2?
anbn?
a11?
a22?
ann?
a1bn?
a2bn?
1?
anb1当且仅当a1?
a2?
an或b1?
b2?
bn时,等号成立.
(4)切比晓夫不等式
对于两个数组:
a1?
a2?
an,b1?
b2?
bn,有
a1b1?
a2b2?
anbn?
a1?
a2?
anb1?
b2?
bn?
a1bn?
a2bn?
1?
anb1
nnnn
当且仅当a1?
a2?
an或b1?
b2?
bn时,等号成立.
二相关证明
(1)用排序不等式证明切比晓夫不等式证明:
由
a1b1?
a2b2?
anbn?
a1?
a2?
anb1?
b2?
bn?
?
nnn
?
n?
a1b1?
a2b2?
anbn?
a1?
a2?
anb1?
b2?
bn?
而
?
a1?
a2?
anb1?
b2?
bna1b1?
a2b2?
anbn?
a1b2?
a2b3?
anb1?
a1b3?
a2b4?
anb2?
a1b4?
a2b5?
anb3
?
a1bn?
1?
a2bn?
anbn?
2
?
a1bn?
a2b1?
anbn?
1
根据“顺序和?
乱序和”(在n?
1个部分同时使用),可得
n?
a1b1?
a2b2?
anbn?
a1?
a2?
anb1?
b2?
bn?
即得
a1b1?
a2b2?
anbn?
a1?
a2?
anb1?
b2?
bn?
?
nnn
同理,根据“乱序和?
反序和”,可得
?
a1?
a2?
anb1?
b2?
bn?
a1bn?
a2bn?
1?
anb1
?
nnn
综合即证
(2)用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”
?
证明:
构造两个数列:
a1?
a2?
an
n
XX?
XX1XX
x2?
122,?
xn?
12nn?
1
1121n
1,2,?
n?
1
x1a1x2a1a2xna1a2?
an
x1?
其中?
.因为两个数列中相应项互为倒数,故无论大小如何,乘积的和:
............................
x11?
x22xnn
总是两数组的反序和.于是由“乱序和?
反序和”,总有.........
x1n?
x21xnn?
1?
x11?
x22xnn
于是
XX1a2
n?
1?
1?
1
即
a1?
a2?
an
?
n
即证
a1?
a2?
an
?
?
n
a1?
a2?
an
(3)用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”
:
?
n证明:
不妨设a1?
a2?
an,
222
a1?
a2?
an?
a1?
a2?
ana1?
a2?
an?
a1?
a2?
an
.?
nnnn
由切比晓夫不等式,右边不等式显然成立.即证.
(4)用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式”
n?
+a1a2an
?
a1?
a2?
an
n
证明:
n111?
+a1a2an
?
a1?
a2?
an
n
1?
11
?
+a1a2an?
a1?
a2?
an
nn?
111?
XXa?
12n?
a1a2an
1?
.
n?
不妨设a1?
a2?
an,则
11
1,由切比晓夫不等式,上式成立.即证.anan?
1a1
(5)用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式
证明:
不妨设a1?
a2?
an,b1?
b2?
bn由切比晓夫不等式,有
a1b1?
a2b2?
anbn?
a1?
a2?
anb1?
b2?
bn?
?
.
nnn
由均值不等式,有
a1?
a2?
an?
nb1?
b2?
bn?
n所以
a1b1?
a2b2?
anbn
?
n
两边平方,即得?
a1b1?
a2b2?
anbna1?
a2?
an
b
22?
b2?
bn.即证.
(6)补充“调和—几何平均不等式”的证明
111
a?
a2?
ananXX21
证明
?
1中的ai换成.
?
1
na
inn
?
两边取倒数,即得
?
+a1a2an
第四篇:
切比雪夫不等式及其应用
天津理工大学201X届本科毕业论文
切比雪夫不等式及其应用
摘要
切比雪夫不等式是概率论中重要的不等式之一。
尤其在分布未知时,估计某些事件的概率的上下界时,常用到切比雪夫不等式。
另外,大数定律是概率论极限理论的基础,而切比雪夫不等式又是证明大数定律的重要途径。
如今,在切比雪夫不等式的基础上发展起来的一系列不等式都是研究中心极限定理的有力工具。
作为一个理论工具,切比雪夫不等式的地位是很高的。
本文首先介绍了切比雪夫不等式的一些基本理论,引出其概率形式,用现代概率方法证明了切比雪夫不等式并给出了其等号成立的充要条件。
其次,从三大方面阐述了其在概率论中的应用,并且给出了切比雪夫大数定律和伯努利大数定律的证明。
在充分了解切比雪夫不等式后,最后探索了其在生活中的应用,并且用切比雪夫不等式评价了irr的概率风险分析。
关键词:
切比雪夫不等式大数定律irr
thehebster’sinequalitanditsappliations
abstrat
inprobabilittheor,thehebshev’sinequalitisoneoftheimportantinequalities.inpartiularthedistributionisunknon,thehebshev’sinequalitisusuallusedhenestimatingtheboundarfromaboveorbeloofprobabilit.inaddition,thelaoflargenumbersisthebasisofthelimittheorofprobabilit.thehebshev’sinequalitisanimportantatoproveit.no,aseriesofinequalitiesthataredevelopedonthebasisofthehebshev’sinequalitareapoerfultoolfortheentrallimittheorem.asatheoretialtool,itsstatusisverhigh.
first,thisartileintroduessomebasitheorofthehebshev’sinequalit,itraisesthehebshev’sinequalit’sformofprobabilitandmakesaproveforthehebshev’sinequalitiththemethodofmodernprobabilit.furthermore,itgivestheneessarandsuffiientonditionoftheestablishmentoftheequalsign.
天津理工大学201X届本科毕业论文
seondl,eintroduesitsfiveappliationinprobabilittheorandgivestheproveofthehebshevandbernoullilaoflargenumbers.afterthefullunderstandingofthehebshev’sinequalit,finall,eexploreitsappliationinthelifeandgivetheprobabilistiriskassessmentoftheirriththehebshev’sinequalit.
keords:
hebshev’sinequalitlaoflargenumbersirr
第五篇:
应用切比雪夫
应用切比雪夫不等式解题
切比雪夫不等式是解决不等式问题的强力武器之一.本文对该不等式及其应用进行简单的介绍.
一、切比雪夫不等式及其推论
1?
ai?
bin
1
②若a1?
a2?
an,b1?
b2?
bn.则有?
aibiai?
bi(切比雪夫不等式)n
①若a1?
a2?
an,b1?
b2?
bn.则有?
aibi?
常见的方法是运用排序不等式,但最简单的证法是通过恒等变形.
证明1:
①式左边为顺序和,记为s,则
s?
a1b1?
a2b2?
anbn,s?
a1b2?
a2b3?
anb1,
s?
a1b3?
a2b4?
anb2,,s?
a1bn?
a2b1?
anbn?
1.将上面n个式子相加,并按列求和即得结论.
②证明同上(左边反序和不等号反向即可).
证明2:
推论1设xi?
r?
,实数p,q均不为零.则
⑴当p,q同号时,?
x
i?
1
nnp?
qi1npnqxixini?
1i?
11npnqxixi.ni?
1i?
1
⑵当p,q异号时,?
xi?
1p?
qi
该推论直接应用切比雪夫不等式即证.
推论2设xi?
r?
,
ns则x?
1,r?
s?
0.x?
x?
i?
i.?
iri?
1i?
1i?
1nnn1nnn1nr?
sns1r?
snss证明:
事实上,?
xixi?
xinxixini?
1ni?
1i?
1i?
1i?
1i?
1r
推论3设a1,a2,?
an,b1,b2,?
bn?
r且a1?
a2?
an,b1?
b2?
bn或a1?
a2?
an,b1?
b2?
bn,mi?
r?
则?
mmabmambiiiiiiii
i?
1i?
1i?
1i?
1nnnn
1nn
证明:
事实上,?
mimiaibimiaimibi?
mimj?
0.2i?
1j?
1i?
1i?
1i?
1i?
1
推论3是切比雪夫不等式的加权形式.显然,当m1?
m2?
mn时,就是切比雪夫不等式.nnnn
注意:
切比雪夫与推论3等号成立的条件均为a1?
a2?
an,b1?
b2?
bn中至少一组成立.
二、切比雪夫不等式的应用
1、构造两组数证明不等式.此类问题最关键、也是最难的步骤就是构造,选择两组数时往往需要很强的技巧.
例
1、已知0?
a?
b?
?
d?
e,例
2、设xi?
r?
,
n
n
?
i?
1
ad?
d?
b?
be?
ea?
.求证:
.a?
1?
5
?
x
i?
1
n
i
?
1
求证:
i?
1
例
3、设xi?
r?
,k?
1.
n
1n1nxik?
1
求证:
?
(201X,女子数学奥林匹克)xik?
1?
xx1?
xi?
1i?
1ii?
1ii?
1i
n
2、去分母.能用切比雪夫不等式去分母的分式不等式,往往当变量排序后,分式的值也可以排序.一般的,当分母的值与分式的值都能排序时,可考虑用这种方法.
ak3
?
(第四届中国东南)例
4、设a,b,?
0,ab?
1.求证:
对整数k,?
b?
2
例
5、设a,b,?
0,a?
b?
?
1.求证:
?
1b?
a?
1a
?
27
(201X,塞尔维亚)31
例
6、a,b,?
0,
?
a?
b?
1?
1.求证:
a?
b?
?
ab?
b?
a(201X,罗马尼亚)
12
3、极值问题中的化简作用.在多元极值问题中,恰当地运用切比雪夫不等式可以将代数式简化,有助于问题的解决.
例
7、给定实数?
.求最小的常数m,使得対任意的整数n?
2及实数
nnm
1n
只要满足?
kak?
?
ak,总有?
ak?
m?
ak,其中,0?
a1?
a2?
an,mn?
nk?
1k?
1k?
1k?
1
为不超过实数n的最大整数.(201X,中国数学奥林匹克).例
8、给定正整数r,s,t,满足1?
r?
s?
t,对满足条件
xjxj?
1
?
1?
s?
t
的所j?
t
?
j?
x
有正实数x1,x2,?
xn,求m?
n
j
x
j?
1
j?
1n
的最小值.
j
练习题
x33
1、设x,,z?
r?
xz?
1.求证:
(第39届imo预选题)
4
(提示:
利用切比雪夫去分母,在用均值不等式及切比雪夫不等式推论)
2、设设为u,v,正实数,满足条件u?
vu
1,试求u+v+的最小值.(201X第三届女子五)
(提示:
由切比雪夫不等式得
3、设a,b,?
0,
u?
.
?
3
a?
a,a?
b?
求证:
ab23?
1
1222ba23222(提示:
ab?
abab由切比雪夫得a3ab
1222ba122211112
ab?
ab?
)3ab9ab9
4、设k是给定的非负整数.求证:
对所有满足x?
?
z?
1的正实数x,,z,不等式
xk?
21
xk?
1?
k?
zk7成立,并给出等号成立的条件.
(201X塞尔维亚数学奥林匹克)
(提示:
当k?
0时易证.当k?
1时,不妨设x?
?
z,则不难得到
xk?
2k?
2zk?
2?
k?
1k?
k?
1k
k?
1kkkx?
?
z?
z?
xz?
x?
k
,
xk?
1?
k?
zk?
k?
1?
zk?
xk?
zk?
1?
xk?
k由切比雪夫及其推论可证)
5、设x1,x2,?
xn是n个非负实数,且求x1?
4x2?
nxn的最大值.(提示:
设si?
?
x
i?
1
n
i
?
n,?
ixi?
2n?
2
i?
1
n
?
x
j?
i
n
j
.则x1?
4x2?
nxn?
s1?
3s2?
sn由切比雪夫得
.所以,最大值为n2?
2n?
1
n?
2n?
2
x2?
x3?
xn?
1?
0,xn?
当x1?
n?
时,取得等号)n?
1n?
13s2?
sn?
(补)在锐角三角形中,证明:
?
sinasin2a
附送:
切蛋糕婚礼主持词
切蛋糕婚礼主持词
第一篇:
婚礼上切蛋糕的主持词
结婚除了拍婚纱照外,现在很流行一种新的婚礼文化哦,那就是婚礼沙画,能够把你们的爱情故事编制成沙子动画视频,能够在婚礼上播放,好处多多,
1,不会让来宾觉得你的婚礼跟别人的没什么两样,你的婚礼有创意,
2,来宾们很多都是互不认识的,没什么话题可以聊,这样刚好可以给他们这样一个话题,
3,把你们的爱情故事展示在所有人面前,这样你也很有面子,
4,以后老了还可以拿起来好好回味当初的美好场景,何乐而不为呢,但是目前国内的沙画师很少,能够做到这样的更少,之前在网上看到过201X婚礼沙画在这方面很很专业,你可以去找找看,而且价格也好像比别人的便宜很多哦,希望可以帮到你吧
戒指的祝词:
爱情,一首流传千百年来恒古不变的美丽诗篇,今天,在这里,正由我们的新人隆重上演,接下来上演的一幕,是非常具有西方特色的、浪漫而又典雅的仪式。
戒指向来被认为是有情人之间的信物,是忠贞不渝的爱情誓言。
好,我们的有情人就互换他们的结婚信物——戒指。
香槟的祝词:
爱情是灯,愈拨愈亮;爱情是河,愈流愈长;爱情是花,愈开愈美;爱情是酒,愈陈愈香。
我们的新人将开启这瓶象征爱情美满的香槟,让他们的幸福源泉一泻而下。
源源不断的幸福之泉,滔滔不绝的热情之河,都在这里起源。
我们的新人彼此的心里涌着情,涌着爱,涌着生活的甜蜜与芬芳,他们正将自己的感情注入这晶莹的杯塔之间,用他们的双手去构筑起这浓情蜜意的爱之巢。
我们的新人,用他们真诚的心、炽热的情制造出的爱情佳酿,醇美、甘甜。
朋友们,最令人难忘的一幕就要到来了,新人将在这里互敬交杯美酒。
蛋糕的祝词:
朋友们,圆圆的蛋糕,象征着爱情圆满、甜蜜和幸福。
我们的新人现在就要亲手切开它。
首先他们切下了蛋糕的底层,这是他们对爱情的宣言,也是对新生活的剪彩;现在他们切下了第二层,我们共同祝愿这对新人永远年轻,永远浪漫;然后,他们切到了最高层,这预示着他们的事业蒸蒸日上、拥有黄金般的岁月和璀璨的未来。
婚礼上三层蛋糕,新人怎么来切?
主持切蛋糕的时候,主持词怎么说?
切最下面的一层就可以,要切成八字的。
共两刀就可以。
从底下往上切,步步高升。
多层蛋糕没有必要每一层都要说出含义的,而且在切的时候就把第一层切一刀,只要说出层层高升啊,芝麻开花节节高之类的就可以了!
不是很清楚的。
婚礼主持词切蛋糕的套语请两位新人来到舞台中央,在这喜庆的日子里,共同切开百年好合婚礼大蛋糕,这象征着他们对爱情永恒的宣誓和对未来美好新生活剪彩。
北京的好利来蛋糕店动物园那有一家新开的在华堂边上坐26可路过在二里沟下车魏公村可坐到车,要不就坐15到南里士路在动物园坐车.中心店南礼士路店地址。
【结婚蛋糕】"真抱歉,两层的蛋糕都卖完了,"糕饼师傅说,"不过,请等一如图所示,解释一下:
先把蛋糕拦腰截断,这样分成上下两块;然后把上边那块。
第二篇:
婚礼主持词切蛋糕
朋友们,圆圆的蛋糕,象征着爱情圆满、甜蜜和幸福。
我们的新人现在就要亲手切开它。
首先他们切下了蛋糕的底层,这是他们对爱情的宣言,也是对新生活的剪彩;现在他们切下了第二层,我们共同祝愿这对新人永远年轻,永远浪漫;然后,他们切到了最高层,这预示着他们的事业蒸蒸日上、拥有黄金般的岁月和璀璨的未来
婚礼切蛋糕主持词范本一
朋友们,圆圆的蛋糕,象征着爱情圆满、甜蜜和幸福。
我们的新人现在就要亲手切开它。
首先他们切下了蛋糕的底层,这是他们对爱情的宣言,也是对新生活的剪彩;现在他们切下了第二层,我们共同祝愿这对新人永远年轻,永远浪漫;然后,他们切到了最高层,这预示着他们的事业蒸蒸日上、拥有黄金般的岁月和璀璨的未来,蛋糕的形状是团团圆圆、蛋糕的味道是香香甜甜、蛋糕的寓意是和和美美、我们的祝福是:
愿两位新人相爱百年!
!
!
婚礼切蛋糕主持词范本二
这是用生命与奉献搭起的雪峰,它那么洁白无暇却没有寒冷,那层层的峰峦充满温馨与甜蜜。
生命在历史的长河中只是暂短的一瞬,而奉献却是屹立在天地间的丰碑。
是缘分借助生命的力量、奉献的精气把你们结合在一起。
当你们站在这记忆永存的甜蜜塔前,不由地感悟到:
爱情之塔是由两个生命来支撑,用奉献把它堆砌。
蛋糕塔可以切开,同心同德地爱情塔永远不会分离。
共同的心声是坚固的塔基;共同的心愿是永远向上的塔层,爱情的明珠镶嵌在塔顶,永世灿烂恢宏!
把手慢慢地落下吧,让朋友们共同分享你们的幸福与甜蜜!
刻骨铭心的爱啊--,是一道永不消隐的彩虹!
婚礼切蛋糕主持词范本三
人生最美好,最幸福,最难忘的日子莫过于今天,是缘分使双方相聚于此,从相识到相知,从友情走向爱情,为了共同的目标而辛勤耕耘为着一个美满、温馨的家。
从此双方将在漫长的岁月中同甘苦、共命运,互敬互爱,白头偕老。
大家请看这只婚礼蛋糕,它象征着一个甜蜜的生活,在这里新郎新娘将协力切开这只洁白、纯洁的蛋糕共同进入生活的第一步。
有请新人切开这百年好合的婚礼蛋糕。
各位来宾大家请看新郎新娘这时候甜丝丝的向笑容已经掩盖不住内心的激动心情,现存的合作将是组成小家庭的第一步,让我们用掌声祝福他们。
第三篇:
多层婚礼蛋糕切法
中公时尚婚礼学院
多层婚礼蛋糕切法
婚宴上,常有一刀切蛋糕的仪式,新人在所有来宾的瞩目下,双手同持一把刀,切开蛋糕。
一般情况,新人合力切一刀,最后由婚礼天使分切成若干刀,再分发给主要贵宾和佳宾。
那么,多层蛋糕从哪层开始切?
怎么切?
其实,新人在结婚蛋糕上应该切几刀,也没严格的讲究,它只是个形式,就像剪彩仪式一样,可由一位领导代表剪一刀,也可以由几位领导共同代表剪若干刀。
多层蛋糕的切法:
1、圆形蛋糕——应先切成几个同心圆,然后再把每个圆切成小块。
2、多层蛋糕——应先分底层,再中层。
3、如果切蛋糕的地方有专门的服务人员,新人可以只切开始那标志性的一刀,剩下的就交给专业人员吧。
4、父母结婚时,多半没有切过蛋糕,多预备一份蛋糕和父母同时切,也很有趣。
中公时尚婚礼学院
第四篇:
婚礼蛋糕主持词
戒指的祝词:
爱情,一首流传千百年来恒古不变的美丽诗篇,今天,在这里,正由我们的新人隆重上演,接下来上演的一幕,是非常具有西方特色的、浪漫而又典雅的仪式。
戒指向来被认为是有情人之间的信物,是忠贞不渝的爱情誓言。
好,我们的有情人就互换他们的结婚信物——戒指。
香槟的祝词:
爱情是灯,愈拨愈亮;爱情是河,愈流愈长;爱情是花,愈开愈美;爱情是酒,愈陈愈香。
我们的新人将开启这瓶象征爱情美满的香槟,让他们的幸福源泉一泻而下。
源源不断的幸福之泉,滔滔不绝的热情之河,都在这里起源。
我们的新人彼此的心里涌着情,涌着爱,涌着生活的甜蜜与芬芳,他们正将自己的感情注入这晶莹的杯塔之间,用他们的双手去构筑起这浓情蜜意的爱之巢。
我们的新人,用他们真诚的心、炽热的情制造出的爱情佳酿,醇美、甘甜。
朋友们,最令人难忘的一幕就要到来了,新人将在这里互敬交杯美酒。
蛋糕的祝词:
朋友们,圆圆的蛋糕,象征着爱情圆满、甜蜜和幸福。
我们的新人现在就要亲手切开它。
首先他们切下了蛋糕的底层,这是他们对爱情的宣言,也是对新生活的剪彩;现在他们切下了第二层,我们共同祝愿这对新人永远年轻,永远浪漫;然后,他们切到了最高层,这预示着他们的事业蒸蒸日上、拥有黄金般的岁月和璀璨的未来
不用谢,呵呵
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婚礼切蛋糕主持词范例一:
开开心心第一刀:
祝愿这对新人今后的生活就像这蛋糕一样甜甜蜜蜜;
和和美美第二刀:
预示着他们婚后的合作会像这蛋糕一样圆圆满满;
飞黄腾达第三刀:
祝他们的的事业就像蛋糕一样一层高过一层,青云直上,步步登高!
婚礼切蛋糕主持词范例二:
朋友们,圆圆的蛋糕,象征着爱情圆满、甜蜜和幸福。
我们的新人现在就
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