集合概念.docx
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集合概念
1、集合概念、子集
1、集合的表示法
2、集合中的元素
(1)方程x2-5x+6=0的解集是
(2)方程组x+y=5
{.x-y=-1 的解集是
(2)A={xy=2x}B={yly=x2},则A∩B=
(3)A={(xy)y=x}B={(xy)ly=2-x2},前A∩B=
3、元素与集合,集合与集合之间的关系。
(4)-5ZQZ-2R φ A
O φ O N φ {2.3} O {xlx=t2}
4、集合三要素
(5)A{2(a+1)2,a2+3a+3},且HEA,则a=
5、集合相等,A
B,A≥B 则A=B
两个集合中的元素完全相同。
(6)已知集合A1{xlx=2k-1KEZ}A2={xlx=2k+1KEZ}
A3={yly=2x-1KEZ}A4={xlx=2t-1KEZ*}
A5={xlx=4k±1KEZ}
则与集合A,相等的集合是
6、子集,真子集
对任意XEA,若XEB,则A≤B
φ
A, A
A,若XEA,A
B 则XEB 1
7、有关子集问题的一般方法
(1)将抽象问题形象化,将集合中的元素列举出来,观察其特点,为(6)中练习。
(2)通过图像
(7)平行四边形组成的集合为A,正方形组成的集合为B,菱形组成的集合为P,则A、B、P的关系是
(3)了集与包含关系,通过图像转化为解不等式(四)
(8)已知A{xl(x-a)≤1}B={xlx+2/x-3≤O}
若A
B,求a的取值范围
8、一个集合中有n个元素,它的子集共有2n个。
(9)写出满足条件M
{ab}的所有集合M
9、在A
B, A∩B=φ等问题中,特别要注意空集问题。
(10)A={xlx2-x-6=0}B={xlax-1=0}B
A则a=
(11)A={xl(x-1)≤4}B={xl2 A,则M的取值范围是 练习: 1、满足条件{a} M {a、b、c}的一个集合M可以是 2、下列说法中,不正确的是 。 (1)对任意集合A,总有φ A (2)任何一个集合至少有两个不相等的子集 (3)任何一个集合都有子集 (4)a≤AA Ba≤B (5)A B A 则 B=C 3、集合A{xy}B{2x2x2}且A=B,则A= 4、A={xlx2+x-6=0}B={ylay+2=0}且A≥B,则a= 5、集合S={1.2}T={xlax2-3x+2=0}且S=T,则a= 6、集合S={1.2} T={xlax2-3x+2=0}且S≥T,则a的取值范围是 7、集合{(xy)lxy>0,XER,yER}表示的是 2 2、集合的交、并、补集和子集关系 1、子集定义: 交集定义: 并集定义: 补集定义: 2、交集、并集和补集都是集合,结论一定要写成集合形式。 3、子集、交集、并集、补集都要从图像的角度去考虑。 4、 5、求补集时注意边集值问题 (1)集合A={xlx+3/2-x≤0} B={xl(x+1)<5} 则A= B= CuA= A∩B= A∪B= (2)集合A={xlx≤1}B={xlx≥a}A∪B=R,则a的取值范围是 。 6、φ∩A= φ∪A= A∩A= A∪A= A∩B B∩A A∪B B∪A CRφ= CRR= A∩B AU AAVB Cu(AVB)= Cu(AVB)= A∩B=A (二) A∩B=B (二) AVB=A (二) AVB=B (二) (3)集合A{xlx2-3x-15≤0} B={xlx-m>0} 若A∩B=φ 则实数M的取值范围是 若A B, 则实数M的取值范围是 3 (4)命题“a>0且b<0则ab<0”的等价命题是 7、A∩B=A AVB=A类型问题的转化 (5)集合A={xlx2-(2a-1)x+a(a-1) 若A∩B=A求,a的取值范围 交集/等价转换/子集/数形结合/不等式/解不等式,求出范围 8、在A B,A∩B=φ A∩B=A中,特别注意空集问题 (6)集合p={xlx2-3x-15≤0}m={xlk+1≤x≤2k-1} 且P∩M=M,求实数k的取值范围。 练习1、集合V={xlx2≤25}A={xl6-x-x2>0}则CuA= 2、全集U={xlx为不大于20的质数},若A∩CuB={3.5},(CuA)∩B {7. 19} Cu(AVB)={2. 17},则A= B= 3、集合A={1. 4. x},B={1. x2},且AVB=A,则x= 4、A={xlx是平行四边形},B={xlx是至少有一组时边平行的四边形} 则CuA= 。 5、集合A={xlx<1}B={xlx≥a}AVB=R,则a的取值范围是 集合A={xlx≤1}B={xlx>a}AVB=R,则a的取值范围是 集合A={xlx<1}B={xlx>a}AVB=R,则a的取值范围是 6、集合A={xl12-x2≥x}B={xlx2 7、函数f(x)=2-x+3/x+1的定义域为A,不等式(x-a-1)(2a-x)>0的解集为B (1)求A; (2)若B A,求实数a的取值范围。 4 3、命题与充要条件 1、命题: 可以判断真假的语句。 2、判定命题的真假 (1)举反侧(举出一个满足命题条件,而不满足命题结论的例子) (2)确定一个命题是其命题,就必须作出证明 3、判定下列命题的真假 (1)互由补角的两个角不相等( ) (2)个位数是5的自然数能被5整除( ) (3)若集合A、B满足A∩B=A,则A≠B( ) (4)x是素数,则x是奇数( ) (5)两个三角形的面积相等,则它们全等( ) 4、原命题xβ 互道 逆命题 β x 互否 互逆否 互否 否命好 x β 互逆 逆否命题 β x 5、等价命题 6、 (1)写出命题,若x>1,则x>0的逆命题,否命题,逆否命题,并判定哪些是真命题 逆命题( ) 否命题: ( ) 逆否命题: ( ) (2)写出命题: 若a<0且b>0,则ab<0的等价命题 7、充分条件,必要条件 用x、β分别表示两个命题,如果命题x成立,可以推出命题β也成立, 即x β,那么x叫β的充分条件,β叫x的必要条件。 5 8、x、β,x是β的充分条件,β是x的必要条件 x、β,x是β的必要条件,β是x的充分条件 9、练习 (1)x>3是(x-1)2>4的 条件 (2)a>b是1/a<1/b的 条件 (3)x2=1是x=-1的 条件 (4)“四边形为矩表”是“四边形的两组时边分别相等”的 条件 (5)若A是β的必要不充分条件,B是C的充要条件,C是D的必要不充分条件,则C是A的 条件,A是D的 条件。 10、全集与推出关系 设A={xlx具有性质x} B={xlx具有性质β} 若A B,则x是β的充分条件,若A≠B,则x是β的充分不必要 A≥B,则x是β的必要条件,若A≠B,则x是β的充分必要 A=B,则x是β的充要条件,若A≠B,则x是β的充分不必要 A≠B, A≠B,则x是β的即不充分也不必要条件 11、已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) “b2-4ac=0”是“方程ax2+bx+c=0有两个实数根”的什么条件说明理由。 6 1、 (1)ac2>bc2是a>b的 条件 (2)x<3是x2<9的 条件 (3)x>3是x2>9的 条件 (4)lx+yl=lxl+lyl是xy>0的 条件 (5)x2+y2>0是xy都不为0的 条件 (6)(x-1)(x-2)=0的充要条件是 一个充分不必要条件是 ,一个必要不充分条件是 2、写出a2>b2的一个充分不必要条件是 ,一个充要条件是 ,一个必要不充分条件是 3、已知x是实数,写出关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个实数根的充要条件是 ,一个充分条件是 ,一个必要条件是 4、如果A是B的必要条件,C是B充要条件,A是C的充分条件, 则B是C的 条件。 5、已知命题x: -2≤x≤5,命题β: k+1≤x≤2k-1 若x是β的必要条件,求实数k的取值范围 6、已知abEZ,写出命题: 若a b都是奇数,则a+b是偶数的 逆命题: 它是 命题(真假) 否命题: 它是 命题(真假) 逆否命题: 它是 命题(真假) 7、命题P: m<-3,y: 方程x2-x-m=0无实根,P是y的什么条件? 说明理由。 7 4、不等式性质,基本不等式 1、不等式性质 (1)基本性质 a>ba=ba (2)反身性a>b (3)传递性 a>bb>c (4)平移性 a>b (5)伸缩性 a>ba>b c>0c<0 (6)可加性 a c (7)可乘性 a>b>0 c>d>0 (8)平方性 a>b>0 (9)乘方性 a>b>0an——bn(nE+) a>ba2n+1>b2n+1(nEn*) (10)开方性 a>b>0n/a——n/b(nE) a>b2n+1/a——2n+1/b(nE) (11)倒数性 a>b>01/a——1/b a>0>b1/a——1/b 0>a>b1/a——1/b 2、练习: (1)已a>b,下列各式不恒成立的是 A、a3>b3B、a2>b2C、1/a>1/bD、a>bE、1/a<1/b (2)已知a<0,b>0,a+b>0则四个数b,-a,b-a,a-b序是 8 (3)ab(a-b)>0成立的一个充要条件是( ) A、a<0 (4)2 0 3、基本不等式及其各种变形: x2≥0/xER a2+b2≥2abab≤a2+b+/2 abER(a+b/2)2≤a2+b+/2 a+b≥2/ab/abER+2≤ab≤a+b/d≤a2+b2/2 4、应用基本不等式ab≤a+b/2注意三具条件 一五、二定、三相等 特别要注意 等号在什么情况下成立 (1)x+4/x的取值范围是 (2)x>1,x+9/x-1的最小值是 (3)x2+17/x2+16的最小值是 5、和定积最大,积定和最小 基本不等的功能在于“和积互化” 6、 (1)x≠0时,x+1/x的取值范围是 x>0时,x+1/x的取值范围是 x<0时,x+1/x的取值范围是 x≥4时,x+1/x的取值范围是 (2)已知xyER+,且x+2y=1,则xy≤ (3)0<x<1,当x= 时,x(1-x)的最 值是 (4)若2x+y=1,则4x+2y的最小值是 (5)已知abER且ab=a+b+3,则ab的取值范围是 9 练习1、设实数ab满足0 A、1/2B、a2+b2C、2abD、a 2、若0 3、若a>0,b>0,且2a+b=1,则ab的最大值是 4、已知a>0,b>0,a+2b=1,则1/a+1/b的最小值为 5、0 0 6、若a A、1/a>1/bB、1/a-b>1/aC、lal>lblD、a2>b2 7、已知三个不等式: (1)ab>0; (2)c/a>d/b;(3)bc>ad 以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可以组成 个正确命题。 8、abcER+,求证a+b+c≥ab+bc+ca 9、某单位用木料制作为图所示的柜架,桓加析下部 是边长分别为x y(单位m)的矩形,上部是等腰 y Rt△,要求框架围成的总面积为8㎡,问xy分别 为多少(精确到0.001m)时,用料最省? x 10 5、一元一次不等式 1、一元一次不等式的解集 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式 △=b2-4ac>0 △=b2-4ac=0 △=b2-4ac<0 Y=ax2+bx+c (a>0)的图像 含 ax2+bx+c=0,两根为x1x2且x1 ax2+bx+c>0(a>0) 解集是 解集是 解集是 ax2+bx+c≥0(a>0) 解集是 解集是 解集是 ax2+bx+c<0(a>0) 解集是 解集是 解集是 ax2+bx+c≤0(>0) 解集是 解集是 解集是 2、以(mn)为解集的一元二次不等式是 (m 以(-xm)v(n+x)为解集的一元二次不等式是 (m 3、不等式ax2+bx+c>0解集为R(函数f(x))=ax2+bx+c图像在x轴上方 不等式ax2+bx+c<0恒成立(函数f(x))=ax2+bx+c的图像在x轴下方 4、解下列不等式 (1)(x-5)(1-x)≥0 (2)9≤x2 (3)-x2+4x-2>0(4)x2+x+1≥0 11 (5)1+2x≤-x2(6)2x(x-1)<-1 5、已知A=(1-31+3)写出一个解集为P的一元二次不等式为 6、已知不等式ax2+2x+c>0的解集为{xl-1/3 (1)求ac; (2)解不等式-cx2+2x-a>0 7、集合A={xlax2-4x+2=0} (1)若A中至多一个元素,求a的取值范围; (2)若A中有两个元素,求a的取值范围; 8、函数f(x)=mx2-mx+2的图像在x轴上方,求实数的m取值范围 12 练习: 1、集合A={xl16>x2}B={xl(x-1)(3-x)≤0} 则A∩CuB= ,AVB= 2、若函数y=kx2-3kx+k-2的图像在x轴下方,则实数k的取值范围是 3、已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(-x1/2)V(2+x),关于x的不等式ax2-bx+c≤0的解集是 4、已知不等组(2x-3)(3x+2)≤0/x-a>0无实数解,则实数a的取值范围是 5、已知集合{xlax2+2x+1=0xER}中最多有一个元素,则实数a的取值范围是 6、关于x的不等式x2-3ax+2a2<0的解集为A、B={xlx2-4≤0} (1)当a<0时,求A; (2)若A B,求a的取值范围 7、已知某厂第四季度的生产指标是40000件,10月份完成12000件,今年二个月的月平均增长率至少是多少时,才能完成生产任务? 13 6、分工不等式,绝对值不等式 1、lxl0)的解集是 lxl>a(a>0)的解集是 2、关于x的不等式ax+4<2x+a2的解集为(a+2+x),则a的取值范围是 3、1/x≤1的解集是 x-3/-x2-1 4、若关于x的不等式x-a/x+1>0的解集为(-x-1)V(4+x),则实数a= 5、关于x的方程4k-3x/k+2=2x的解是负数,则k的取值范围是 6、不等式l3x-9/2l≤b的解集是 3 7、已知不等式lax+1l≤2的解集是(-13),则a= 练习: 1、不等式2/x<2/x-3的解集是 2、l1/2-xl≥1/3的解集是 3、lx2-3l<2的解集是 4、不等式x2+mx+1/x2+x+1>-2x2-2/x2+x+1的解集为R,则m的取值范围是 5、 (1)解关于x的不等式: x+2/k>1+x-3/k2(KER且K≠0) (2)若上述不等式的解为x=(3+x),求k的值; (3)若x=3在上述不等式的解集中,求k的取值范围 14 7、函数概念,定义域,函数解析式 1、下列图形表示函数的图像的是 2、已知函数y=f(x)的图像为图所示: 则函数的定义域是 ,值域 是 ,最小值是 ,最大值 是 ,f(1.5)= ,f(0)= 方程f(x)=a仅有两个不等实数根,则a的取值范围是 3、下列各组函数中,f(x)与g(x)表示同一函数的是 (1)f(x)=x2g(x)=3/3x (2)f(x)=x2-4g(x)=x+2/x-2 (3)f(x)=lxl+2g(x)=2-x/2+xx≤0x>0 (4)f(x)=x/xg(x)=x-1/2 (5)f(x)=x2+2x/x2-2xx≤0x>0g(x)=lx2-2xl 4、函数f(x)=x+a/x-a(a<0)的定义域是 5、写出一个定义城为(-31)的函数,它可以是 6、函数f(x)=1/1-mx+2mx2的定义域为R,则实数m的取值范围 是 15 7、已知函数f(x)的定义域为(-13),则f(1-2x)的定义域是 8、若f(x)=x+x,则f(x)= 9、若f(x)=x+1/x,g(x)=x3-2x2/x+1 (1)求f(a2+1); (2)求f(x)g(x)的解析式并画出图像 10、某企业生产的新产品必须靠广告来打开销路,产品的广告将就是产品的销售额与广告费之间的差,如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据市场抽样调查显示,付出100元的广告费,所得的销售额为1000元,问该企业应投入多少广告费,才能获得最大的广告效应? 是否广告做得越多越好? 16 1、函数概念 1、下列图形表示函数的图像的是 2、根据图像,写出下列函数的定义域与值域。 3、已知函数y=f(x)的图像如右图所示,则它的 定义域是 ,值域是 ,函数 解析式是 ,函数的最大值是 ,最小值是 ,图像关于 对 F(-1)= ,f(0)=,若f(a)=2,则a= 4、下列各组函数中,f(x)与g(x)表示同一函数的是 (1)f(x)=x2g(x)=x2 (2)f(x)=x-1g(x)=x2-1/x+1 (3)f(x)=x0g(x)=1 (4)f(x)=x2g(x)=-x/xx<0x≥0 (5)f(x)=x2/lxlg(x)=-x/xxe(-x0)xe(0+x) (6)f(x)=x+3/x-3g(x)=x+3/x-3 1 5、已知f(x)=x2+2x+1/-x2+2x-1 xe(-x0)xe(0+x) 则f(-3)= f(5)= f(a2+1)= 6、已知f(x)=x2-2x-3,则f(x-3)= 7、f(x)=x2+1/-2x x≤0x>0若f(x)=10,则x= 8、已知函数f(n)=n-3/f(n+5) (n≥0) (n<10)其中nEN,则f(8)= 9、函数y=2-x/x+4的定义域是 10、若函数f(x)=kx2-kx+2的定义域为R,则实数a的取值范围是 11、某种书包,每只人民币35元,买x只书包所需要的费用为 f(x)=35x(元),此时,x可取( ) A、所有实数 B、一切有理数 C、有理数 D、所有非负整数 *12、已知二次函数y=x2-2x+3在区间(0m)上有最大值3,最小值2,则m的 取值范围是 13、写出一个定义域为(-30)V(03)的函数式
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