电磁场与电磁波课后习地的题目及答案详解.docx

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电磁场与电磁波课后习地的题目及答案详解

电磁场与电磁波课后习题解答

Cex5ez2

求：

（

1）aA；

（2）AB；（3）AB；（4）AB；（5）A在B上的分量；（6）AC；（7）A（BC）和（AB）C；（8）（AB）C和A（BC）。

1.1给定三个矢量A、B和C如下：

Aexey2ez3

Bey4ez

解

（1）aAA1222（3）2

2）

3）

4）

5）

6）

7）

所以

8）

123

exeyez

141414

ez453

ABAB（exey2ez3）（ey4ez）－11

AB1111111

，得ABcos1（11）135.5

（exey2ez3）（ey4ez）exey6

由cosAB

AB1417238

A在B上的分量

ABAcosAB

AB11

B17

AC

ey

2

0

ez

3

2

ex4ey13ez10

由于BC

AB

A（BC）（AB）C

（AB）C

A（BC）

ex

0

5

ex

1

0

ey

4

0

ey

2

ez

1

2

ez

3

1

ex8ey5ez20

ex10ey1ez4

（exey2ez3）（ex8ey5ez20）42

（ex10ey1ez4）（ex5ez2）42

exeyez

1014

5

ex2ey40ez5

02

ex

1

8

ey

2

ez

3ex55ey44ez11

20

1.2三角形的三个顶点为P1（0,1,2）、P2（4,1,3）和P3（6,2,5）。

（1）判断P1P2P3是否为一直角三角形；

（2）求三角形的面积。

解

1）三个顶点P1（0,1,2）、P2（4,1,3）和P3（6,2,5）的位置矢量分别为r1eyez2，r2ex4eyez3，r3ex6ey2ez5R12r2r1ex4ez，R23r3r2ex2eyez8，

R31r1r3ex6eyez7

由此可见

R12R23（ex4ez）（ex2eyez8）0故P1P2P3为一直角三角形。

2）三角形的面积S1R12R231R12R231176917.13

222求P（3,1,4）点到P（2,2,3）点的距离矢量R及R的方向。

rPex3eyez4，rPex2ey2ez3，

RPPrPrPex5ey3ezz轴的夹角分别为cos1（exRPP）cos1

RPPeyRPP1

yPP）cos1RPP

1ezRPP1cos（）cos（RPP

1.4给定两矢量Aex2ey3ez4和Bex4ey5ez6，求它们之间的夹角和A在上的分量。

1.3

解

RPP与

x、y、

1y

cos（

解A与B之间的夹角为

在B上的分量为

1.5给定两矢量上的分量。

解AB

ex

2

32.31

120.47

99.73

ABcos（AB）cos（2977）131

BB773.532

Aex2ey3ez4和Bex6ey4ez，求AB在Cexeyez

AB

ey

3

ez

4

AB

ex13ey22ez10

所以AB在C上的分量为

（AB）C

（AB）C2514.43

3

1.6证明：

如果ABAC和ABAC，则BC；解由ABAC，则有A（AB）A（AC），即（AB）A（AA）B（AC）A（AA）C由于ABAC，于是得到（AA）B（AA）C故

1.7如果给定设A为一已知矢量，

解

故得

1.8

BC未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。

pAX而PAX，p和P已知，试求X。

由PAX，有

APA（AX）（AX）A（AA）X

pAAP

XAA在圆柱坐标中，一点的位置由（4,2,3）定出，

3

pA（AA）X

求该点在：

（1）直角坐标中的坐标；

（2）球坐标中的坐标。

解

（1）在直角坐标系中x4cos（23）2、

故该点的直角坐标为（2,23,3）。

（2）在球坐标系中r42325、tan1（43）53.1、23120

故该点的球坐标为（5,53.1,120）

y4sin（23）23、z3

1.9

用球坐标表示的场

1）

求在直角坐标中点

求在直角坐标中点

（2）

解

（1）在直角坐标中点

25，

Eer2，

r

（3,4,5）处的E和Ex；

（3,4,5）处E与矢量Bex2ey2ez构成的夹角。

（3,4,5）处，r2（3）242（5）250，故25r2

ey

2222

r2（3）242（5）2501

2

Ex

2）在直角坐标中点

1332

rx25220

（3,4,5）处，rex3ey4ez5，所以

2525rex3ey4ez5

exEEcos

故E与B构成的夹角为

1.10球坐标中两个点

间夹角的余弦为

102cos1（EB）cos1（

EB119（31022））153.6

（r1,1,1）和（r2,2,2）定出两个位置矢量R1和R2。

证明R1和R2

EB

解由

coscos1cos2sin1sin2cos（12）

R1exr1sin1cos1eyr1sin1sin1ezr1cos1

R2exr2sin2cos2eyr2sin2sin2ezr2cos2得到cosR1R2

得到cosR1R2

sin1cos1sin2cos2sin1sin1sin2sin2cos1cos2sin1sin2（cos1cos21sin1sin2）cos1cos2sin1sin2cos（12）cos1cos2

故有Ad1AdS

1.14计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求r对球体积的积

分。

2

解rdSrerdSdaa2sind4a3

SS00

又在球坐标系中，r12（r2r）3，所以

r2r2ard3r2sindrdd4a3

000

1.15求矢量Aexxeyx2ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。

再求A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

222

Adlxdxxdx22dy0dy8

可得到

2

[r2f（r）]0

rdr

可得到

f（r）rC2

r

1.19给定矢量函数Eexyeyx，试求从点P1（2,1,1）到点P2（8,2,1的）线积分

Edl：

（1）沿抛物线xy2；

（2）沿连接该两点的直线。

这个E是保守场吗？

解

（1）EdlExdxEydyydxxdy

CCC

22

yd（2y2）2y2dy6y2dy14

11

（2）连接点P1（2,1,1）到点P2（8,2,1）直线方程为

x2x8

y1y222

EdlExdxEydyyd（6y4）（6y4）dy（12y4）dy14

CC11由此可见积分与路径无关，故是保守场。

1.20求标量函数x2yz的梯度及在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量

345

ex3ey4ez5定出；求（2,3,1）点的方向导数值。

505050

222

ex（x2yz）ey（x2yz）ez（x2yz）

xyz

22

ex2xyzeyxzezxy

题1.21图

r

z

故沿方向elex3ey4ez5的方向导数为

lx50y50z50

el6xyz4x2z5x2y

ll505050

点（2,3,1）处沿el的方向导数值为

361660112

l50505050

1.21试采用与推导直角坐标中AAxAyAz相似的方法推导圆柱坐标下的公式xyz

解在圆柱坐标中，的通量为zz

1AAz。

A1（rAr）Az。

rrrz

取小体积元如题1.21图所示。

矢量场A沿er方向穿出该六面体的表面

zz

Arrr（rr）drdArrrdrd

zz

[（rr）Ar（rr,,z）rAr（r,,z）]z

（rAr）rz1（rAr）

rrr

同理

rrzzrrzz

dz

rz

AdrdzAdrrz

[A（r,,z）A（r,,z）]rzArzA

rrrrr

z

r

AA[Az（r,,zz）Az（r,,z）]rrzzrrzzzz

因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为

ΨΨrΨΨz[1r（rArr）rAAzz]

rrrz

故得到圆柱坐标下的散度表达式Alim1（rAr）AAz

0rrrz

222

1.22方程uxyz给出一椭球族。

求椭球表面上任意点的单位法向矢量。

222

abc

Aersincosecoscosesin

Berz2sinez2cosez2rzsin

22

Cex（3y22x）eyx2ez2z

（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？

哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？

（2）求出这些矢量的源分布。

解

（1）在球坐标系中

1211

2（r2sincos）（sincoscos）（sin）

r2rrsinrsin

r

rsin

r

rsin

er

re

rsine

1

A2

Ar2sin

r

ArrA

rsinA

er

r

e

rsine

1

r2sin

r

sincosrcoscos

rsinsin

2cos2sincoscos

sincos0

0

故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；在圆柱坐标系中

1rr（rBr）

rr

（rz2sin）（z2cos）（2rzsin）

rrrz

erreez

erreez

1B

1

0

r

rz

r

rz

BrrBBz

z2sinrz2cos2rzsin

故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中

C=CxCyCz

xyz

（fA）fAAf

解在直角坐标中

fAAff（AxxAyyAzz）（AxfxAyfyAzfz）

xyzxyz

yAyfy）（fAzzAzfz）yyzz

（fAxAxf）（fAyAf）

xx

（fAx）（fAy）（fAz）（fA）

xyz

1.25证明

（AH）HAAH

解根据算子的微分运算性质，有

（AH）A（AH）H（AH）

式中A表示只对矢量A作微分运算，H表示只对矢量H作微分运算。

由a（bc）c（ab），可得

A（AH）H（AA）H（A）

同理H（AH）A（HH）A（H）故有（AH）HAAH

1.26利用直角坐标，证明

精彩文案

所以

解在直角坐标中

（fG）fGfG

fGf[ex（GzGy）ey（G

yzzff

xGzGyG

）ez（xxfffG[ex（GzGy）ey（GxGz）ez（GyGx）]

xy

f

zx

x）]

yff

f

fGfGex[（Gz

xzyf

ffzxfey[（Gxfx）（Gzf

zx

f

z

fez[（Gyf

xe[（fGz）ex[y

（fGy）ez[

x

Gz

fz）（Gy

y

Gx

z

G

y

x

（fGy）

Gy

y）]zGzGz）]xGx

）（Gxfx）]

yyz]ey[（fGzx）（fGxz）]zzx

（fGx）]（fG）

y

1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明（u）0及（A）0，试证明之。

解

（1）对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理有

（u）dSudludlSl由于曲面S是任意的，故有

（u）0

（2）对于任意闭合曲面S为边界的体积，由散度定理有

（A）d（A）dS（A）dS（A）dS

SS1S2

其中S1和S2如题1.27图所示。

由斯托克斯定理，有

（A）dSAdl，（A）dSAdl

S1C1S2

由题1.27图可知C1和C2是方向相反的同一回路，则有

C1

C2

C1

AdlAdl

所以得到（A）dAdlAdl

C1C2C2

由于体积是任意的，故有（A）0

AdlAdl0

C2

S1

S2C1

题1.27图