第3章 第4节 函数fxAsinωx+φ的图像及应用.docx
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第3章第4节函数fxAsinωx+φ的图像及应用
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级 基础夯实练
1.若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的对称轴为( )
A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)
C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)
解析:
选B.将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度,得到函数y=2sin2=2sin的图像.由2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即平移后图像的对称轴为x=+(k∈Z).
2.(2018·石家庄二检)若ω>0,函数y=cos的图像向右平移个单位长度后与函数y=sinωx的图像重合,则ω的最小值为( )
A.B.
C.D.
解析:
选B.函数y=cos的图像向右平移个单位长度后,所得函数图像对应的解析式为y=cos=cos,其图像与函数y=sinωx=cos,k∈Z的图像重合,
∴-+2kπ=-+,k∈Z,∴ω=-6k+,k∈Z,又ω>0,∴ω的最小值为,故选B.
3.(2018·昆明调研)已知函数f(x)=sinωx的图像关于点对称,且f(x)在上为增函数,则ω=( )
A.B.3
C.D.6
解析:
选A.因为函数f(x)=sinωx的图像关于对称,所以π=kπ(k∈Z),即ω=k(k∈Z) ①,又函数f(x)=sinωx在区间上是增函数,所以≤且ω>0,所以0<ω≤2 ②,由①②得ω=,故选A.
4.(2018·衡水模拟)将函数y=f(x)=2sin的图像向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,则下面对函数y=g(x)的叙述正确的是( )
A.函数g(x)=2sin
B.函数g(x)的周期为π
C.函数g(x)的一个对称中心为点
D.函数g(x)在区间上单调递增
解析:
选C.将函数f(x)=2sin的图像向左平移个单位,可得函数y=2sin=2sin的图像;再把所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)=2sin的图像,
故g(x)的周期为=,排除A,B.
令x=-,求得g(x)=0,可得g(x)的一个对称中心为,故C满足条件.
在区间上,4x+∈,函数g(x)没有单调性,故排除D.
5.(2018·广东珠海质检)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像如图所示,为了得到g(x)=cos2x的图像,则只需将f(x)的图像( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
解析:
选D.根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,|φ|<的图像,可得A=1,×=-,
∴ω=2.
因此f(x)=sin(2x+φ).
由题图,知f=sin=-1,
∴+φ=2kπ-(k∈Z).
又|φ|<,∴φ=.
∴f(x)=sin.
∵f(x)=sin=cos
=cos=cos=cos,
故把f(x)=sin的图像向左平移个单位,可得g(x)=cos2x的图像.
6.(2018·太原模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像与直线y=b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递增区间是
( )
A.[6kπ,6kπ+3],k∈Z
B.[6k-3,6k],k∈Z
C.[6k,6k+3],k∈Z
D.[6kπ-3,6kπ],k∈Z
解析:
选C.因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像与直线y=b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,
所以T=6=,所以ω=,且当x=3时函数取得最大值,所以×3+φ=,所以φ=-,
所以f(x)=Asin,
所以-+2kπ≤πx-≤+2kπ,k∈Z,
所以6k≤x≤6k+3,k∈Z.
7.(2018·唐山模拟)已知角φ的终边经过点P(-4,3),函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于,则f的值为________.
解析:
由角φ的终边经过点P(-4,3),可得cosφ=-.
根据函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于,
可得周期为=2×,解得ω=2,
∴f(x)=sin(2x+φ),
∴f=sin=cosφ=-.
答案:
-
8.(2018·南昌模拟)电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)A>0,ω>0,0<φ<的图像如右图所示,则当t=秒时,电流强度是______安.
解析:
由函数图像知A=10,=-=,
∴ω==100π.∴I=10sin(100πt+φ),
∵图像过点,
∴10sin=10,
∴sin=1,+φ=2kπ+,k∈Z,
∴φ=2kπ+,k∈Z,又∵0<φ<,∴φ=.
∴I=10sin,
当t=秒时,I=-5(安).
答案:
-5
9.(2018·河北邯郸调研)已知函数f(x)=2cos2ωx-1+2cosωxsinωx(0<ω<1),直线x=是f(x)图像的一条对称轴.
(1)试求ω的值;
(2)已知函数y=g(x)的图像是由y=f(x)图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后再向左平移个单位长度得到的,若g=,α∈,求sinα的值.
解:
f(x)=2cos2ωx-1+2cosωxsinωx=cos2ωx+sin2ωx=2sin.
(1)由于直线x=是函数f(x)=2sin图像的一条对称轴,∴sin=±1.
∴ω+=kπ+(k∈Z),
∴ω=k+(k∈Z).
又0<ω<1,∴-<k<.
又∵k∈Z,从而k=0,∴ω=.
(2)由
(1)知f(x)=2sin,由题意可得
g(x)=2sin,即g(x)=2cosx.
∵g=2cos=,
∴cos=.
又α∈,
∴<α+<,
∴sin=,
∴sinα=sin=sincos-cossin=×-×=.
10.已知函数f(x)=sinωx-sin(ω>0).
(1)若f(x)在[0,π]上的值域为,求ω的取值范围;
(2)若f(x)在上单调,且f(0)+f=0,求ω的值.
解:
f(x)=sinωx-sin=sinωx-sinωx-cosωx=sinωx-cosωx=sin.
(1)由x∈[0,π]⇒ωx-∈,又f(x)在[0,π]上的值域为,即最小值为-,最大值为1,则由正弦函数的图像可知≤ωπ-≤,解得≤ω≤.∴ω的取值范围是.
(2)因为f(x)在上单调,所以≥-0,则≥,即ω≤3,又ω>0,所以0<ω≤3,由f(0)+f=0且f(x)在上单调,得是f(x)图像的对称中心,∴-=kπ,k∈Z⇒ω=6k+2,k∈Z,又0<ω≤3,所以ω=2.
B级 能力提升练
11.(2018·杭州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<),f(x1)=1,f(x2)=0,若|x1-x2|min=,且f=,则f(x)的单调递增区间为( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
解析:
选B.设f(x)的最小正周期为T,由f(x1)=1,f(x2)=0,|x1-x2|min=,得=⇒T=2,即ω==π.由f=,得sin=,即cosφ=,又0<φ<,所以φ=,f(x)=sin.由-+2kπ≤πx+≤+2kπ,得-+2k≤x≤+2k,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.故选B.
12.(2018·石家庄质检)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的部分图像如图所示,将函数f(x)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后,得到函数g(x)的图像关于点对称,则m的值可能为( )
A.B.
C.D.
解析:
选D.依题意得解得
==-=,
故ω=2,则f(x)=sin(2x+φ)+.
又f=sin+=,
故+φ=+2kπ(k∈Z),即φ=+2kπ(k∈Z).
因为|φ|<,故φ=,
所以f(x)=sin+.
将函数f(x)的图像向左平移m个单位长度后得到g(x)=sin+的图像,又函数g(x)的图像关于点对称,即h(x)=sin的图像关于点对称,故sin=0,即+2m=kπ(k∈Z),故m=-(k∈Z).令k=2,则m=.
13.(2018·青岛二中月考)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图像如图所示,若x1,x2∈-,,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=________.
解析:
观察题中图像可知,A=1,T=π,
∴ω=2,f(x)=sin(2x+φ).
将代入上式得sin=0,
由已知得φ=,故f(x)=sin.
函数图像的对称轴为x==.
又x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),
∴f(x1+x2)=f=f
=sin=.
答案:
14.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图像时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)
0
5
-5
0
(1)请将表中数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图像.若y=g(x)图像的一个对称中心为,求θ的最小值.
解:
(1)根据表中已知数据,得A=5,ω=2,φ=-.数据补全如下表:
ωx+φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx+φ)
0
5
0
-5
0
且函数解析式为f(x)=5sin.
(2)由
(1)知f(x)=5sin,
得g(x)=5sin.
因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.
令2x+2θ-=kπ,k∈Z,解得x=+-θ,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图像关于点成中心对称,
令+-θ=,k∈Z,
解得θ=-,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.
15.已知函数f(x)=2cosπx·cos2+sin[(x+1)π]·sinφ-cosπx的部分图像如图所示.
(1)求φ的值及图中x0的值;
(2)将函数f(x)的图像上的各点向左平移个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的倍,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.
解:
(1)f(x)=2cosπx·cos2+sin[(x+1)π]·sinφ-cosπx=cosπx·-sinπx·sinφ
=cosπx·cosφ-sinπx·sinφ=cos(πx+φ).
由题图可知,cosφ=,又0<φ<,所以φ=.
又cos=,所以πx0+=,
所以x0=.
(2)由
(1)可知f(x)=cos,将图像上的各点向左平移个单位长度得到y=cos
=cos的图像,然后将各点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的倍后得到g(x)=cos的图像.
因为x∈,所以-≤πx+≤.
所以当πx+=0,即x=-时,g(x)取得最大值;
当πx+=,即x=时,g(x)取得最小值-.
C级 素养加强练
16.(2018·广东中山质检)已知函数f(x)=msinx+ncosx,且f是它的最大值(其中m,n为常数,且mn≠0).给出下列命题:
①f为偶函数;
②函数f(x)的图像关于点对称;
③f是函数f(x)的最小值;
④函数f(x)的图像在y轴右侧与直线y=的交点按横坐标从小到大依次记为P1,P2,P3,P4,…,则|P2P4|=π.其中正确命题的个数是________个.
解析:
由于函数f(x)=msinx+ncosx=sin(x+φ),且f是它的最大值,
∴+φ=2kπ+,
∴φ=2kπ+,k∈Z.
∴f(x)=sin
=sin.
对于①,由于f=·sinx++
=cosx是偶函数,故①正确;
对于②,由于当x=时,f(x)=0,故函数f(x)的图像关于点对称,故②正确;
对于③,由于f=·sin=-是函数f(x)的最小值,故③正确;
对于④,由正弦函数的图像可知,|P2P4|等于最小正周期2π.故④不正确.
答案:
3
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