河北中考数学第五章 四边形.docx
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河北中考数学第五章四边形
第五章 四边形
阶段检测·教师专用
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2018宁波中考)已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为( )
A.6B.7C.8D.9
2.(2017山东临沂中考)在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是( )
A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形
B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形
C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形
D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形
3.(2017衡水模拟)如图,在长方形ABCD中,AB=12,AD=14,E为AB的中点,点F,G分别在CD,AD上,若CF=4,且△EFG为等腰直角三角形,则EF的长为( )
A.10B.10
C.12D.12
4.(2018河北模拟)如图,已知▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥DC,BC∶CD=3∶2,AB=EC,则∠EAF=( )
A.50°B.60°C.70°D.80°
5.如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB,E是BC中点,△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,则AE的长度为( )
A.3cmB.4cm
C.5cmD.8cm
6.(2018唐山模拟)如图,矩形ABCD中,BC=2AB,对角线相交与O点,过C点作CE⊥BD交BD于E点,H为BC中点,连接AH交BD于G点,交EC的延长线于F点,下列4个结论:
①EH=AB;②∠ABG=∠HEC;③△ABG≌△HEC;④CF=BD.正确的结论是( )
A.①②④B.①④
C.③④D.①③④
7.(2018河北模拟)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且∠ABC=60°,AB=2BC,CE平分∠BCD,交BD于点F,交AB于点E,连接OE,下列结论:
①∠ACD=30°;②S▱ABCD=AC·BC;③OE∶AC=1∶4;④S△OCF=2S△OEF.其中,正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.(2017石家庄一模)如图,▱ABCD中,E为BC边上一点,以AE为边作正方形AEFG,若∠BAE=40°,∠CEF=15°,则∠D的度数是( )
A.65°B.55°C.70°D.75°
9.(2017保定徐水模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在对角线BD上,且BE=6,连接AE并延长交DC于点F,则CF等于( )
A.2B.3C.4D.5
10.(2018廊坊模拟)如图所示,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=2,E,F两点分别从A,B两点同时出发,以相同的速度分别向终点B,C移动,连接EF,在移动的过程中,EF的最小值为( )
A.1B.
C.
D.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2018泰州中考)如图,▱ABCD中,AC、BD相交于点O,若AD=6,AC+BD=16,则△BOC的周长为 .
12.(2017廊坊模拟)如图,菱形ABCD的边长是4cm,E是AB的中点,且DE⊥AB,则菱形ABCD的面积为 cm2.
13.(2018邯郸模拟)如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点,点F在BE上,AF=AB,连接BD、FD,若∠BAF=58°,则∠BDF的度数为 .
14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为 .
15.(2018沧州模拟)如图,菱形ABCD的周长为8cm,高AE长为
cm,对角线AC和BD相交于点O,则对角线AC长和BD长之比为 .
16.(2017廊坊模拟)一块矩形菜地的面积是120m2,如果它的长减少2m,那么菜地就变成正方形,则新菜地的面积是 m2.
17.如图所示,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果∠ADB=30°,则∠E= °.
18.(2018河北模拟)如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为 .
三、解答题(共46分)
19.(6分)(2017河北模拟)某同学要证明命题“平行四边形的对边相等”是正确的,他画出了图形,并写出了如下已知和不完整的求证.
已知:
如图,四边形ABCD是平行四边形.
求证:
AB=CD, .
(1)补全求证部分;
(2)请你写出证明过程.
20.(6分)如图,AC为矩形ABCD的对角线,将边AB沿AE折叠,使点B落在AC上的点M处,将边CD沿CF折叠,使点D落在AC上的点N处.
(1)求证:
四边形AECF是平行四边形;
(2)若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积.
21.(7分)(2018包头中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=AD,连接BD,点E在AB上,且∠BDE=15°,DE=4
CD=2
.(本题中的计算过程和结果均保留根号)
(1)求BE的长;
(2)求四边形DEBC的面积.
22.(6分)(2017唐山迁安一模)在一个多边形中,一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°.
(1)如果这个多边形是五边形,请求出这个外角的度数;
(2)是否存在符合题意的其他多边形?
如果存在,请求出边数及这个外角的度数;如果不存在,请说明理由.
23.(7分)(2018广西中考)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.
(1)求证:
▱ABCD是菱形;
(2)若AB=5,AC=6,求▱ABCD的面积.
24.(7分)(2017唐山模拟)如图,在▱ABCD中,点E、F分别是BC,AD上的点,且BE=DF,对角线AC⊥AB.
(1)求证:
四边形AECF是平行四边形;
(2)当E为BC的中点时,求证:
四边形AECF是菱形.
25.(7分)(2018石家庄模拟)在图1到图3中,点O是正方形ABCD对角线AC的中点,△MPN为直角三角形,∠MPN=90°.正方形ABCD保持不动,△MPN沿射线AC向右平移,平移过程中P点始终在射线AC上,且保持PM垂直于直线AB于点E,PN垂直于直线BC于点F.
(1)如图1,当点P与点O重合时,OE与OF的数量关系为 ;
(2)如图2,当P在线段OC上时,猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系?
并对你的猜想结果给予证明;
(3)如图3,当点P在AC的延长线上时,OE与OF的数量关系为 ;位置关系为 .
第五章·阶段检测·答案精解精析
一、选择题
1.D 正多边形的一个外角等于40°,且外角和为360°,则这个正多边形的边数是:
360°÷40°=9.故选D.
2.D 若AD⊥BC,则四边形AEDF是平行四边形,不一定是矩形,故A错误;若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是菱形,不一定是矩形,故B错误;若BD=CD,则四边形AEDF是平行四边形,不一定是菱形,故C错误;若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形,故D正确.
3.B ∵△GEF为等腰直角三角形,∴GE=GF,∠EGF=90°,∴∠AGE+∠DGF=90°,∵∠AEG+∠AGE=90°,∴∠AEG=∠DGF,∴△AEG≌△DGF,∴AE=DG,AG=DF,∵AB=12,AD=14,E为AB的中点,点F,G分别在CD,AD上,CF=4,∴AE=DG=6,AG=DF=8,∴EG=GF=10,∴EF=
EG=10
.
4.B 设BC=3x,则CD=2x,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=2x,AB∥DC.
∵AE⊥BC,AF⊥DC,∴∠AEB=90°,AF⊥AB,∴∠BAF=90°.
∵AB=EC,∴EC=2x,∴BE=BC-EC=x=
AB,∴∠BAE=30°,∴∠EAF=90°-30°=60°,故选B.
5.B ∵▱ABCD的周长为26cm,∴AB+AD=13cm,OB=OD,∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,∴(OA+OD+AD)-(OA+OB+AB)=AD-AB=3cm,∴AB=5cm,AD=8cm.
∴BC=AD=8cm.
∵AC⊥AB,E是BC的中点,∴AE=
BC=4cm.
6.A ①在△BCE中,∵CE⊥BD,H为BC中点,∴BC=2EH,又BC=2AB,∴EH=AB,正确;
②由①可知,BH=HE,∴∠EBH=∠BEH,又∠ABG+∠EBH=∠BEH+∠HEC=90°,∴∠ABG=∠HEC,正确;
③由AB=BH,∠ABH=90°,得∠BAG=45°,同理:
∠DHC=45°,∴∠EHC>∠DHC=45°,∴△ABG≌△HEC,错误;
④∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F,又∠ECH=∠CDE=∠BAO,∠BAO=∠BAH+∠HAC,∴∠F=∠HAC,∴CF=BD,正确.
综上所述,正确的是①②④.故选A.
7.C ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,∵CE平分∠BCD,∴∠DCE=∠BCE=60°,∴△CBE是等边三角形,∴BE=BC=CE.
∵AB=2BC,∴AE=BC=CE,∴∠ACB=90°,∴∠ACD=∠CAB=30°,故①正确;
∵AC⊥BC,∴S▱ABCD=AC·BC,故②正确;
在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,∴AC=
BC,∵AO=OC,AE=BE,∴OE=
BC,∴
=
=
;故③错误;
∵AO=OC,AE=BE,∴OE∥BC,∴△OEF∽△BCF,∴
=2∶1,∴S△OCF∶S△OEF=
=2,∴S△OCF=2S△OEF;故④正确.
综上所述,故选C.
8.A ∵四边形AEFG是正方形,∴∠AEF=90°,
又∵∠CEF=15°,∴∠AEB=180°-90°-15°=75°,
又∵∠BAE=40°,∴∠B=180°-∠BAE-∠AEB=180°-40°-75°=65°,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠D=∠B=65°.
9.A ∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,AB=CD=6,BC=AD=8,根据勾股定理,得BD=10,∵BE=6,∴DE=BD-BE=10-6=4,易知AB∥CD,∴
=
即
=
解得DF=4,则CF=CD-DF=6-4=2.
10.D 连接DB,作DH⊥AB于H,如图,∵四边形ABCD为菱形,∴AD=AB=BC=CD,
而∠A=60°,∴△ABD和△BCD都是等边三角形,∴∠ADB=∠DBC=60°,AD=BD.
∵AB=2,∴在Rt△ADH中,AH=1,AD=2,∴DH=
.∵由题意可得AE=BF,∴△ADE≌△BDF,∴∠2=∠1,DE=DF,∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠ADB=60°,∴△DEF为等边三角形,∴EF=DE.
∴当E点运动到H点时,DE的值最小,其最小值为
∴EF的最小值为
.故选D.
二、填空题
11.答案 14
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=6,OA=OC,OB=OD,∵AC+BD=16,∴OB+OC=8,∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14,故答案为14.
12.答案 8
解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=4cm,∵E是AB的中点,∴AE=BE=2cm,∵DE⊥AB,∴∠AED=90°.在Rt△ADE中,DE=
=
=2
cm,∴菱形ABCD的面积=AB·DE=4×2
=8
cm2.
13.答案 29°
解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°,∠ADB=45°,AB=AD,∵AF=AB,∠BAF=58°,∴AF=AD,∠DAF=90°-58°=32°,∴∠ADF=∠AFD=
×(180°-32°)=74°.
∴∠BDF=∠ADF-∠ADB=74°-45°=29°,故答案为29°.
14.答案 3
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OD,OA=OC,AC=BD,∴OA=OB,∵AE垂直平分OB,∴AB=AO,∴OA=AB=OB=3,∴BD=2OB=6,∴AD=
=
=3
.
15.答案 1∶
解析 ∵菱形ABCD的周长为8cm,∴AB=BC=2cm,∵高AE长为
cm,根据勾股定理,得BE=1cm.∴CE=BE=1cm,∴AC=AB=2cm.
∵OA=1cm,AC⊥BD,根据勾股定理,得OB=
cm,∴BD=2OB=2
cm.
∴AC∶BD=1∶
.
16.答案 100
解析 设原菜地的长是xm,则宽是(x-2)m,可列方程x(x-2)=120,解得x=12或x=-10(舍去),则新菜地的面积为(12-2)2=100m2.
17.答案 15
解析 连接AC,∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BE,AC=BD,且∠ADB=∠CAD=30°.
∴∠E=∠DAE.
又∵BD=CE,∴CE=CA,∴∠E=∠CAE.
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE,∴∠E+∠E=30°,即∠E=15°.
18.答案
+1
解析 如图,取AB的中点E,连接OD、OE、DE,∵∠MON=90°,AB=2,∴OE=AE=
AB=1.
∵BC=1,四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=1,根据勾股定理,得DE=
.
根据三角形的三边关系,OD≤OE+DE,∴当OD过点E时,等号成立,DO的值最大,最大值为
+1.
三、解答题
19.解析
(1)BC=DA.
(2)证明:
连接AC,如图所示,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC.
∴∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC.
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(ASA).
∴AB=CD,BC=DA.
20.解析
(1)证明:
由折叠的性质知,∠BAE=∠MAE=
∠BAC,∠DCF=∠NCF=
∠ACD,
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠BAC=∠ACD,∴∠MAE=∠NCF,
∴AE∥CF,又∵AD∥BC,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)∵∠B=90°,∴AC2=AB2+BC2,
∵AB=6,AC=10,∴BC=
=8,
∵AM=AB=6,AC=10,∴CM=AC-AM=4,
∵BE=EM,∴EM=8-CE.
在Rt△CEM中,CE2=EM2+CM2,
∴CE2=(8-CE)2+42,解得CE=5,
∴S四边形AECF=CE·AB=5×6=30.
21.解析
(1)在四边形ABCD中,∵AD∥BC,∠ABC=90°,
∴∠BAD=90°.
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=45°.
∵∠BDE=15°,
∴∠ADE=30°.
在Rt△ADE中,AE=DE×sin30=2
AD=DE·cos30°=6,
∴AB=AD=6.
∴BE=6-2
.
(2)作DF⊥BC于F.则四边形ABFD是矩形,
∴BF=AD=6,DF=AB=6,
在Rt△DFC中,FC=
=
=4
∴BC=6+4
∴S四边形DEBC=S△DEB+S△BCD=
×(6-2
)×6+
(6+4
)×6=36+6
.
22.解析 设这个外角的度数是x°,则(5-2)×180-(180-x)+x=600,
解得x=120.
答:
这个外角的度数是120°.
(2)存在.
设边数为n,这个外角的度数是x°,则(n-2)×180-(180-x)+x=600,
整理得x=570-90n,
∵0 ∴n=5(舍去)或n=6. 当n=6时,这个外角的度数为60°. 答: 这个多边形的边数是6,这个外角的度数为60°. 23.解析 (1)证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠B=∠D. ∵AE⊥BC,AF⊥CD, ∴∠AEB=∠AFD=90°. ∵BE=DF, ∴△AEB≌△AFD. ∴AB=AD. ∴▱ABCD是菱形. (2)连接BD交AC于O,如图所示. ∵四边形ABCD是菱形,AC=6, ∴AC⊥BD. ∴AO=OC= AC= ×6=3. ∵AB=5,AO=3, ∴BO= = =4. ∴BD=2BO=8. ∴S平行四边形ABCD=AC·BD=24. 24.解析 (1)证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC. ∵BE=DF, ∴EC=AF. ∴四边形AECF是平行四边形. (2)证明: ∵AC⊥AB, ∴∠BAC=90°. ∵E为BC的中点, ∴AE=CE. ∵四边形AECF是平行四边形, ∴四边形AECF为菱形. 25.解析 (1)解: 根据题意,得∠BAC=∠BCA=45°,AO=CO,∠AEO=∠CFO. 在△AEO和△CFO中,∵ ∴△AEO≌△CFO(AAS). ∴OE=OF. (2)解: OE=OF,OE⊥OF. 证明: 连接BO,如图所示. 在正方形ABCD中,∵O为AC中点, ∴BO=CO,BO⊥AC,∠BCA=∠ABO=45°. ∵PF⊥BC,∠BCO=45°, ∴∠FPC=45°,PF=FC. 在正方形ABCD中,∵∠ABC=90°,PF⊥BC,PE⊥AB, ∴∠PEB=∠PFB=90°. ∴四边形PEBF是矩形. ∴BE=PF. ∴BE=FC. ∴△OBE≌△OCF ∴OE=OF,∠BOE=∠COF. ∵∠COF+∠BOF=90°, ∴∠BOE+∠BOF=90°. ∴∠EOF=90°. ∴OE⊥OF. (3)OE=OF(相等),OE⊥OF(垂直). 理由: 连接BO,如图所示. 在正方形ABCD中,∵O为AC中点, ∴BO=CO,BO⊥AC,∠BCA=∠ABO=45°. ∴∠OCF=∠OBE. ∵PF⊥BC,∠BCO=45°, ∴∠FPC=45°,PF=FC. ∵∠ABC=90°,PF⊥BC,PE⊥AB, ∴∠PEB=∠PFB=90°. ∴四边形PEBF是矩形. ∴BE=PF. ∴BE=FC. ∴△OBE≌△OCF. ∴OE=OF,∠BOE=∠COF. ∵∠COF+∠BOF=90°, ∴∠BOE+∠BOF=90°. ∴∠EOF=90°. ∴OE⊥OF.
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