九年级数学第2讲 一元二次方程的解法公式法因式分解法教案.docx
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九年级数学第2讲一元二次方程的解法公式法因式分解法教案
一元二次方程的解法(公式法、因式分解法)
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
通用
课时时长(分钟)
120
知识点
1、根的判别式
2、公式法解一元二次方程
3、因式分解法解方程
教学目标
1、掌握公式法解一元二次方程的方法.
2、掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法.
教学重点
能根据题目的要求及特点用恰当的方法求解方程.
教学难点
因式分解法解一元二次方程.
教学过程
一、课堂导入
1、观察一元二次方程
,结合我们上节课学的知识解此方程.
2、思考这个一元二次方程还有没有其它的解法?
3、今天我们学习一元二次方程另外的解法:
公式法、因式分解法.
二、复习预习
1、一元二次方程定义:
我们把“只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程.”
2、一元二次方程的一般形式
注意引导学生考虑方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150,即x2+5x=150,
可化为:
x2+5x-150=0.
从而引导学生认识到:
任何一个一元二次方程,经过整理都可以化为
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.并称之为一元二次方程的一般形式.
其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项、常数项;a,b分别称为二次项系数、一次项系数.
三、知识讲解
考点/易错点1
求根公式
1、形成表象,提出问题
在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.
解下列一元二次方程:
(1)x2+4x+2=0;
(2)3x2-6x+1=0;
2、分析问题,探究本质,求根公式推导:
ax2+bx+c=0(a≠0)
ax2+bx=-c
x2+
x=-
x2+
x+
=-
+
(x+
)2=
再议开方过程(让学生结合前面四题方程来加以讨论),使学生充分认识到“b2-4ac”的重要性.
当b2-4ac≥0时,
(x+
)2=
x+
=
x=-
即x=
x1=
, x2=
当b2-4ac<0时,
方程无实数根.
3、得出结论
由上面的探究过程可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c确定.当b2-4ac≥0时,即求根公式为:
x=
;
当b2-4ac<0时,方程无实数根.
考点/易错点2
因式分解法
1、提问
1.在初一时,我们学过将多项式分解因式的哪些方法?
2.方程x2=4的解是多少?
引入新课
方程x2=4还有其他解法吗?
新课
众所周知,方程x2=4还可用公式法解.此法要比开平方法繁冗.
2、本课,我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法——因式分解法.
我们仍以方程x2=4为例.
移项,得x2-4=0,
对x2-4分解因式,得(x+2)(x-2)=0.
我们知道:
∴x+2=0,x-2=0.
即x1=-2,x2=2.
由上述过程我们知道:
当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时,即可解之.这种方法叫做因式分解法.
考点/易错点3
方法分类:
提取公因式法、公式法(平方差公式、完全平方式)、十字相乘法)
●解下列方程:
(1)x2-3x-10=0;
(2)(x+3)(x-1)=5.
在讲例
(1)时,要注意讲应用十字相乘法分解因式;
讲例
(2)时,应突出讲将方程整理成一般形式,然后再分解因式解之.
●解下列方程:
(1)3x(x+2)=5(x+2);
(2)(3x+1)2-5=0.
在讲本例
(1)时,要突出讲移项后提取公因式,形成(x+2)(3x-5)=0后求解;
再利用平方差公式因式分解后求解.
注意:
在讲完例1、例2后,可通过比较来讲述因式分解的方法应“因题而宜”.
四、例题精析
【例题1】
【题干】方程(x−2)(3x+1)=0,则3x+1的值为( )
A. 7
B. 2
C. 0
D. 7或0
【答案】D
【解析】
方程(x−2)(3x+1)=0,
可得x−2=0或3x+1=0,
解得:
x1=2,x2=−13,
当x=2时,3x+1=3×2+1=7;当x=−13时,3x+1=3×(−13)+1=0.
故选D.
考点:
解一元二次方程-因式分解法
分析:
根据两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程,求出一次方程的解得到x的值,将x的值代入3x+1中,即可求出值.
点评:
此题考查了因式分解法解一元二次方程.题目比较简单,解题需细心.
【例题2】
【题干】已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6的两个根,则该三角形的周长L的取值范围是( )
A.1<L<5B.2<L<6C.5<L<9D.6<L<10
【答案】D
【解析】先利用因式分解法解方程x2﹣5x+6=0,得到x=2或x=3,即三角形的两边长是2和3,再根据三角形三边的关系确定第三边的取值范围,从而得到三角形的周长L的取值范围.
解答:
解:
∵x2﹣5x+6=0,
∴(x﹣2)(x﹣3)=0,
∴x=2或x=3,即三角形的两边长是2和3,
∴第三边a的取值范围是:
1<a<5,
∴该三角形的周长L的取值范围是6<L<10.
故选D.
点评:
本题考查了用因式分解法解一元二次方程的方法:
把方程左边分解成两个一次式的乘积,右边为0,从而方程就转化为两个一元一次方程,解一元一次方程即可.也考查了三角形三边的关系:
三角形任意两边之和大于第三边.
【例题3】
【题干】方程(x+1)(x﹣2)=x+1的解是( )
A、2B、3C、﹣1,2D、﹣1,3
【答案】D
【解析】先移项得到(x+1)(x﹣2)﹣(x+1)=0,然后利用提公因式因式分解,再化为两个一元一次方程,解方程即可.
解:
(x+1)(x﹣2)﹣(x+1)=0,
∴(x+1)(x﹣2﹣1)=0,即(x+1)(x﹣3)=0,
∴x+1=0,或x﹣3=0,
∴x1=﹣1,x2=3.
故选D.
点评:
本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法:
利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程.
【例题4】
【题干】运用公式法解方程x2﹣4x+1=0.
【答案】解:
(1)移项得,x2﹣4x=﹣1,
配方得,x2﹣4x+4=﹣1+4,
(x﹣2)2=3,
由此可得x﹣2=±
,
x1=2+
,x2=2﹣
;
(2)a=1,b=﹣4,c=1.
b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×1×1=12>0.
x=
=2±
,
x1=2+
,x2=2﹣
.
【解析】将原方程转化为完全平方的形式,利用配方法解答或利用公式法解答.此题考查了解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.
(1)选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
(2)选择公式法解一元二次方程时,找准a、b、c的值是关键.
【例题5】
【题干】如果x2−x−1=(x+1)0,那么x的值为()
A. 2或−1
B. 0或1
C. 2
D. −1
【答案】C
【解析】
∵x2−x−1=(x+1)0,
∴x2−x−1=1,
即(x−2)(x+1)=0,
解得:
x1=2,x2=−1,
当x=−1时,x+1=0,故x≠−1,
故选:
C.
考点:
解一元二次方程-因式分解法,零指数幂
分析:
首先利用零指数幂的性质整理一元二次方程,进而利用因式分解法解方程得出即可.
【例题6】
【题干】已知关于x的方程mx 2+5x=2x 2+4是一元二次方程,试判断关于y的方程y(y+m-1)-2my+m=1-y的根的情况,并说明理由.
【答案】解:
∵关于x的方程mx 2+5x=2x 2+4是一元二次方程,
∴m≠2,
把方程y(y+m-1)-2my+m=1-y整理得:
y 2-my+m-1=0,
∵△=b 2-4ac=(-m)2-4(m-1)=(m-2)2>0,
∴方程必有两个不相等的实数根.
【解析】
根据一元二次方程的定义求出m≠2,再把方程y(y+m-1)-2my+m=1-y整理得出△=b 2-4ac=(m-2)2>0,即可得出方程必有两个不相等的实数根.
【例题7】
【题干】如果方程ax2-bx-6=0与方程ax2+2bx-15=0有一个公共根是3,求a、b的值,并分别求两个方程的另外一个根.
【答案】解:
把x=3分别代入两个方程,
得
.
把a=1,b=1代入ax2-bx-6=0得x2-x-6=0,
(x-3)(x+2)=0,
解得:
x1=3,x2=-2.
方程ax2-bx-6=0的另一个根为-2.
把a=1,b=1代入ax2+2bx-15=0得
x2+2x-15=0,
即(x-3)•(x+5)=0,
解得x1=3,x2=-5.
方程ax2+bx-15=0的另一个根为-5.
【解析】把x=3代入题中两个方程中,得到关于a、b的二元一次方程组,用适当的方法解答,求出a、b的值,再解方程即可求得.
【例题8】
【题干】解方程:
=2.
【答案】解:
设
=y,则
,
则原方程为:
y-
=2,即:
y2-2y-3=0,
解得y1=3,y2=-1.
当y1=3时,x=-1,当y2=-1时,x=
.
经检验,x1=-1,x2=
是原方程的根.
∴x1=-1,x2=
.
【解析】本题考查用换元法解分式方程的能力,观察方程可得
与
互为倒数,所以可采用换元法将方程转化.
【例题9】
【题干】解方程:
(1)x2-4x-5=O;
(2)(2x-3)2=(3x-2)2.
【答案】解:
(1)分解因式得:
(x-5)(x+1)=0,
可得x-5=0或x+1=0,
解得:
x1=5,x2=-1;
(2)开方得:
2x-3=3x-2或2x-3=-3x+2,
解得:
x1=-1,x2=1.
【解析】
(1)方程左边利用十字相乘法分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解;
(2)利用平方根定义开方即可求出解.
【例题10】
【题干】我们知道,各类方程的解法虽然不尽相同,但是它们的基本思想都是“转化”,即把未知转化为已知。
用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新方程。
认识新方程:
像
=x这样,根号下含有未知数的方程叫做无理方程,可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2,解得x1=3,x2=−1.但由于两边平方,可能产生增根,所以需要检验,经检验,x2=−1是原方程的增根,舍去,所以原方程的解是x=3.
运用以上经验,解下列方程:
(1)
=x;
(2)x+
=6.
【解析】
(1)两边平方,得
16−6x=x2,
整理得:
x2+6x−16=0,
解得x1=−8,x1=2;
经检验x=−8是增根,
所以原方程的根为x=2;
(2)移项得:
=6−x
两边平方,得
4x−12=x2−12x+36,
解得x1=4,x2=12(不符合题意,舍).
考点:
[无理方程,分式方程的增根]
分析:
(1)根据平方,可得整式方程,根据解整式方程,可得答案;
(2)根据平方,可得整式方程,根据解整式方程,可得答案.
课程小结
1.本节课我们推导出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式,即
这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.
要重点让学生注意到应用公式的大前提,即b2-4ac≥0.
2.什么是因式分解法?
因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。
因式分解法的步骤:
1.移项:
将方程得右边化为0;
2.化积:
将方程得左边分解为两个一次式的乘积;
3.转化:
令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程;
4.求解:
解折两个一元一次方程,他们的解就是一元二次方程的解。
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