第12章 平面直角坐标系 学生版.docx
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第12章平面直角坐标系学生版
第12章平面直角坐标系
12.1.1有序实数对
在日常生活中,我们常常会碰到这样的问题:
到电影院看电影你怎样找到自己的位置?
在地图上你怎样确定一个地点的位置?
下象棋时,有人说“炮二平八”,你怎么走棋子?
这些都说的是用两个数确定一个物体的位置,那么怎样确定一个物体的位置呢?
一、有序数对
下面是根据教室平面图写的通知:
请以下座位的同学:
(1,5)、(2,4)、(4,2)、(3,3)、(5,6),今天放学后参加数学问题讨论.
怎样确定教室里座位的位置?
可用排数和列数两个不同的数来确定位置。
排数和列数的先后顺序对位置有影响吗?
举例说明。
排数和列数的先后顺序对位置有影响,如(2,4)和(4,2)表示不同的位置,若约定“列数在前排数在后”,则(2,4)表示第2列第4排,而(4,2)则表示第4列第2排。
这就是说用两个数表示物体的位置是有顺序的。
假设我们约定“列数在前,排数在后”,请你在课本图6.1-1上标出被邀请参加讨论的同学的座位。
上面提到的问题都是通过像“几排几号”这样含有两个数的词来表示一个确定的位置,其中两个数各自表示不同的含义,例如前面的表示“排数”,后面的表示“列数”。
我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b)。
利用有序数对,可以很准确地表示出一个位置。
生活中利用有序数对表示位置的情况是很常见的。
你能再举出一些例子吗?
二、例题
写出表示学校里各个地点的有序数对.
12.1.2平面直角坐标系
(一)
数轴上的点可以用什么来表示?
可以用一个数来表示,我们把这个数叫做这个点的坐标。
如图,点A的坐标是2,点B的坐标是-3。
坐标为-4的点在数轴上的什么位置?
在点C处。
这就是说,知道了数轴上一个点的坐标,这个点的位置就确定了。
类似于利用数轴确定直线上点的位置,能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置呢?
一、平面直角坐标系
我们知道,平面内的点的位置可以用有序数对来表示,为此,我们可以在平面内画出两条互相垂直、原点重合的数轴组成直角坐标系来表示。
如图,水平的数轴称为x轴或横轴,习惯上取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴或纵轴,取向上方向为正方向,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一个有序数对来表示了。
二、点的坐标
如图,由点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足M在x轴上的坐标是3,垂足N在y轴上的坐标是4,我们说A点的横坐标是3,纵坐标是4,有序数对(3,4)就叫做点A的坐标,记作A(3,4)
请读出黑板上各点的坐标:
三、四个象限
建立了平面直角坐系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分,分别叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限。
思考:
1、原点O的坐标是什么?
x轴和y轴上的点的坐标有什么特点?
2、各象限内的点的坐标有什么特点?
四、课堂练习
1、点A(-2,-1)与x轴的距离是________,与y轴的距离是________.
注意:
纵坐标的绝对值是该点到x轴的距离,横坐标的绝对值是该点到y轴的距离。
2、点A(3,a)在x轴上,点B(b,4)在y轴上,则a=______,b=______.
3、点M(-2,3)在第象限,则点N(-2,-3)在____象限.,点P(2,-3)在____象限,点Q(2,3)在____象限.
五、课堂小结
1、平面直角坐标系及有关概念;
2、、已知一个点,如何确定这个点的坐标.
3、坐标轴上的点和象限点的特点。
12.1.2平面直角坐标系
(二)
由点的位置可以写出它的坐标,反之,已知点的坐标怎样确定点的位置呢?
一、例题
例请你画出一个平面直角坐标系,并在这个平面直角坐标系中描出下列各点:
A(4,5),B(-2,3),C(-4,-1),D(2.5,-2),E(0,4).
二、建立直角坐标系
探究:
如图,正方形ABCD的边长为6.
(1)如果以点A为原点,AB所在的直线为x轴,建立平面坐标系,那么y轴是哪条线?
(2)写出正方形的顶点A、B、C、D的坐标.
(3)请你另建立一个平面直角坐标系,此时正方形的顶点A、B、C、D的坐标又分别是多少?
与同学交流一下.
可以看到建立的直角坐标系不同,则各点的坐标也不同.你认为怎样建立直角坐标系才比较适当?
要尽量使更多的点落在坐标轴上。
四、课堂练习
1、在平面直角坐标系中,顺次连结A(-3,4),B(-6,-2),C(6,-2),D(3,4)四点,所组成的图形是________.
五、课堂小结
1、已知点的位置可以写出它的坐标,已知点的坐标可以描出点的位置。
点与有序数对(坐标)是一一对应的关系。
2、为了方便地描述物体的位置,需要建立适当的直角坐标系。
第十二章复习一(12.1)
一、双基回顾
1、点的坐标:
过平面内任意一点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的坐标a、b分别叫做点P的,有序数对(a,b)叫做P点的。
注意:
平面上的点与有序实数对(坐标)一一对应。
〔1〕已知点P的坐标是(-2,3),则点P到x轴的距离是,到y轴的距离是.
2、象限
〔2〕如果点M到y轴的距离是4,到x轴的距离是3,则M的坐标为.
3、坐标轴上点的特征:
x轴上点的坐标的特点是,y轴上点的坐标的特点是,原点的坐标是.
〔3〕如果点A(m,n)的坐标满足mn=0,则点A在()
A.原点上B.x轴上C.y轴上D.坐标轴上
4、建立直角坐标系
〔4〕如图所示,若在象棋盘上建立直角坐标系,使“将”位于点(1,-2),“象”位于点(3,-2),则“炮”位于点.
二、例题导引
例1如果点M(a+b,ab)在第二象限,那么点N(a,b)在第________象限;若a=0,则M点在.
例2已知长方形ABCD中,AB=5,BC=3,并且AB∥x轴,若点A的坐标为(-2,4),求点C的坐标.
例3已知四边形ABCD各顶点的坐标分别是A(0,0),B(3,6),C(14,8),D(16,0),求四边形ABCD的面积。
12.2.1用坐标表示地理位置
一、用坐标表示地理位置
探究:
根据以下条件画一幅示意图,标出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置.
小刚家:
出校门向东走150米,再向北走200米.
小强家:
出校门向西走200米,再向北走350米,最后再向东走50米.
小敏家:
出校门向南走100米,再向东走300米,最后向南走75米.
我们知道,在平面内建立直角坐标系后,平面内的点都可以用坐标来表示,为此,要确定区域内一些地点的位置,就要建立直角坐标系。
三、课堂练习
下图是小红所在学校的平面示意图,请你指出学校各地点的位置。
四、课堂小结
怎样利用坐标表示地理位置?
12.2.1用坐标表示平移
上节课我们学习了用坐标表示地理位置,体现了直角坐标系在实际中的应用,本节课我们研究直角坐标系的另一个应用——用坐标表示平移。
.
一、图形的平移与图形上点的变化规律
首先我们研究点的平移规律。
如图,
(1)将点A(-2,-3)向右平移5个单位长度,得到点A1,在图上标出它的坐标,点A的坐标发生了什么变化?
把点A向上平移4个单位长度呢?
(2)把点A向左或向下平移4个单位长度,点A的坐标发生了什么变化?
从点A的平移变化中,你知道在什么情况下,坐标不变吗?
在什么情况下,坐标增加或减少吗?
将点向左右平移纵坐标不变,向上下平移横坐标不变;将点向右或向上平移几个单位长度,横坐标或纵坐标就增加几个单位长度;向左或向下平移几个单位长度,横坐标或纵坐标就减少几个单位长度。
简单地表示为
再找几个点,对他们进行平移,观察他们的坐标是否按你发现的规律变化?
(这时检验的意识,在解题过程中必不可少。
)
二、图形上点的变化与图形平移,点的对称的规律
1、点的平移:
对一个图形进行平移,就是对这个图形上所有点的平移,因而这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上的点的坐标的某种变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.
例如图
(1),三角形ABC三个顶点坐标分别是A(4,3),B(3,1),C(1,2).
(1)将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6,纵坐标不变,分别得到点A1、B1、C1,依次连接A1、B1、C1各点,所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系?
(2)将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5,横坐标不变,分别得到点A2、B2、C2,依次连接A2、B2、C2各点,所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系?
解:
在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,得到的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,得到的新图形就是把原图形向上(或下)平移a个单位长度。
简单地表示为
2、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征:
在与
轴平行的直线上,所有点的相等;点A、B的纵坐标都等于;
在与
轴平行的直线上,所有点的相等;点C、D的横坐标都等于;
3、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征:
若点P(
)在第一、三象限的角平分线上,则,
即横、纵坐标;
若点P(
)在第二、四象限的角平分线上,则,
即横、纵坐标;
4、点到x轴与y轴的距离
在平面直角坐标系中,已知点P
,则
(1)点P到
轴的距离为,即该点纵坐标的绝对值;
(2)点P到
轴的距离为,即该点横坐标的绝对值。
5、点的对称
a)点P
关于
轴的对称点为
,即;
b)点P
关于
轴的对称点为
,即;
c)
点P
关于原点的对称点为
,即;
关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称
本章小结
一、知识结构
二、回顾与思考
1、在日常生活中,我们可以用有序实数对来描述物体的位置。
有序实数对(x,y)与(y,x)是否相同,请你举一个例子说明。
2、什么是平面直角坐标系建立了平面直角坐标系平面叫做坐标平面。
坐标平面由哪几部分组成?
3、坐标平面内的点与有序实数对(坐标)是一一对应的。
已知点怎样写出它的坐标?
已知点的坐标怎样描出这个点?
4、第一、二、三、四象限的点有什么特征?
坐标轴上的点有什么特征?
原点在什么地方?
5、怎样用坐标表示地理位置?
6、对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上的点坐标的某种变化,我们也可以看出这个图形进行了怎样的平移。
图形平移与坐标变化的规律是什么?
三、例题导引
例1如图,这是某市部分地区的简图,请你用坐标表示各地的位置。
例2如图,
(1)描出A(–3,–2)、B(2,–2)、C(–2,1)、D(3,1)四个点,线段AB、CD有什么关系?
(2)顺次连接A、B、C、D四点组成的图形是什么图形?
(3)这个图形的面积是多少?
例3如图,△ABC中任意一点P(x,y)经平移后对应点为(x+3,y+2),画出它作同样平移后的△A′B′C′,并写出A′、B′、C′的坐标.
四、练习提高
1、点P位于x轴下方,y轴左侧,距离x轴4个单位长度,距离y轴2个单位长度,那么点P的坐标是〔〕
A.(4,2)B.(-2,-4)C.(-4,-2)D.(2,4)
2、将某图形的纵坐标都减去2,横坐标不变,则该图形〔〕
A.向右平移2个单位B.向左平移2个单位
C.向上平移2个单位D.向下平移2个单位
3、与图1中的三角形相比,图2中的三角形发生的变化是()
A.向左平移3个单位长度B.向左平移1个单位长度
C.向上平移3个单位长度D.向下平移1个单位长度
第3题图第5题图
4、一只蚂蚁由(0,0)先向上爬4个单位长度,再向右爬3个单位长度,再向下爬2个单位长度后,它所在位置的坐标是_________。
5、如图是小刚画的一张脸,他对妹妹说“如果我用(1,3)表示左眼,用(3,3)表示右眼,那么嘴的位置可以表示成。
6、已知点A(2,-3),线段AB与坐标轴没有交点,则点B的坐标可能是〔〕
A.(-1,-2)B.(3,-2)C.(1,2)D.(-2,3)
7、线段CD是由线段AB平移得到的,点A(–1,4)的对应点为C(4,7),则点B(–4,–1)的对应点D的坐标为〔〕
A.(2,9)B.(5,3)C.(1,2)D.(–9,–4)
8、已知点A(a,0)和点B(0,5)两点,且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10,则a的值是________________.
9、如图,第二象限的图形可以由第四象限图形经过怎样的平移得到?
对应点的坐标有什么变化?
第9题图第10题图
10、如图,三角形ABC中任意一点P(x0,y0)经平移后对应点为P1(x0+5,y0+3),将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1,求A1,B1,C1的坐标。
11、如图,
(1)请写出在直角坐标系中的房子的A、B、C、D、E、F、G的坐标。
(2)小影想把房子向下平移3个单位长度,你能帮他办到吗?
请作出相应图案,并写出平移后的7个点的坐标.
12、如图所示的直角坐标系中,三角形ABC的顶点坐标分别是A(0,0),B(6,0),C(5,5)。
(1)求三角形ABC的面积;
(2)如果将三角形ABC向上平移1个单位长度,得三角形A1B1C1,再向右平移2个单位长度,得到三角形A2B2C2。
试求出A2、B2、C2的坐标;(3)三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状有什么关系。
13、如图,三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形,分别写出点A与点P,点B与点Q,点C与点R的坐标,并观察它们之间的关系。
如果三角形ABC中任意一点M的坐标为(x,y),那么它的对应点N的坐标是什么?
第十二章测同步试卷
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、根据下列表述,能确定位置的是〔〕
A.红星电影院2排B.合肥市西二环
C.北偏东30°D.东经118°,北纬40°
2、已知点A(4,-3)到x轴的距离为〔〕
A、4 B、-4C、3 D、-3
3、在平面直角坐标系中,将三角形各点的纵坐标都减去3,横坐标保持不变,所得图形与原图形相比〔〕
A、向右平移了3个单位B、向左平移了3个单位
C、向上平移了3个单位D、向下平移了3个单位
4、若x轴上的点P到y轴的距离为3,则点P的坐标为〔〕
A.(3,0)B.(3,0)或(–3,0)
C.(0,3)D.(0,3)或(0,–3)
5、若点A(m,n)在第三象限,则点B(|m|,n)所在的象限是〔〕
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6、明明从家里出发,先向东走350米到冬冬家,然后他们又向南走500米到老师家,如果以老师家的位置为坐标原点,向东为轴的正方向,向北为轴的正方向,建立直角坐标系,那么明明家的位置可记为〔〕
A.(350,500)B.(-350,-500)
C.(350,-500)D.(-350,500)
7、如图,四边形ABCD是平行四边形,下列说法正确的是〔〕
A、A与D的横坐标相同B、C与D的横坐标相同
C、B与C的纵坐标相同D、B与D的纵坐标相同
7题10题
8、三角形A’B’C’是由三角形ABC平移得到的,点A(-1,-4)的对应点为A’(1,-1),则点B(1,1)的对应点B’、点C(-1,4)的对应点C’的坐标分别为〔〕
A、(2,2)(3,4)B、(3,4)(1,7)
C、(-2,2)(1,7)D、(3,4)(2,-2)
9、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为(–1,–1)、(–1,2)、(3,–1),则第四个顶点的坐标为〔〕
A.(2,2)B.(3,2)C.(3,3)D.(2,3)
10、如图,把长方形四个顶点O、A、B、C的横坐标都乘以2,纵坐标不变,则所得图形与原图形相比,下列说法正确的是〔〕
A、被横向拉长2倍B、形状不变,面积为原来的4倍
C、被纵向拉长2倍D、形状改变,面积为原来的2倍
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、小刚位于某住宅楼12层B座,可记为B12,按这种方法小红家住8层A座应记为.
12、小华将直角坐标系中的猫的图案向右平移了3个单位长度,平移前猫眼的坐标为(–4,3)、(–2,3),则移动后猫眼的坐标为。
13、点P在第三象限,横坐标是纵坐标的2倍,写出一个满足条件的P点的坐标.
14、如图,小强告诉小华图中A、B两点的坐标分别为(–3,5)、(3,5),小华一下就说出了C在同一坐标系下的坐标.
第14题图第16题图
15、A(-3,-2)、B(2,-2)、C(-2,1)、D(3,1)是坐标平面内的四个点,则线段AB与CD的关系是_________________
16、已知矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图,点B的坐标为(3,-2),则矩形OABC的面积是.
17、已知AB在y轴上,A点的坐标为(0,3),并且AB=5,则B的坐标为.
18、已知矩形ABCD的顶点B在坐标原点,BC在x轴的正方向,AB在y轴的正方向,D点的坐标是(5,3),将矩形ABCD沿x轴向左平移到使点C与坐标原点重合后,再沿y轴向下平移到使点D与坐标原点重合,此时点B的坐标是________.
三、解答下列各题(共66分)
19、这是一个动物园游览示意图,试设计描述这个动物园图中每个景点位置的一个方法.(10分)
第19题图第20题图
20、图中标明了李明同学家附近的一些地方。
(1)根据图中所建立的平面直角坐标系,写出学校,邮局的坐标;
(2)某星期日早晨,李明同学从家里出发,沿着(-2,-1)、(-1,-2)、(1,-2)、(2,-1)、(1,-1)、(1,3)、(-1,0)、(0,-1)的路线转了一下,写出他路上经过的地方;(3)连接他在
(2)中经过的地点,你能得到什么图形?
(12分)
21、已知,如图在平面直角坐标系中,S△ABC=24,OA=OB,BC=12,求△ABC三个顶点的坐标.(10分)
22如图,△ABC在直角坐标系中,
(1)请写出△ABC各点的坐标.
(2)求出S△ABC.(3)若把△ABC向上平移2个单位,再向右平移2个单位得△A′B′C′,在图中画出△ABC变化位置,并写出A′、B′、C′的坐标.(10分)
23、如图,四边形ABCD各个顶点的坐标分别为(-2,8),(-11,6),(-14,0),(0,0),
(1)求这个四边形的面积;
(2)如果D点的坐标不变,把原来A、B、C点的横、纵坐标都减少2,所得的四边形面积与原四边形的面积有什么关系?
(12分)
24、如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3。
(1)观察每次变换前后的三角形的变化规律,若将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是____,B4的坐标是____。
(2)若按第
(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推测An的坐标是___,Bn的坐标是___。
(12分)
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