版高中数学 第二章 随机变量及其分布章末复习学案 新人教A版选修23.docx

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版高中数学第二章随机变量及其分布章末复习学案新人教A版选修23

第二章随机变量及其分布

章末复习

学习目标　1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解离散型随机变量及分布列，并掌握两个特殊的分布列——二项分布和超几何分布.3.理解离散型随机变量的均值、方差的概念，并能应用其解决一些简单的实际问题.4.了解正态分布曲线特点及曲线所表示的意义．

1．离散型随机变量的分布列

（1）如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

（2）若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi（i＝1,2，…，n）的概率P（X＝xi）＝pi，则称表

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有性质：

①pi≥0，i＝1,2，…，n；

②pi＝1.

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

2．两点分布

如果随机变量X的分布列为

X

1

0

P

p

q

其中0

3．超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率：

P（X＝k）＝（k＝0,1,2，…，m），其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，则称分布列

X

0

1

…

m

P

…

为超几何分布列．

4．条件概率及其性质

（1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示，其公式为P（B|A）＝（P（A）>0）．

在古典概型中，若用n（A）表示事件A中基本事件的个数，则P（B|A）＝.

（2）条件概率具有的性质：

①0≤P（B|A）≤1；

②如果B和C是两个互斥事件，

则P（B∪C|A）＝P（B|A）＋P（C|A）．

5．相互独立事件

（1）对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B是相互独立事件．

（2）若A与B相互独立，则P（B|A）＝P（B），

P（AB）＝P（B|A）P（A）＝P（A）P（B）．

（3）若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．

（4）若P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立．

6．二项分布

（1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

（2）在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k（k＝0,1,2，…，n），此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B（n，p），并称p为成功概率．

7．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

（1）均值

称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

（2）方差

称D（X）＝（xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．

（3）均值与方差的性质

①E（aX＋b）＝aE（X）＋b.

②D（aX＋b）＝a2D（X）．（a，b为常数）

（4）两点分布与二项分布的均值、方差

①若X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）．

②若X～B（n，p），则E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）．

8．正态分布

（1）正态曲线：

函数φμ，σ（x）＝，x∈（－∞，＋∞），其中μ和σ为参数（σ>0，μ∈R）．我们称函数φμ，σ（x）的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

（2）正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值；

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；

σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

（3）正态分布的定义及表示

如果对于任何实数a，b（a

正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

①P（μ－σ

②P（μ－2σ

③P（μ－3σ

类型一　条件概率的求法

例1　设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数（重根按一个计）．求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．

考点　条件概率的定义及计算公式

题点　直接利用公式求条件概率

解　记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，则基本事件总数为6×6＝36.其中先后两次出现的点数中有5，共有11种．从而P（M）＝.

记“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件N，

若使方程x2＋bx＋c＝0有实根，

则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2.

∵b，c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，

∴当先后两次出现的点数中有5时，

若b＝5，则c＝1,2,3,4,5,6；

若c＝5，则b＝5,6.b＝5，c＝5只能算一种情况，从而P（MN）＝.

∴在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为P（N|M）＝＝.

反思与感悟　条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法

（1）P（B|A）＝.

（2）P（B|A）＝.在古典概型下，n（AB）指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n（A）是指事件A发生的基本事件个数．

跟踪训练1　已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．

（1）求此人患色盲的概率；

（2）如果此人是色盲，求此人是男人的概率．（以上各问结果写成最简分式形式）

考点　条件概率的性质及应用

题点　条件概率的性质的简单应用

解　设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.

（1）此人患色盲的概率

P（C）＝P（AC）＋P（BC）

＝P（A）P（C|A）＋P（B）·P（C|B）

＝×＋×＝.

（2）由

（1）得P（AC）＝，又因为P（C）＝，

所以P（A|C）＝＝＝.

类型二　相互独立事件的概率与二项分布

例2　天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概率为，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响．

（1）分别求甲、乙两地降雨的概率；

（2）在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，求X的分布列、均值与方差．

考点　二项分布的计算及应用

题点　求二项分布的分布列

解　

（1）设甲、乙两地降雨的事件分别为A，B，且P（A）＝x，P（B）＝y.

由题意得解得

所以甲地降雨的概率为，乙地降雨的概率为.

（2）在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为P＝P（A）＋P（B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）

＝×＋×＝.

X的可能取值为0,1,2,3.

P（X＝0）＝C3＝，

P（X＝1）＝C12＝，

P（X＝2）＝C2＝，

P（X＝3）＝C3＝，

所以X的分布列为

X

0

1

2

3

P

所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

方差D（X）＝×2＋×2＋×2＋×2＝.

反思与感悟　

（1）求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题

①“P（AB）＝P（A）P（B）”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．

②涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．

③公式“P（A∪B）＝1－P（）”常应用于相互独立事件至少有一个发生的概率．

（2）二项分布的判定

与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定：

①每次试验中，事件发生的概率是相同的．

②各次试验中的事件是相互独立的．

③每次试验只有两种结果：

事件要么发生，要么不发生．

④随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．

跟踪训练2　在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是.

（1）求油灌被引爆的概率；

（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ不小于4的概率．

考点　互斥、对立、独立重复试验的概率问题

题点　互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题

解　

（1）油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：

射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为

P＝C××4＋5，

所以所求的概率为

1－P＝1－＝.

（2）当ξ＝4时，记事件为A，

则P（A）＝C××2×＝，

当ξ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B.

则P（B）＝C××3＋4＝，

所以所求概率为P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝.

类型三　离散型随机变量的均值与方差

例3　为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：

每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．

（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：

①顾客所获的奖励额为60元的概率；

②顾客所获的奖励额的分布列及均值；

（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．

考点　均值与方差的应用

题点　均值与方差的综合应用

解　

（1）设顾客所获的奖励额为X，

①依题意，得P（X＝60）＝＝，

即顾客所获的奖励额为60元的概率为.

②依题意得X的所有可能取值为20,60，

P（X＝20）＝＝，P（X＝60）＝，

即X的分布列为

X

20

60

P

所以这位顾客所获奖励额的均值为E（X）＝20×＋60×＝40.

（2）根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找均值为60元的可能方案．

对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10,10,10,50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元．

如果选择（50,50,50,10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是（10,10,50,50）记为方案1，对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除（20,20,20,40）和（40,40,40,20