小学数学 3.docx

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小学数学3

小学数学新课程理念下的“概率与统计”的

教学研讨

（二）

“统计与概率”你觉得最重要的核心词是什么？

实际上，我们认为统计与概率中最核心有两个词：

统计观念（又叫做数据分析观念）、随机观念。

那么为什么把这两个词作为核心词呢？

首先我们从什么是统计，统计中最核心的目标来谈起。

一、统计

（一）统计的内涵

1.统计的定义

这里引用不列颠百科全书对统计学的一个定义：

统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术。

（1）数据

数据跟数的非常重要的区别是它有背景，所以这也可以理解为什么把“统计与概率”从过去数的一个单元单独拿出来，成为一个独立的学习领域。

人们往往从一堆有实际背景的数中获取信息。

（2）收集和分析数据

收集数据和分析数据是非常重要的。

（3）科学和艺术

统计既是一门科学，有自己的一些数学方法；但是它又是一个艺术，也就是说要根据实际的背景，选择不同的方法。

2.统计观念（数据分析观念）

这里想到了张思明老师的描述：

数据中是有信息的、信息是可以提取的、信息是为人们服务的。

他的话实际上对我们理解什么是数据分析观念，提供了一个方面思考。

《标准》中提出，统计观念主要表现在以下的这么几个方面：

认识到统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；通过收集数据、描述数据、分析数据的过程，作出合理的决策；能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑。

从上面可以看到，在小学阶段对学生来说统计观念（数据分析的观念）是非常重要的，所以把它作为统计教学的一个核心词。

具体来说，统计观念（数据分析）的观念包括以下几个方面：

（1）数据的意识。

能想到用数据来处理问题。

实际上用数据来进行推断是一种重要的思维方式。

（2）体会数据中是蕴含着信息的。

所以我们要经历收集数据、描述数据、分析数据的过程，即数据处理的过程，把信息提取出来。

（3）根据背景来选择合适的方法。

就是刚才所说的艺术，它跟我们原来学到的有些数学不大一样，比如数的运算的结果就是对和错，而数据往往没有一个严格意义上对和错，不是说这堆数据中一定要用平均数刻画就对了。

（二）《标准》和实验教材中对于统计部分的要求

在《标准》中把统计学习，定位在重要的是让学生经历统计的过程。

统计的过程就是：

提出问题，有了问题以后要收集数据，有了数据以后要去整理、描述数据，描述完了要去分析数据，最后做出决策这样的一个过程。

现在的实验教材在这一点上做的都是非常好的，总是使学生通过一个实际问题，来经历这样一个过程。

看了几套实验教材，都是从一年级就开始渗透统计的思想、统计的过程，也说明了大家都非常重视统计的教学。

1.在提出问题这一环节，在小学阶段，大部分的教材或者都采取由老师或者由教材来提出问题，比如说“咱们班要举行联欢会了，买什么水果”。

学生通过讨论发现，我要统计，那么统计什么呢？

一般教材就会引导学生统计，你们班同学最喜欢吃的水果是什么。

随着年龄的增加，到了高年级，老师们可以让学生自己去思考，要解决什么样的问题、要收集什么样的数据。

2.在收集数据中，几套教材都是从这么几个角度来做的。

一个就是调查，一个就是做实验，一个就是查找资料。

那么查找资料既包括自己去查找资料，也包括去询问他人。

《标准》也提出，对这几个方法在小学阶段都要有所体验。

3.整理并描述数据主要是两部分。

一部分是分类，对于分类一般教材都是在一年级就开始引入。

很多老师就提出这样的问题：

分类好像是整理书包、整理房间，跟统计有什么关系？

实际上分类是我们整理数据的开始。

当我们面对一大堆很杂乱无章的数据的时候，很自然的想法就是分分堆，如喜欢这个的放一堆、喜欢那个的放一堆，实际上就是分类。

另外一部分就是统计图表的学习。

这个部分在教材处理中有所不同，但是有它的共性。

比如说对于统计表的学习，有的教材出现了单式的统计表，有的出现二联（实际上就是复式统计表）。

但是，都是强调鼓励学生能从统计表中获取信息。

对于统计图的学习，《标准》分两段：

1-3年级就是第一学段，主要是象形统计图、一格代表一个单位的条形统计图。

各个教材在这里设计了很多统计活动鼓励学生学习。

到了第二学段，就要学习折线统计图和扇形统计图，进行统计图的比较，另外，还要学习复式折线统计图和复式条形统计图。

对于扇形统计图，《标准》只要求学生会阅读，不要求学生自己去独立制作。

4.对于分析数据，实际在教学中有两部分。

一部分是统计量的学习。

小学阶段只要求学习刻画平均水平的统计量，就是平均数、中位数和众数。

一般教材的处理就是按照《标准》，在第一学段三年级引入了平均数，到了第二学段就是五年级左右引入了中位数和众数，并且要求学生能够解释这组数据的平均数的意义是什么、中位数是什么意思、众数是什么意思。

还有一部分就是分析统计图所带来的信息。

《标准》和教材中并没有明确的说，从哪几个角度来分析。

一般来说，对于象形和条形统计图一般教材都比较关注数据的比较、最多最少。

学了倍数以后就比较倍数，高年级就比较谁是谁的百分之几、谁是谁的几分之几，讨论合计，然后，还会讨论一些通过这些数据你能获得什么。

到了中年级，学了一格代表多个单位的时候，还要鼓励学生去观察纵轴上一格代表的到底是几个单位。

对于折线统计图，一般对变化趋势进行分析：

什么时候增加、什么时候减少，什么时候增加的快、什么时候减少的慢，通过这个变化可以进行预测。

对于扇形统计图，主要是通过部分占总体的百分比来分析，另外也鼓励学生通过阅读统计图来解决一些问题。

（三）对统计教学的建议

1.一定要把数据意识或者说是统计意识的培养，作为我们小学教学中最重要的一个目标

关键要培养学生能想到用数据来处理问题。

要发展学生的统计意识最主要的方式就是让学生体会到统计是有用的，数据是有信息的，也就是说统计能够帮助人们来做出决策，能够帮助人们来了解一些情况。

怎么来发展学生的统计意识，我们提一些建议：

（1）设计问题使学生体会到我们需要来收集数据，也就是数据是有作用的。

（2）分析数据能帮助我们做什么。

可以在数据都已经分析完了以后，有一个反思的过程，就是这些数据除了能帮助我们解决刚才提到的问题以外，还能够帮助我们解决什么问题？

下面提供了一个案例。

【案例1】老师组织大家调查班级同学的身高情况，把数据调查出来以后，进行了分析。

最后老师问同学：

看到这些身高的数据，它们能帮助我们解决什么问题。

生1：

我可以了解到我们班同学的身高情况。

我可以知道我自己的身高在班内处于什么情况。

生2：

我们班有8岁的有9岁的，我今年8岁，看到9岁同学的身高我可以先预测一下我到9岁时的身高大概多高。

生3：

学校可以根据我们班的身高情况确定我们课桌椅的高度。

我觉得这个案例是挺新颖的，就是数据收集完了以后有一个讨论，我们除了分析谁高谁矮以外，这些数据能帮我们干点什么事？

所以有的学生想到，从自己角度能帮助自己预测身高，还有的同学想到我们的桌椅一年级就低一些，到了高年级就高一些，是不是会跟身高的数据有关系。

（3）老师们可以指导学生积累一些统计应用的例子。

无论是教材中的例子也好，还是在生活中遇到的例子也好，学生积累起来，他能看到原来统计能帮人们干这么多事。

无论是买什么水果也好、看什么动画片也好、还是设计桌椅也好，都可以用统计。

（4）我们必须要认识到统计意识的培养，绝对不能仅仅靠课堂教学。

因为它跟实际生活联系太紧密了，课堂教学中往往很难完全的展示一个统计的过程，所以老师可以适当的开展一些实践活动，将课内外结合起来。

2．在教学中一定要有意识的收集学生感兴趣的问题

就像有的老师在前头所提到的，看起来统计处处有用，但是我们的教学素材很贫乏，所以学生们不感兴趣。

针对这个问题，我们也想提一些建议。

（1）就是要关注媒体。

因为媒体中这么多人，帮助你来收集数据，比如，记者会从方方面面来收集一些大家感兴趣的问题，我们从中可以找一些适合于我们学生的。

（2）现在商场各个地方都会设计一些摸奖的一些游戏，我们可以把它做一些适当的改动，进入到我们的小学教学。

当然教师要引导学生对此有正确认识。

（3）我觉得还有一点是非常重要的，就是适当的做一些调研。

有时候我们成人认为学生感兴趣的，不一定是学生真正感兴趣的，而且，这些学生感兴趣的，不一定是那些学生感兴趣的。

海淀的五一小学曾经做了一次调研，他们调查了各个年级的，下面是一年级的：

案例：

设计了8个统计实际活动的例子：

1）统计爸爸一周开车次数；

2）统计保安敬礼次数；

3）统计每天写作业时；

4）统计作业本小印章数量；

5）统计家里一周扔几个塑料袋；

6）统计放学后户外活动时间；

7）统计一年级同学掉牙情况；

8）统计最爱收看的电视节目。

调查了一年级的五个班和二年级的四个班一共360个学生。

请找出自己最感兴趣的活动。

结果最感兴趣的是收看的电视节目，360人中260人选了，相当大的数量了。

第二个是统计小印章的数量。

第三个是统计爸爸一周开车次数。

这个调查就给我们教学带来了一些思考和启发。

比如说最爱收看的电视节目，那我们就可以在这上面去做一些文章，可以统计到底最爱收看什么样的电视节目，然后还可以适当的问问学生，你为什么喜欢收看这样的电视节目。

当然，老师有时候还可以再做一些引导，鼓励学生多收看一些丰富多彩的电视节目。

当然，这个调查是针对五一小学的，换一个学校也许并不一样。

总之，了解学生总是为我们进行教学提供了一个非常好的依据。

这是对统计教学的第二个建议，就是要真正的了解学生，选择学生感兴趣的素材。

3．鼓励学生讨论如何收集数据

老师们要意识到数据有两部分，一部分是现成的数据，一部分是需要自己调查的数据。

在小学阶段两个内容应该让孩子都有所体验。

有些东西需要我们自己来调查数据，那么常用的收集数据方法有哪些呢？

包括调查，包括做一个实验，包括去阅读资料，还可以去问问他人等等。

学生应该对收集数据的方法都有比较丰富的体验，并且根据问题的需要来选择合适的方式来获取数据。

5．鼓励学生分析数据，从中获取信息

我们从两个部分来讨论，一个是统计量，一个就是关于从统计图表中来分析数据。

（1）统计量

在小学阶段要求的是平均数、中位数和众数三个刻划平均水平的量。

平均数、中位数和众数它们三者各自的特点到底是什么？

其实在前面也已经说过平均数的一个非常好的优点，就是它能够利用所有数据的特征，另外就是比较好算，在数学中所有数跟平均数的方差是最小的，在数学中它确实是一个非常常用的统计量。

但是平均数有一个不太好的地方，正是因为它利用了所有数据的信息，容易受极端数据的影响，那么这个时候，人们就想到了中位数和众数。

它们这两个统计量的特点都是能够避免极端数据，但是中位数也有它的缺点，就是它没有完全的利用数据所反映出来的信息。

众数也是，众数反映的是大多数人喜欢的东西。

如果大多数人选的这个东西，跟别的比有大的差异，那么众数才有意义。

如果一堆数据中，众数的频数跟别的就有很少的差异的话，那么，这个大多数就没有什么太大的意义了。

所以从这个意义上，各个统计量有它各自的特征，我们需要根据实际问题来选择合适的统计量。

老师们可能还需要清楚，除了需要刻划平均水平，还需要来刻划数据的波动情况。

同样都是5，有的可能是1、3、5、7、9，有的可能是4、4.5、5、5.5、6的平均数。

那么同样平均数是5，它们的波动情况是不一样的。

这个时候我们怎么来刻划？

除了要刻划数据的平均水平，还要刻划数据的波动情况，很自然的想法就是最大值减最小值的极差，数学中还有方差，还有标准差，还有其他的，我想老师们回去感兴趣的话，可以去看看方差、标准差的含义是什么。

关于平均数、中位数和众数的教学，给老师们提三个教学建议。

第一，在引入统计量的过程中，要拉长一定的时间。

就像前面王杰老师那个案例似的，如果你仅仅把定位放在求平均数上了，讲可能是非常有效的方法，但是如果你把目标定位在对数据的刻划上，那么这个过程就非常重要了。

在这个过程中学生体会到平均数并不是唯一合理的答案，需要根据不同的背景来选择合适的统计量。

第二，就是体会不同统计量的特点，会解释结果的实际意义。

因为在小学阶段让学生自己去选择统计量是比较难的。

但是，要求学生能够解释一下在这个问题上平均数是什么意思，中位数是什么意思，众数是什么意思。

第三，淡化一些繁杂的计算。

在第二学段鼓励学生用计算器来处理复杂的数据。

第四，使学生体会统计量的实际价值。

以平均数为例，现在老师们都还比较重视引入平均数的过程，但是怎么让学生去体会平均数的价值，我觉得在这个问题中，还有可以创造的空间。

我们还是以王杰的那个教学片断为例，我们看一看，当学生讨论出来了平均数以后，会求了以后，他们是怎么来体会平均数的价值的。

二、概率

（一）什么是概率

概率是研究随机现象的一门学科。

随机现象跟我们其他的现象，或者跟确定性现象有什么不同呢？

第一，就是它的不确定性，也就是在相同的条件下做一件事，可能是这个结果，也可能是那个结果。

举例说，掷一枚硬币，事先谁也无法预料，到底是正面朝上还是反面朝上。

第二，就是要能够重复做实验，或者说近似地认为它可以重复做实验，不是说所有的不确定性都是用概率来解决的。

那么重复做实验以后，人们发现每一次虽然无法确定，但是重复做实验中，它会呈现一种稳定性。

那么，我们就回顾在上一节讨论中，提到的学生中提到的几个问题，现在我们来看，有一些东西我们是容易解决的，比如说有的学生提到的：

我们猜想的是10个硬币中应该出现5正5反，结果却出现了9正1反这样的极端情况，这是为什么？

现在就很好理解了，因为它是不确定的，既可以出现9正1反，甚至也可能会出现0正10反，当然这种可能性就比较小，这正是不确定性的一种体会。

所以老师在教学中就可以往这方面引导：

同样的做10次，为什么我们的结果会不一样。

那么这么不确定，怎么理解正面朝上的概率是1/2呢。

我们可以通过技术来模拟的一个过程，来体会频率稳定在概率的意思。

首先请老师们先把频率和概率这两个概念分清楚。

频率，是正面朝上的次数/实验总次数，它是不确定的，因为你每次做的情况不一样，当然正面朝上的次数可能不一样，再除以总次数，可能是不一样的，频率是可以变化的。

概率是一个确定的值，有老师喜欢说概率也是不确定的，这是一种混淆，我想慢慢学习弄清楚就可以了。

什么叫大量重复实验频率稳定在概率，并不是说我做了一万次以后，统计那时候的正面朝上的次数就正好是五千次，并不是这样。

而是说有这么一个趋势，所以老师们在做概率实验中，有一个小的误区，就是现在也累加，但是就只看最后的结果。

我也很费劲的做了三百次实验，算完了以后把最后三百次中的正面朝上和反面朝上拿出来，结果一个160多，一个130多，好像不是1/2，觉得差得还挺多。

它不是一定就是1/2，而是说这个趋势，老师们看这个图，开始的时候波动可能是比较大的，到后来也有波动大的情况但是非常少了，它逐步就稳定在这样的一种情况，即正面朝上的频率稳定在1/2。

而且并不是实验次数越多就一定是越接近。

有一次听一节课，一个小学生说的非常有道理，他也是遇到出现的频率和概率有所差别的情况，他说要多做实验，如果要多做实验频率数跟我们原来猜想的概率相差得比较大的情况就会非常少。

就是这句话，当大量重复实验时频率和概率相差比较大的可能性，它的极限是等于零的。

这个孩子说的这句话，就是大数定律。

以后老师们感兴趣的可以再学习学习。

所以，对老师们最直接的一个建议就是：

你如果要体现这个过程的话，要把它的趋势体现出来，就不能只是合计最后的次数，而是逐步累计，20、40……，看频率的趋势。

这个过程很复杂了，课堂上没有那么多的时间画，那可能我们就需要用信息技术来帮助我们去解决这个问题了。

还可以借助下面的图体现频率稳定在概率。

首先做了10次实验，4个小组，算出频率为0.5，0.3，0.6，0.8，差距挺大的，画出来以后好像波动挺大的，不是0.5（下面的左图）。

然后，又有一个小组合作以后，又做了100次实验，也是做了四个组，最后发现确实也有绝对数上的偏差，但是频率一个是0.55，一个0.51，一个0.48，一个0.52,这个时候离0.5，好像波动就没有那么大了，就开始有稳定性了。

（二）小学阶段对概率的要求

1．在第一学段，让学生体会确定现象，不确定现象或者必然、可能。

能定性的描述谁发生的可能性大，谁发生的可能性小。

2．在第一学段还有一个要求，就是能把所有可能的结果列出来。

比如我们举这样的一个案例，假设我们四个图片除了图案外是完全一样的，现在有两个船，一个房子，一个车。

我闭着眼睛摸一个，到底有几种可能的结果。

 有的老师说是三种：

摸到船，摸到房子，摸到车。

有的老师说是四种：

摸到房子，摸到车，摸到一号船，摸到二号船。

我觉得都对，可以引导学生，如果这四种，每种发生的可能性是一样的。

如果是三种，三种可能的结果的可能性是不一样的，显然摸到船的可能性会大一些。

那到了古典概型的时候，四种就是基本事件数，由基本事件一号船、二号船，我们可以得到一个复合事件：

摸到船。

3.到了第二学段，主要就是从定性到定量。

就是不但要知道它比它大，还要知道它是六分之四，它是六分之二。

（三）对概率教学的建议

1.不断体会随机现象的特点

如果要讲概率的话，这是最大的一个建议。

靠什么方式来帮助学生体会随机现象的特点呢，是不是一定要靠做实验呢。

还是那句老话，就是教无定法但是教有定规。

很难说就一定要做实验，或者一定不做实验。

但是，你要想做实验是为什么，不做实验是为什么，绝对不是因为要得到一个分数，而是因为要让学生体会随机现象。

所以，无论你是让学生自己举例也好，还是做实验让学生体会也好，还是凭着学生的经验理性去推理也好，都要去体会随机现象的特点。

随机现象的特点说白了还是两个事，一个就是不确定性，一个就是大量重复实验的时候它的稳定性。

老师们可以设计一些活动帮助学生去体会。

比如说这个活动，是一个很有意思的活动，看起来好像跟概率没有关系，其实有关系。

2．对于是否做概率实验的讨论

该不该做概率实验，做概率实验的价值是什么？

必须明确的一点，对这个问题，还有很大的争论，并不是说我们这一次培训就能把所有的问题都解决了，我只是想给大家一些各个方面的理由，让大家自己来做一个判断。

（1）不做，或者是少做概率实验的原因

第一，相信学生不用做他完全能够知道。

第二，有时做了反而就混乱了。

当然还有的数学家认为，概率本质上是数学的东西，是定义出来的东西，他把这个做实验归到统计的范畴。

（2）做实验的价值

我们是比较倾向于做概率实验的。

价值主要有这么几个理由。

   第一，就是实验是现实生活中获得对概率或者估计概率的一个很一般的方法。

就像刚才举的意外死亡率，现实生活中有大量这样的问题，需要靠统计频率来估计概率。

那么，由于学生对现实世界中比较复杂的实际问题难以体会，所有孩子现在做一些摸色子的可以操作的实验。

总有一天他要进入到现实生活中去，他要知道实验是可以帮助我们估计概率的，那他就会想到这样一种手段。

如果你不做实验或者少做实验，他永远用理论分析的方法去解决，一旦遇到这个问题的时候，他发现没有公式，就比较麻烦。

   第二，很多老师也都提到了，就是不那么显然的算的结果，尤其是与经验不符的结果，学生是不能信服的。

我们有一个小的案例，老师们可以回去看一看。

   片段介绍：

讲一个孩子知道两个色子正面朝上的点数之和，7是最大的。

但是，他不相信，回去做了很多很多次实验，结果做了三大组，因为每一组都要做很多很多次，两次得到的是8，一次得7，怎么会是7呢？

他更不相信了。

孩子相信眼见为实。

第三，实验能帮助澄清学生对随机现象的错误认识。

有的孩子会出现很多错误的认识，我觉得这是非常正常的，我们可以靠实验来帮助他澄清。

   所以，现在很多优秀老师都采取一种，你先别忙着做实验，先猜一猜结果，然后我再去做实验，然后我再分析这个实验结果，这样一来不断地帮助学生去澄清一些错误。

这是做概率实验的一些理由。

还是那个想法，你无论是做也好，还是不做也好，都要注意对学生的随机观念的培养。