备考高考数学 真题+模拟新题分类汇编 解析几何 理.docx
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备考高考数学真题+模拟新题分类汇编解析几何理
解析几何
H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
20.H1,H5,H8[2013·新课标全国卷Ⅱ]平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:
+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.
(1)求M的方程;
(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.
20.解:
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则
+=1,+=1.
=-1.
由此可得=-=1.
因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,=,
所以a2=2b2.
又由题意知,M的右焦点为(,0),故a2-b2=3.
因此a2=6,b2=3.
所以M的方程为+=1.
(2)由
解得或
因此|AB|=.
由题意可设直线CD的方程为y=x+n- 设C(x3,y3),D(x4,y4). 由得3x2+4nx+2n2-6=0, 于是x3,4=. 因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=|x4-x3|=. 由已知,四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|=. 当n=0时,S取得最大值,最大值为. 所以四边形ACBD面积的最大值为. 9.E5,H1[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=( ) A.B.C.1D.2 9.B [解析]直线y=a(x-3)过定点(3,0).画出可行域如图,易得A(1,-2a),B(3,0),C(1,2).作出直线y=-2x,平移易知直线过A点时直线在y轴上的截距最小,即2+(-2a)=1a=.答案为B. H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 8.H2[2013·湖南卷]在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图1-1所示),若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( ) 图1-1 A.2B.1 C.D. 8.D [解析]不妨设AP=m(0≤m≤4),建立坐标系,设AB为x轴,AC为y轴,则A(0,0),B(4,0),C(0,4),Q(xQ,yQ),R(0,yR),P(m,0),可知△ABC的重心为G,根据反射性质,可知P关于y轴的对称点P1(-m,0)在直线QR上,P关于x+y=4的对称点P2(4,4-m)在直线RQ上,则QR的方程为=,将G代入可得3m2-4m=0,即m=或m=0(舍),选D. 12.H2,E1[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( ) A.(0,1)B. C.D. 12.B [解析]方法一: 易得△ABC面积为1,利用极限位置和特值法.当a=0时,易得b=1-;当a=时,易得b=;当a=1时,易得b=-1>.故选B. 方法二: (直接法)y=,y=ax+b与x轴交于,结合图形与a>0,××=(a+b)2=a(a+1)>0a=. ∵a>0,∴>0b<,当a=0时,极限位置易得b=1-,故答案为B. 7.H2,H4[2013·重庆卷]已知圆C1: (x-2)2+(y-3)2=1,圆C2: (x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.5-4B.-1 C.6-2D. 7.A [解析]如图,作圆C1关于x轴的对称圆C′1: (x-2)2+(y+3)2=1,则|PM|+|PN|=|PN|+|PM′|.由图可知当C2,N,P,M′,C′1在同一直线上时,|PM|+|PN|=|PN|+|PM′|取得最小值,即为|C′1C2|-1-3=5-4,故选A. 图1-3 H3 圆的方程 20.H3,H10,H8,H5[2013·新课标全国卷Ⅰ]已知圆M: (x+1)2+y2=1,圆N: (x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 20.解: 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R. (1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以 |PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2). (2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2. 若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q, 则=,可求得Q(-4,0),所以可设l: y=k(x+4).由l与圆M相切得=1,解得k=±.当k=时,将y=x+代入+=1, 并整理得7x2+8x-8=0.解得x1,2=. 所以|AB|=|x2-x1|=. 当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=. 综上,|AB|=2或|AB|=. 21.F2、F3、H3、H5,H8[2013·重庆卷]如图1-9所示,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A′两点,|AA′|=4. (1)求该椭圆的标准方程; (2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P′,过P,P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外,若PQ⊥P′Q,求圆Q的标准方程. 图1-9 21.解: (1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1. 由e=得b2==8,从而a2==16. 故该椭圆的标准方程为+=1. (2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+x+8 =(x-2x0)2-x+8(x∈[-4,4]). 设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取得最小值.又因x1∈(-4,4),所以上式当x=2x0时取得最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-x. 因为PQ⊥P′Q,且P′(x1,-y1),所以·′=(x1-x0,y1)·(x1-x0,-y1)=0, 即(x1-x0)2-y=0.由椭圆方程及x1=2x0得x-8=0, 解得x1=±,x0==±,从而|QP|2=8-x=. 故这样的圆有两个,其标准方程分别为 +y2=,+y2=. H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 9.H4[2013·江西卷]过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于( ) A.B.- C.±D.- 9.B [解析]AB: y=k(x-),k<0,圆心到直线的距离d=<1,得-1 |AB|=2=2,S△AOB=|AB|d=,-1 9.H4[2013·山东卷]过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( ) A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0 9.A [解析]方法一: 设点P(3,1),圆心为C,设过点P的圆C的切线方程为y-1=k,由题意得=1,解之得k=0或,即切线方程为y=1或4x-3y-9=0.联立得一切点为,又∵kPC==,∴kAB=-=-2,即弦AB所在直线方程为y-1=-2,整理得2x+y-3=0. 方法二: 设点P(3,1),圆心为C,以PC为直径的圆的方程为+y=0,整理得x2-4x+y2-y+3=0,联立①,②两式相减得2x+y-3=0. 11.H7,H4[2013·新课标全国卷Ⅱ]设抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 11.C [解析]抛物线焦点为F,0,由抛物线的定义,设M5-,,设N点坐标为(0,2). 因为圆过点N(0,2),故NF⊥NM×=-1,① 设=t,则①式可化为t2-4t+8=0t=2p2-10p+16=0p=2或p=8. 图1-5 21.H4,H5[2013·浙江卷]如图1-5所示,点P(0,-1)是椭圆C1: +=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2: x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D. (1)求椭圆C1的方程; (2)求△ABD面积取得最大值时直线l1的方程. 21.解: (1)由题意得 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为y=kx-1. 又圆C2: x2+y2=4,故点O到直线l1的距离d=, 所以|AB|=2=2. 又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0. 由 消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0. 故x0=-, 所以|PD|=. 设△ABD的面积为S,则S=·|AB|·|PD|=, 所以S=≤=,当且仅当k=±时取等号. 所以所求直线l1的方程为y=±x-1. 7.H2,H4[2013·重庆卷]已知圆C1: (x-2)2+(y-3)2=1,圆C2: (x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.5-4B.-1 C.6-2D. 7.A [解析]如图,作圆C1关于x轴的对称圆C′1: (x-2)2+(y+3)2=1,则|PM|+|PN|=|PN|+|PM′|.由图可知当C2,N,P,M′,C′1在同一直线上时,|PM|+|PN|=|PN|+|PM′|取得最小值,即为|C′1C2|-1-3=5-4,故选A. 图1-3 H5 椭圆及其几何性质 20.H3,H10,H8,H5[2013·新课标全国卷Ⅰ]已知圆M: (x+1)2+y2=1,圆N: (x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 20.解: 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R. (1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以 |PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2). (2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2. 若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q, 则=,可求得Q(-4,0),所以可设l: y=k(x+4).由l与圆M相切得=1,解得k=±.当k=时,将y=x+代入+=1, 并整理得7x2+8x-8=0.解得x1,2=. 所以|AB|=|x2-x1|=. 当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=. 综上,|AB|=2或|AB|=. 10.H5[2013·新课标全国卷Ⅰ]已知椭圆E: +=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( ) A.+=1B.+=1 C.+=1D.+=1 10.D [解析]由题意知kAB=,设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=0. 由AB的中点是(1,-1)知 ∴==,联立a2-b2=9,解得a2=18,b2=9,故椭圆E的方程为+=1. 18.H5、H8、H9[2013·安徽卷]设椭圆E: +=1的焦点在x轴上. (1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程; (2)设F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q.证明: 当a变化时,点P在某定直线上. 18.解: (1)因为焦距为1,所以2a2-1=,解得a2=. 故椭圆E的方程为+=1. (2)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=.由题设知x0≠c, 则直线F1P的斜率kF1P=, 直线F2P的斜率kF2P=, 故直线F2P的方程为y=(x-c). x=0时,y=,即点Q的坐标为0,. 因此,直线F1Q的斜率为kF1Q=. 由于F1P⊥F1Q,所以kF1P·kF1Q=·=-1. 化简得y=x-(2a2-1).① 将①代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上. 14.H5,H8[2013·福建卷]椭圆Γ: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于__________. 14.-1 [解析]如图,△MF1F2中,∵∠MF1F2=60°,∴∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°,又|F1F2|=2c,∴|MF1|=c,|MF2|=c,∴2a=|MF1|+|MF2|=c+c,得e===-1. 12.H5[2013·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为+=1(a>0,b>0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2.若d2=d1,则椭圆C的离心率为________. 12. [解析]由题意知F(c,0),l: x=,不妨设B(0,b),则直线BF: +=1,即bx+cy-bc=0. 于是d1==, d2=-c==. 由d2=d1,得=6, 化简得6c4+a2c2-a4=0, 即6e4+e2-1=0, 解得e2=或e2=-(舍去), 故e=,故椭圆C的离心率为. 20. 图1-7 H5,H8[2013·江西卷]如图1-7所示,椭圆C: +=1(a>b>0)经过点P,离心率e=,直线l的方程为x=4. (1)求椭圆C的方程; (2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问: 是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3? 若存在,求λ的值;若不存在,说明理由. 解: (1)由P在椭圆上得+=1,① 依题设知a=2c,则b2=3c2,② ②代入①解得c2=1,a2=4,b2=3. 故椭圆C的方程为+=1. (2)方法一: 由题意可设AB的斜率为k,则 直线AB的方程为y=k(x-1),③ 代入椭圆方程3x2+4y2=12并整理,得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1+x2=,x1x2=,④ 在方程③中令x=4得,M的坐标为(4,3k). 从而k1=,k2=,k3==k-, 注意到A,F,B共线,则有k=kAF=kBF,即有==k,所以k1+k2=+=+- =2k-·,⑤ ④代入⑤得k1+k2=2k-·=2k-1. 又k3=k-,所以k1+k2=2k3,故存在常数λ=2符合题意. 方法二: 设B(x0,y0)(x0≠1),则直线FB的方程为: y=(x-1). 令x=4,求得M. 从而直线PM的斜率为k3=, 联立得A, 则直线PA的斜率为k1=,直线PB的斜率为k2=, 所以k1+k2=+==2k3, 故存在常数λ=2符合题意. 19.H5,H10[2013·北京卷]已知A,B,C是椭圆W: +y2=1上的三个点,O是坐标原点. (1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由. 19.解: (1)椭圆W: +y2=1的右顶点B的坐标为(2,0). 因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,m),代入椭圆方程得+m2=1,即m=±. 所以菱形OABC的面积是 |OB|·|AC|=×2×2|m|=. (2)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0). 由消y并整理得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设A(x1,y1),C(x2,y2),则 =-,=k·+m=. 所以AC的中点为M. 因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为-. 因为k·≠-1,所以AC与OB不垂直. 所以四边形OABC不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. 15.H5[2013·辽宁卷]已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,联结AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e=________. 15. [解析]设椭圆的右焦点为Q,在三角形ABF中利用余弦定理可以得到|BF|=8,利用椭圆的对称性可以得到|AQ|=8,则△FAQ为直角三角形,然后利用椭圆的定义可以得到2a=14,2c=10,得e=. 15.H5[2013·全国卷]记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是________. 15. [解析]已知不等式组表示的平面区域如图1-2中的三角形ABC及其内部,直线y=a(x+1)是过点(-1,0)斜率为a的直线,该直线与区域D有公共点时,a的最小值为MA的斜率,最大值为MB的斜率,其中点A(1,1),B(0,4),故MA的斜率等于=,MB的斜率等于=4,故实数a的取值范围是. 8.H5、H8[2013·全国卷]椭圆C: +=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是( ) A.B. C.D. 8.B [解析]椭圆的左、右顶点分别为(-2,0),(2,0),设P(x0,y0),则kPA1kPA2=·=,而+=1,即y=(4-x),所以kPA1kPA2=-,所以kPA1=-∈. 22.H5[2013·山东卷]椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程; (2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,联结PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围; (3)在 (2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明+为定值,并求出这个定值. 22.解: (1)由于c2=a2-b2,将x=-c代入椭圆方程+=1,得y=±.由题意知=1,即a=2b2. 又e==, 所以a=2,b=1. 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)方法一: 设P(x0,y0)(y0≠0). 又F1(-,0),F2(,0), 所以直线PF1,PF2的方程分别为 lPF1: y0x-(x0+)y+y0=0, lPF2: y0x-(x0-)y-y0=0. 由题意知=. 由于点P在椭圆上,所以+y=1, 所以=. 因为- 可得=. 所以m=x0. 因此- 方法二: 设P(x0,y0).当0≤x0<2时, ①当x0=时,直线PF2的斜率不存在,易知P,或P. 若P,则直线PF1的方程为x-4y+=0. 由题意得=-m, 因为- 所以m=. 若P,同理可得m=. ②当x0≠时, 设直线PF1,PF2的方程分别为y=k1(x+),y=k2(x-). 由题意知=, 所以=. 因为+y=1, 并且k1=,k2=, 所以= = =, 即=. 因为- 所以=. 整理得m=, 故0≤m<且m≠. 综合①②可得0≤m<. 当-2 综上所述,m的取值范围是. (3)设P(x0,y0)(y0≠0),则直线l的方程为y-y0=k(x-x0). 联立 整理得(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(y-2kx0y0+k2x-1)=0. 由题意Δ=0, 即(4-x)k2+2x0y0k+1-y=0. 又+y=1, 所以16yk2+8x0y0k+x=0, 故k=-. 由 (2)知+=+=, 所以+==·=-8, 因此+为定值,这个定值为-8. 20.H5,H8[2013·四川卷]已知椭圆C: +=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P. (1)求椭圆C的离心率; (2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且=+,求点Q的轨迹方程. 20.解: (1)由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=+=2. 所以a=, 又由已知,c=1, 所以椭圆C的离心率e===. (2)由 (1)知,椭圆C的方程为+y2=1. 设点Q的坐标为(x,y). ①当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为. ②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2. 因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),则|AM|2=(1+k2)x,|AN|2=(1+k2)x. 又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2. 由=+,得 =+, 即=+=.① 将y=kx+2代入+y2=1中,得 (2k2+1)x2+8kx+6=0.② 由Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>. 由②可知,x1+x2=,x1x2=, 代入①中并化简,得 x2=.③ 因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=,代入③中并化简,得10(y-2)2-3x2=18. 由③及k2>,可知0 即x∈∪. 又满足10(y-2)2-3x2=18, 故点Q的轨迹方程为10(y-2)2-3x2
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