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奥数题

应用题综合训练

班别：

姓名：

1归一问题

【数量关系】总量÷份数＝1份数量1份数量×所占份数＝所求几份的数量

另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例1买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？

答：

需要元。

例23台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？

答：

5台拖拉机6天耕地公顷。

例35辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？

答：

需要运次。

2归总问题

【数量关系】1份数量×份数＝总量总量÷1份数量＝份数

总量÷另一份数＝另一每份数量

【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

例1服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。

原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？

答：

现在可以做套。

例2小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。

小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？

答：

小明天可以读完《红岩》。

例3食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。

后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？

答：

这批蔬菜可以吃天。

3和差问题

【数量关系】大数＝（和＋差）÷2小数＝（和－差）÷2

【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

例1甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？

答：

甲班有人，乙班有人。

例2长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。

答：

长方形的面积为平方厘米。

例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

答：

甲袋化肥重千克，乙袋化肥重千克，丙袋化肥重千克。

例4甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？

答：

甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。

4和倍问题

【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数总和－较小的数＝较大的数

较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？

答：

杏树有62棵，桃树有186棵。

例2东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？

答：

东库存粮280吨，西库存粮200吨。

例3甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？

答：

6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。

例4甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？

答：

甲数是28，乙数是52，丙数是90。

5差倍问题

【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。

求杏树、桃树各多少棵？

答：

果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

例2爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？

答：

父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。

例3商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？

答：

上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。

例4粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？

答：

8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。

6倍比问题

【数量关系】总量÷一个数量＝倍数另一个数量×倍数＝另一总量

【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。

例1100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？

答：

可以榨油1480千克。

例2今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？

答：

全县48000名师生共植树64000棵。

例3凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？

全县16000亩果园共收入多少元？

答：

全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。

7相遇问题

【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。

这类应用题叫做相遇问题。

【数量关系】相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例1南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？

答：

经过8小时两船相遇。

例2小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？

答：

二人从出发到第二次相遇需100秒时间。

例3甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。

答：

两地距离是84千米。

8追及问题

【数量关系】追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）

追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？

答：

好马20天能追上劣马。

例2小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。

小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

答：

小亮的速度是每秒3米。

例3我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。

已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？

答：

解放军在6小时后可以追上敌人。

例4一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。

答：

甲乙两站的距离是352千米。

例5兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。

哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。

问他们家离学校有多远？

答：

家离学校有900米远。

例6孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。

后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。

求孙亮跑步的速度。

答：

孙亮跑步速度为每小时5.5千米。

9植树问题

【数量关系】线形植树棵数＝距离÷棵距＋1环形植树棵数＝距离÷棵距

方形植树棵数＝距离÷棵距－4三角形植树棵数＝距离÷棵距－3

面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距）

【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

例1一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？

答：

一共要栽69棵垂柳。

例2一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？

答：

一共能栽100棵白杨树。

例3一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？

答：

一共可以安装106个照明灯。

例4给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？

答：

至少需要400块地板砖。

例5一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？

答：

大桥两边一共可以安装44盏路灯。

10年龄问题

【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数

例1爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？

明年呢？

答：

今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

例2母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？

答：

3年后母亲的年龄是女儿的4倍。

例33年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？

答：

今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。

例4甲对乙说：

“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。

乙对甲说：

“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。

求甲乙现在的岁数各是多少？

（可用方程解）

因为两个人的年龄差总相等：

□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，

因此二人年龄差为（61－4）÷3＝19（岁）甲今年的岁数为△＝61－19＝42（岁）

乙今年的岁数为□＝42－19＝23（岁）

答：

甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。

11行船问题

【数量关系】（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速

（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速

顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2

逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？

答：

这只船逆水行这段路程需用32小时。

例2甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？

答：

乙船返回原地需要9小时。

例3一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？

答：

飞机顺风飞回需要2.76小时。

12列车问题

【数量关系】火车过桥：

过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速

火车追及：

追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）

火车相遇：

相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。

这列火车长多少米？

答：

这列火车长300米。

例2一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？

答：

大桥的长度是800米。

例3一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？

答：

需要73秒。

例4一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？

答：

火车从工人身旁驶过需要6秒钟。

例5一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。

求这列火车的车速和车身长度各是多少？

答：

这列火车的车速是每秒25米，车身长200米。

13时钟问题

【数量关系】分针的速度是时针的12倍，

二者的速度差为11/12。

通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

例1从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？

解钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。

每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。

4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。

所以

分针追上时针的时间为20÷（1－1/12）≈22（分）

答：

再经过22分钟时针正好与分针重合。

例2四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？

解钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。

四点整的时候，分针在时针后（5×4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4－15）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4＋15）格。

再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间。

（5×4－15）÷（1－1/12）≈6（分）

（5×4＋15）÷（1－1/12）≈38（分）

答：

4点06分及4点38分时两针成直角。

例3六点与七点之间什么时候时针与分针重合？

解六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。

这实际上是一个追及问题。

（5×6）÷（1－1/12）≈33（分）

答：

6点33分的时候分针与时针重合。

14盈亏问题

【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差

如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差

参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。

问有多少小朋友？

有多少个苹果？

答：

有小朋友12人，有47个苹果。

例2修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。

这条路全长多少米？

答：

这条路全长7800米。

例3学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。

问有多少车？

多少人？

答：

有6辆车，有270人。

16正反比例问题

【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。

许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：

把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例1修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？

答：

这条公路总长3600米。

例2张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？

答：

91分钟可以做13道应用题。

例3孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？

答：

10天就可以看完。

17按比例分配问题

【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。

总份数＝比的前后项之和

【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

例1学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？

答：

一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

例2用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。

三条边的长各是多少厘米？

答：

三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。

例3从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。

答：

大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。

例4某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？

答：

三个车间一共820人。

18百分数问题

【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：

百分数＝比较量÷标准量

标准量＝比较量÷百分数

【解题思路和方法】一般有三种基本类型：

（1）求一个数是另一个数的百分之几；

（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；

（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

例1仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？

答：

用去了10%，剩下90%。

例2红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？

答：

男职工人数比女职工少20%。

例3红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几？

答：

女职工人数比男职工多25%。

例4红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？

答：

男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。

例5百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：

增长率＝增长数÷原来基数×100%合格率＝合格产品数÷产品总数×100%

出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%

缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%

成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%

出油率＝油的重量÷油料重量×100%废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%

命中率＝命中次数÷总次数×100%烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%

19“牛吃草”问题

【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。

问多少头牛5天可以把草吃完？

解草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。

求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？

设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：

（1）求草每天的生长量

因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以

1×10×20＝原有草量＋20天内生长量

同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量

由此可知（20－10）天内草的生长量为

1×10×20－1×15×10＝50

因此，草每天的生长量为50÷（20－10）＝5

（2）求原有

原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100

（3）求5天内草总量

5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125

（4）求多少头牛5天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。

因此5天吃完草需要牛的头数125÷5＝25（头）

答：

需要5头牛5天可以把草吃完。

例2一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。

如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。

求17人几小时可以淘完？

解这是一道变相的“牛吃草”问题。

与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。

设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：

（1）求每小时进水量

因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量

10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量

所以，（10－3）小时内的进水量为1×5×10－1×12×3＝14

因此，每小时的进水量为14÷（10－3）＝2

（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30

（3）求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是

30÷（17－2）＝2（小时）

答：

17人2小时可以淘完水。

20鸡兔同笼问题

【数量关系】第一鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有

兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

假设全都是兔，则有

鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）

第二鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有

兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

假设全都是兔，则有

鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。

如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。

这类问题也叫置换问题。

通过先假设，再置换，使问题得到解决。

例1长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。

数数头有三十五，脚数共有九十四。

请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？

答：

有鸡23只，有兔12只。

例22亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？

答：

白菜地有10亩。

例3李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。

问作业本和日记本各买了多少本？

答：

作业本有15本，日记本有30本。

例4（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

：

有鸡80只，有兔20只。

例5有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？

答：

共有大和尚25人，有小和尚75人。

22商品利润问题

【数量关系】利润＝售价－进货价

利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%

售价＝进货价×（1＋利润率）

亏损＝进货价－售价

亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%

【解题思路和方法】简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？

答：

二月份比原价下降了1%。

例2某服装店因搬迁，店内商品八折销售。

苗苗买了一