非线性函数中英文对照外文翻译文献.docx

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非线性函数中英文对照外文翻译文献

中英文对照翻译

一个新的辅助函数的构造方法的全局优化

非线性函数优化问题中具有许多局部极小，在他们的搜索空间中的应用，如工程设计，分子生物学是广泛的，和神经网络训练．虽然现有的传统的方法，如最速下降方法，牛顿法，拟牛顿方法，信赖域方法，共轭梯度法，收敛迅速，可以找到解决方案，为高精度的连续可微函数，这在很大程度上依赖于初始点和最终的全局解的质量很难保证．在全局优化中存在的困难阻碍了许多学科的进一步发展．因此，全局优化通常成为一个具有挑战性的计算任务的研究．

一般来说，设计一个全局优化算法是由两个原因造成的困难：

一是如何确定所得到的最小是全球性的（当时全球最小的是事先不知道），和其他的是，如何从中获得一个更好的最小跳．对第一个问题，一个停止规则称为贝叶斯终止条件已被报道．许多最近提出的算法的目标是在处理第二个问题．一般来说，这些方法可以被类fi主要分两大类，即：

（一）确定的方法，及（ii）的随机方法．随机的方法是基于生物或统计物理学，它跳到当地的最低使用基于概率的方法．这些方法包括遗传算法（GA），模拟退火法（SA）和粒子群优化算法（PSO）．虽然这些方法有其用途，它们往往收敛速度慢和寻找更高精度的解决方案是耗费时间．他们更容易实现和解决组合优化问题．然而，确定性方法如填充函数法，盾构法，等，收敛迅速，具有较高的精度，通常可以找到一个解决方案．这些方法往往依赖于修改目标函数的函数“少”或“低”局部极小，比原来的目标函数，并设计算法来减少该fiED功能逃离局部极小更好的发现．

引用确定性算法中，扩散方程法，有效能量的方法，和积分变换方法近似的原始目标函数的粗结构由一组平滑函数的极小的“少”．这些方法通过修改目标函数的原始目标函数的积分．这样的集成是实现太贵，和辅助功能的最终解决必须追溯到原始目标函数的最小值，而所追踪的结果可能不是真正的全球最小的问题．终端器无约束子能量法和动态隧道方法修改fiES的目标函数的基础上的动态系统的稳定性理论的全局优化的梯度下降算法的杂交方法．这些方法都将动态系统和相应的计算非常耗时，尤其是目标函数的维数的增加，因为他们的好点是通过搜索沿各坐标到终止的发现．拉伸函数方法是一个辅助函数法，利用以前的搜索得到的信息使目标函数和帮助算法跳出局部最小更有效．这种技术已被纳入PSO的提高找到全局极小的成功率．然而，这种混合算法是建立在一个随机的方法，其收敛速度慢、应用更易与低维问题．填充函数法是另一个辅助函数法作案fiES为目标函数的填充函数，然后找到更好的局部极小值逐步优化填充函数构造上得到的最小值．填充函数法为我们提供了一个好主意，使用局部优化技术来解决全局优化问题．如果无法估计的参数可以得到解决，设计的填充函数可以应用于高维函数，填充函数方法在文献中的前途是光明的．掘进方法修改fiES的目标函数，以确保未来的出发点具有相同的函数值所得到的最小离获得一个，从而找到全局极小的概率增加．一个连续的会话的方法（SCM）将目标函数转化为一个在函数值都高于得到的地区没有局部极小或固定点，除了预fi固定值．这个方法似乎有希望如果通过预fi造成不影响固定的点被排除在外．．

不管拉伸功能的方法，已设计的填充函数法，或隧道算法的使用，他们往往依赖于几个关键的参数是不同的fi邪教的预估中的应用，如在极小的存在和上下的目标函数的导数边界的间隔长度．因此，一个在理论上有效的辅助函数法是困难的fi邪教在实践中，由于参数的不确定性，实现．一一维函数的一个例子如下：

显然，1和2说明了“墨西哥帽”效应出现在辅助函数法（已填充函数法和拉伸函数法）在一个地方点x∗=4.60095．不必要的影响，即引入新的局部极小值，通过参数设置不当等引起的．新推出的局部极小值将增加原问题的复杂性和影响算法的全局搜索．

因此，一个有效的参数调节方便的辅助功能的方法是值得研究的．基于此，在本文中，我们给出了一个简单的两阶段的函数变换方法，转换1398纽约王骥，J.S.张/数学和计算机和数学建模47（2008）1396–1410．

*=4.60095的功能定义（3）．“墨西哥帽”效应出现在两个点原目标函数

迅速下降的收敛性和高的能力逐渐找到更好的解决方案，在更广阔的区域的一个辅助功能．这个想法是，填充函数法很相似．具体来说，我们首先发现的原始目标函数的局部最小．然后拉伸函数法和模拟填充函数法对目标函数进行连续的两个阶段的转换．构建的功能是在原来的目标函数值是高于获得一个在第一步区下降，而一个固定点必须在更好的区域存在．接下来，我们尽量减少辅助功能找到它的一个固定点（一个好点的

比局部极小获得之前），然后下一个局部优化的出发点．我们重复这个过程直到终止．在新方法中，参数容易设置，例如两个常数可以被预处理，由于辅助函数的性质是不依靠不同的参数来实现，虽然两个参数中引入辅助函数．上一集的尺寸为50，与其他方法的比较表明，新的算法是更有效的标准测试问题的数值试验．

Anewconstructingauxiliaryfunctionmethodforglobal

optimization

Nonlinearfunctionoptimizationproblemswhichpossessmanylocalminimizersintheirsearchspacesarewidespreadinapplicationssuchasengineeringdesign,molecularbiology,andneuralnetworktraining.Althoughtheexistingtraditionalmethodssuchasthesteepestdescentmethod,Newtonmethod,quasiNewtonmethods,trustregionmethod,andconjugategradientmethodconvergerapidlyandcanfindthesolutionswithhighprecisionforcontinuouslydifferentiablefunctions,theyrelyheavilyontheinitialpointandthequalityofthefinalglobalsolutionishardtoguarantee.Theexistingdifficultyinglobaloptimizationpreventsmanysubjectsfromdevelopingfurther.Therefore,globaloptimizationgenerallybecomesachallengingcomputationaltaskforresearchers.

Generallyspeaking,thedifficultyindesigninganalgorithmonglobaloptimizationisduetotworeasons:

Oneishowtodeterminethattheobtainedminimumisaglobalone（whentheglobalminimumisnotknowninadvance）,andtheotheristhathowtojumpfromtheobtainedminimumtoabetterone.Intreatingthefirstproblem,astoppingrulenamedtheBayesinterminationconditionhasbeenreported.Manyrecentlyproposedalgorithmsaimatdealingwiththesecondproblem.Generally,thesemethodscanbeclassfiedintotwomaincategories,namely:

（i）deterministicmethods,and（ii）stochasticmethods.Thestochasticmethodsarebasedonbiologyorstatisticalphysics,whichjumptothelocalminimumbyusingaprobabilitybasedapproach.Thesemethodsincludegeneticalgorithm（GA）,simulatedannealingmethod（SA）andparticleswarmoptimizationmethod（PSO）.Althoughthesemethodshavetheiruses,theyoftenconvergeslowlyandfindingasolutionwithhigherprecisionistimeconsuming.Theyareeasiertoimplementandtosolvecombinationaloptimizationproblems.However,deterministicmethodssuchasthefilledfunctionmethod,tunnelingmethod,etc,convergemorerapidly,andcanoftenfindasolutionwithahigherprecision.Thesemethodsoftenrelyonmodifyingtheobjectivefunctiontoafunctionwith“fewer”or“lower”localminimizersthantheoriginalobjectivefunction,andthendesignalgorithmstominimizethemodifiedfunctiontoescapefromthefoundlocalminimumtoabetterone.

Amongthereferenceddeterministicalgorithms,thediffusionequationmethod,theeffectiveenergymethod,andintegraltransformschemeapproximatethecoarsestructureoftheoriginalobjectivefunctionbyasetofsmoothedfunctionswith“fewer”minimizers.Thesemethodsmodifytheobjectivefunctionviaintegrationoftheoriginalobjectivefunction.Suchintegrationsaretooexpensivetoimplement,andthefinalsolutionoftheauxiliaryfunctionhastobetracedtotheminimumoftheoriginalobjectivefunction,whereasthetracedresultmaybenotthetrueglobalminimumoftheproblem.Theterminalrepellerunconstrainedsub-energytunnelingmethodandthemethodofhybridizationofthegradientdescentalgorithmwiththedynamictunnelingmethodmodifiestheobjectivefunctionbasedonthedynamicsystems’stabilitytheoryforglobaloptimization.Thesemethodshavetointegrateadynamicsystemandthecorrespondingcomputationistimeconsuming,especiallywiththeincreaseofthedimensionoftheobjectivefunction,sincetheirbetterpointisfoundthroughsearchingalongeachcoordinatetilltermination.Thestretchingfunctiontechniqueisanauxiliaryfunctionmethodwhichusestheobtainedinformationinprevioussearchestostretchtheobjectivefunctionandhelpthealgorithmtoescapefromthelocalminimummoreeffectively.ThistechniquehasbeenincorporatedintothePSOtoimproveitssuccessrateoffindingglobalminima.However,thishybridalgorithmisconstructedonastochasticmethod,whichconvergesslowlyandappliesmoreeasilytotheproblemwithalowerdimension.Thefilledfunctionmethodisanotherauxiliaryfunctionmethodwhichmodifiestheobjectivefunctionasafilledfunction,andthenfindsthebetterlocalminimagraduallybyoptimizingthefilledfunctionsconstructedontheobtainedminima.Thefilledfunctionmethodprovidesuswithagoodideatousethelocaloptimizationtechniquestosolveglobaloptimizationproblems.Ifthedifficultyinestimatingtheparameterscanbesolvedandthedesignedfilledfunctionscanbeappliedtohigherdimensionalfunctions,thefilledfunctionsapproachesintheliteraturewillbepromising.Thetunnelingmethodmodifiestheobjectivefunction,whichensuresthenextstartingpointwithequalfunctionvaluetotheobtainedminimumtobeawayfromtheobtainedone,andthustheprobabilityoffindingtheglobalminimumisincreased.Asequentialconversationmethod（SCM）transformstheobjectivefunctionintoonewhichhasnolocalminimaorstationarypointsintheregionwherethefunctionvaluesarehigherthantheonesobtained,exceptfortheprefixedvalues.Thismethodseemspromisingiftheunwillingeffectcausedbytheprefixedpointisexcluded.

Nomatterwhetherthestretchingfunctionmethod,thealreadydesignedfilledfunctionmethod,orthetunnelingalgorithmareused,theyoftenrelyonseveralkeyparameterswhicharedifficulttoestimateinadvanceinapplications,suchasthelengthoftheintervalswheretheminimizersexistandthelowerorupperboundariesofthederivativeoftheobjectivefunction.Therefore,aneffectiveauxiliaryfunctionmethodintheoryisdifficulttoimplementinpracticeduetotheuncertaintyoftheparameters.Anexampleofaonedimensionalfunctionisshownasfollows:

Figs.1and2illustratethata“Mexicanhat”effectappearsintheauxiliaryfunctionmethod（filledfunctionmethodandstretchingfunctionmethod）atonelocalpointx∗=4.60095.Theunwantedeffect,namelythatofintroducingnewlocalminima,iscausedbyimproperparametersetting.Thenewlyintroducedlocalminimawillincreasethecomplexityoftheoriginalproblemandaffecttheglobalsearchofalgorithm.

Therefore,aneffectiveandefficientauxiliaryfunctionmethodwitheasilyadjustingparametersisworthinvestigating.Basedonthis,inthispaper,wegiveasimpletwo-stagefunctiontransformationmethodwhichconverts1398Y.-J.Wang,J.-S.Zhang/MathematicalandComputerModelling47（2008）1396–1410．

Fig.1.Afilledfunction（leftplot）andastretchingfunction（rightplot）constructedatx

∗=4.60095ofthefunctiondefinedin（3）.A“Mexicanhat”effectappearsinthetwoplots.theoriginalobjectivefunctionf（x）intoanauxiliaryfunctionwithrapidlydescendingconvergenceandahighabilitytograduallyfindbettersolutionsinmorepromisingregions.Theideaisverysimilartothatofthefilledfunctionmethod.Specifically,wefirstlyfindalocalminimumoftheoriginalobjectivefunction.Thenthestretchingfunctiontechniqueandananalogfilledfunctionmethodisemployedtoexecuteaconsecutivetwostagetransformationontheobjectivefunction.Theconstructedfunctionisalwaysdescendingintheregionwheretheoriginalobjectivefunctionvaluesarehigherthantheobtainedoneinthefirststep,whileastationarypointmustexistinthebetterregion.Next,weminimizetheauxiliaryfunctiontofindoneofitsstationarypoints（abetterpointoff（x）thanthelocalminimizerobtainedbefore）,whichisthenthestartingpointforanextlocaloptimization.Werepeattheprocedureuntiltermination.Inthenewmethod,theparametersareeasytoset,e.g.twoconstantscanbeprefixedtothem,becausethepropertiesoftheauxiliaryfunctionarenotrealizedbyrelyingonthevaryingparameters,althoughtwoparametersareintroducedintheauxiliaryfunction.Numericalexperimentsonas