数值分析第4章答案.docx
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数值分析第4章答案
第四章数值积分与数值微分
1.确定下列求积公式中的特定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:
解:
求解求积公式的代数精度时,应根据代数精度的定义,即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立,但对于m+1次多项式就不准确成立,进行验证性求解。
(1)若
令,则
令,则
令,则
从而解得
令,则
故成立。
令,则
故此时,
故
具有3次代数精度。
(2)若
令,则
令,则
令,则
从而解得
令,则
故成立。
令,则
故此时,
因此,
具有3次代数精度。
(3)若
令,则
令,则
令,则
从而解得
或
令,则
故不成立。
因此,原求积公式具有2次代数精度。
(4)若
令,则
令,则
令,则
故有
令,则
令,则
故此时,
因此,
具有3次代数精度。
2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:
解:
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
3。
直接验证柯特斯教材公式(2。
4)具有5交代数精度。
证明:
柯特斯公式为
令,则
令,则
令,则
令,则
令,则
令,则
令,则
因此,该柯特斯公式具有5次代数精度。
4。
用辛普森公式求积分并估计误差。
解:
辛普森公式为
此时,
从而有
误差为
5。
推导下列三种矩形求积公式:
证明:
两边同时在上积分,得
即
两边同时在上积分,得
即
两连边同时在上积分,得
即
6。
若用复化梯形公式计算积分,问区间应人多少等分才能使截断误差不超过?
若改用复化辛普森公式,要达到同样精度区间应分多少等分?
解:
采用复化梯形公式时,余项为
又
故
若,则
当对区间进行等分时,
故有
因此,将区间213等分时可以满足误差要求
采用复化辛普森公式时,余项为
又
若,则
当对区间进行等分时
故有
因此,将区间8等分时可以满足误差要求。
7。
如果,证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大,并说明其几何意义。
解:
采用梯形公式计算积分时,余项为
又且
又
即计算值比准确值大。
其几何意义为,为下凸函数,梯形面积大于曲边梯形面积。
8。
用龙贝格求积方法计算下列积分,使误差不超过.
解:
0
0.7717433
1
0.7280699
0.7135121
2
0.7169828
0.7132870
0.7132720
3
0.7142002
0.7132726
0.7132717
0.7132717
因此
0
3.451313
1
8.628283
-4.446923
因此
0
14.2302495
1
11.1713699
10.1517434
2
10.4437969
10.2012725
10.2045744
3
10.2663672
10.2072240
10.2076207
10.2076691
4
10.2222702
10.2075712
10.2075943
10.2075939
10.2075936
5
10.2112607
10.2075909
10.2075922
10.2075922
10.2075922
10.2075922
因此
9。
用的高斯-勒让德公式计算积分
解:
令,则
用的高斯—勒让德公式计算积分
用的高斯—勒让德公式计算积分
10地球卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是
这是是椭圆的半径轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h为近地点距离,H为远地点距离,R=6371(km)为地球半径,则
我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km),远地点距离H=2384(km)。
试求卫星轨道的周长。
解:
从而有。
0
1.564640
1
1.564646
1.564648
2
1.564646
1.564646
1.564646
即人造卫星轨道的周长为48708km
11。
证明等式
试依据的值,用外推算法求的近似值。
解
若
又
此函数的泰勒展式为
当时,
当时,
当时,
由外推法可得
n
3
2.598076
6
3.000000
3.133975
9
3.105829
3.141105
3.141580
故
12。
用下列方法计算积分,并比较结果。
(1)龙贝格方法;
(2)三点及五点高斯公式;
(3)将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式。
解
(1)采用龙贝格方法可得
k
0
1.333333
1
1.166667
1.099259
2
1.116667
1.100000
1.099259
3
1.103211
1.098726
1.098641
1.098613
4
1.099768
1.098620
1.098613
1.098613
1.098613
故有
(2)采用高斯公式时
此时
令则
利用三点高斯公式,则
利用五点高斯公式,则
(3)采用复化两点高斯公式
将区间四等分,得
作变换,则
作变换,则
作变换,则
作变换,则
因此,有
13.用三点公式和积分公式求在,和1.2处的导数值,并估计误差。
的值由下表给出:
x
1.01.11.2
F(x)
0.25000.22680.2066
解:
由带余项的三点求导公式可知
又
又
又
故误差分别为
利用数值积分求导,
设
由梯形求积公式得
从而有
故
又
且
从而有
故
即
解方程组可得
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