超级全能生届高三联考数学试题 含答案.docx
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超级全能生届高三联考数学试题含答案
“超级全能生”浙江省20XX届高三3月联考数学试题Word版含答案
导读:
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“超级全能王”浙江省高三20XX年3月联考
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
21.在复平面内,复数z=1-i对应的向量为OP,复数z对应的向量为OQ,那么向量PQ
对应的复数为()
A.1-iB.1+iC.-1+iD.-1-i
2.在二项式(2x-)的展开式中,常数项是()
A.-240B.240C.-160D.160
3.若a=logπe,b=2cos7π
31x6,c=log3sin17π,则()6
A.bacB.bcaC.abcD.cab
4.设抛物线的顶点在原点,其焦点在x轴上,又抛物线上的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a=()
A.4B.4或-4C.-2D.-1或2
5.“函数f(x)=a+lnx(x≥e)存在零点”是“a-1”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分不用必要条件
⎧x-2y+2≥0⎪6.若实数x,y满足不等式组⎨x+2y+2≥0,则2|x+1|+y的最大值是()
⎪2x-y-1≤0⎩
1419B.C.4D.133
7.已知函数f(x)=|MP-xMN|(x∈R),其中MN是半径为4的圆O的一条弦,P为单A.
位圆O上的点,设函数f(x)的最小值为t,当点P在单位圆上运动时,t的最大值为3,则线段MN的长度为()
A
.
.
x2y2
8.过双曲线2-2=1(a0,b0)上任意一点P,作与y轴平行的直线,交两渐近线于ab
a2
A,B两点,若PAPB=-,则该双曲线的离心率为()4
A
B
9.矩形ABCD
中,AB=BC=1,将∆ABC与∆ADC沿AC所在的直线进行随意翻折,在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围(包含初始状态)为()
A.[0,πππ2π]B.[0,]C.[0,]D.[0,]6323
210.已知在(-∞,1]上递减的函数f(x)=x-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有
|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围为()
A.
[B
.C.[2,3]D.[1,2]
二、填空题(本大题共7小题,11-14题每题6分,15-17题每题4分,共36分,将答案填在答题纸上)
11.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a1,S2,5成等差数列,则数列{an}的公比q=.
12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为;体积为
.
13.在平面直角坐标系中,A(a,0),D(0,b),a≠0,C(0,-2),∠CAB=90,D是AB
的中点,当A在x轴上移动时,a与b满足的关系式为;点B的轨迹E的方程为.
14.已知集合P={a,b,c,d}(a,b,c,d∈{1,2,3,4,5,6,7,8}),则满足条件a+b+c+d=8的事件的概率为;集合P的元素中含奇数个数的期望为.
15.
已知sin(3π-θ)=ππ+θ)(θ∈R),则cos(θ-)=.322
16.已知1=x2+4y2-2xy(x0,y0),则x+2y的取值范围为.
17.若两个函数y=f(x),y=g(x)在给定相同的定义域上恒有f(x)g(x)≥0,则称这两
*个函数是“和谐函数”,已知f(x)=ax-20,g(x)=lg()(a∈R)在x∈N上是“和谐x
a
函数”,则a的取值范围是.
三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
18.已知f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω0,|ϕ|π满足f(x+)=-f(x),若其图像向左平移22π
π个单位后得到的函数为奇函数.6
(1)求f(x)的解析式;
(2)在锐角∆ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2c-a)cosB=bcosA,求f(A)的取值范围.
19.如图,在梯形ABCD中,AB//CD,AD=CD=CB=a,∠ABC=60,平面ACFE⊥平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AE=a,点M在线段EF上,且MF=2EM.
(1)求证:
AM//平面BDF;
(2)求直线AM与平面BEF所成角的余弦值.
20.设函数f(x)=1312x+ax+(a+3)x+3,其中a∈R,函数f(x)有两个极值点32
x1,x2,且0≤x11.
(1)求实数a的取值范围;
(2)设函数ϕ(x)=f‘(x)-a(x-x1),当x1xx2时,求证:
|ϕ(x)|9.
x2
+y2=1的右焦点F作直线交椭圆于A,C两点.
21.如图,过椭圆M:
2
(1)当A,C变化时,在x轴上求点Q,使得∠AQF=∠CQF;
(2)当直线QA交椭圆M的另一交点为B,连接BF并延长交椭圆于点D,当四边形ABCD的面积取得最大值时,求直线AC的方程.
22.已知每一项都是正数的数列{an}满足a1=1,an+1=
(1)用数学归纳法证明:
a2n+1a2n-1;
(2)证明:
an+1(n∈N*).12an1≤an≤1;6
(3)记Sn为数列{|an+1-an|}的前n项和,证明:
Sn6(n∈N*).
试卷答案
一、选择题
1-5:
DCADB6-10:
BADCB
二、填空题
11.22-
112.16+
2
y=x(x≠0)n20213.a=2b3
14.0215.±(+1
316.[-2,-1)17.[4,5]6
三、解答题
18.
(1)∵f(x+π
2)=-f(x),∴f(x+π)=-f(x+π
2)=f(x),
π个单位后得到的函数为6
πππg(x)=sin(2x++ϕ),而g(x)为奇函数,则有+ϕ=kπ,k∈Z,而|ϕ|,332ππ则有ϕ=-,从而f(x)=sin(2x-).33∴T=π,∴ω=2,则f(x)的图象向左平移
(2)(2c-a)cosB=bcosA,
由正弦定理得:
2sinCcosB=sin(A+B)=sinC,∵C∈(0,π
2
1π∴cosB=,∴B=23),∴sinC≠0,2ππ-A,32
πππ2π∴A,∴02A-,6233∵∆ABC是锐角三角形,C=
∴sin(2A-π
3)∈(0,1],∴f(A)=sin(2A-π
3)∈(0,1].
19.
(1)证明:
在梯形ABCD中,
∵AB//CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60,
∴四边形ABCD是等腰梯形,且∠DCA=∠DAC=30,∠DCB=120,
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90,∴AC⊥BC,
又∵AC=BD,∴AB=2a.
设AC与BD交于点N,∠NBC=∠NBA=30,由角平分线定理知:
ABAN==2,连接FN,BCNC
则AN//MF且AN=MF,
∴四边形AMFN是平行四边形,∴AM//NF,
又NF⊂平面BDF,∴AM//平面BDF.
(2)由题知:
AC//EF,∴点A到平面BEF的距离等于点C到平面BEF的距离,过点C作BF的垂线交BF于点H,
∵AC⊥CF,AC⊥BC,BCCF=C,
∴AC⊥平面BCF,即EF⊥平面BCF,∴CH⊥EF,
又∵CH⊥BF,EFBF=F,∴CH⊥平面BEF.
在Rt∆
BCF中,CH=,=a,3
CH,=AM4
在∆
AEM中,AM=∴直线AM与平面BEF
所成角的正弦值为即直线AM与平面BEF
20.
(1)f(x)=x+ax+a+3,‘2
‘2由题可知:
x1,x2为f(x)的两个根,且∆=a-4(a+3)0,得a6或a-2.
⎧x1+x2=-a,
(1)而⎨xx=a+3,
(2)⎩12
由
(1)
(2)得:
-a=x1+3-x1,设u=x1+1∈[1,2),x1+1
有-a=x1+
而y=u+43-x13-(u-1)=u+-2=u-1+ux1+1u4-2在[1,2)上为减函数,u
4则2u+-2≤3,即2-a≤3,即-3≤a-2,u
综上,-3≤a-2.
(2)证明:
由0≤x11,x1xx2,知,ϕ(x)=f‘(x)-a(x-x1)
=(x-x1)(x-x2)-a(x-x1)
=(x-x1)(x-x2-a)
=(x-x1)(x-x2+x1+x2)
=x2-x120
2|ϕ(x)|=ϕ(x)=x2-x12x2-x12
=(x2+x1)(x2-
x1)
=(x2+x1
=-
由
(1)可知-3≤a-2,所以0a-4a-12≤9,所以|ϕ(x)|9.
21.
(1)设A(x1,y1),C(x2,y2),Q(q,0),
当A,C不在x轴上时,设直线AC的方程为x=ty+1,代入椭圆M的方程可得:
(2+t)y+2ty-1=0.则y1+y2=-2222t1yy=-,,122+t22+t2
由题知,kAQ+kOQ=y1y+2x1-qx2-q
=y1(x2-q)+y2(x1-q)(x1-q)(x2-q)
y1(ty2+1-q)+y2(ty1+1-q)(x1-q)(x2-q)
2ty1y2+(1-q)(y1+y2)=0(x1-q)(x2-q)==
即2ty1y2+(1-q)(y1+y2)=0⇒-2t-2t(1-q)=0,
由题知无论t取何值,上式恒成立,则q=2,
当A,C在x轴上时定点Q(2,0)依然可使∠AQF=∠CQF成立,所以点Q的坐标是(2,0).
(2)由
(1)知,∠AQF=∠CQF,∠BQF=∠DQF,
所以B,C关于x轴对称,A,D关于x轴对称.
所以四边形ABCD是一个等腰梯形,
(t2+1)|t|则四边形ABCD的面积S=|x1-x2||y1-y2|=|t||y1-y2|=822(t+2)2
由对称性不妨设t0,(t4-3t2-2)求导可得:
S=-8,(t2+2)3’
2令S=
0,可得t=‘3+2
由于S(t
)在
上单调递增,在+∞)上单调递减,
所以当t=2ABCD的面积S取得最大值.此时,直线AC
的方程是x=+1.an+10(n∈N*)12an22.证明:
(1)由题知,a1=10,an+1=
①当n=1时,a1=1,a2=a1+11=,12a16a3=a2+17=,a3a1成立;12a212
②假设n=k时,结论成立,即a2k+1a2k-1,a2n-1+1+1a2n+112a2n-113a2n-1+1==因为a2n+1=a+112a2n122n-112(a2n-1+1)
12a2n-1
所以a2k+3-a2k+1=13a2n+1+113a2n-1+1a2k+1-a2k-1-=012(a2n+1+1)12(a2n-1+1)(a2k+1+1)(a2k-1+1)即n=k+1时也成立,
由①②可知对于n∈N,都有a2n+1a2n-1成立.
(2)由
(1)知,a2n+1a2n-1,
所以1=a1a2n-1a2n+1,
同理由数学归纳法可证a2na2n+2,*a2na2n-2a2=
猜测:
a2n1.61a2n-1,下证这个结论.3
1-(an-)1,因为an+1-=34an
11与an-异号.33
111注意到a1-0,知a2n-1-0,a2n-0,333
1即a2na2n-1.3
1所以有a1a2n-1a2n+1a2na2n-2a2,3
1从而可知≤an≤1.6所以an+1-(3)
|an+2-an+1|=|an+1+1an+1|an+1-an||an+1-an||an+1-an|6=|an+1-an|-|==≤712an+112an12anan+1an+1a2+1
66656|an-an-1|≤()2|an-1-an-2|≤≤()n-1|a2-a1|=()n-177767所以|an+1-an|≤
所以Sn=|a2-a1|+|a3-a2|+|a4-a3|++|an+1-an|5666≤[1++()2++()n-1]6777
61-()n53536=6=⨯61-666
7
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