数学模型-第03章(第五版).pptx
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第三章简单优化模型,优化工程技术、经济管理、科学研究中的常见问题.,用数学建模方法解决优化问题的过程,简单优化模型归结为函数极值问题,用微分法求解.,材料强度最大,运输费用最低,利润最高,风险最小,优化目标与决策,模型假设与建立,数学求解与分析,属于数学规划的优化模型在第四章讨论.,3.1存贮模型3.2森林救火3.3倾倒的啤酒杯3.4铅球掷远3.5不买贵的只买对的3.6血管分支3.7冰山运输3.8影院里的视角和仰角3.9易拉罐形状和尺寸的最优设计,第三章简单优化模型,3.1存贮模型,问题,配件厂为装配线生产若干种产品,轮换产品时因更换设备要付生产准备费,产量大于需求时要付贮存费.该厂生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出.,已知某产品日需求量100件,生产准备费5000元,贮存费每日每件1元.试安排该产品的生产计划,即多少天生产一次(生产周期),每次产量多少,使总费用最小.,要求,不只是回答问题,而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系.,问题分析与思考,每天生产一次,每次100件,无贮存费,准备费5000元.,日需求100件,准备费5000元,贮存费每日每件1元.,10天生产一次,每次1000件,贮存费900+800+100=4500元,准备费5000元,总计9500元.,50天生产一次,每次5000件,贮存费4900+4800+100=122500元,准备费5000元,总计127500元.,平均每天费用950元,平均每天费用2550元,10天生产一次,平均每天费用最小吗?
每天费用5000元,是一个优化问题,关键在建立目标函数.,显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.,目标函数每天总费用的平均值.,周期短,产量小,周期长,产量大,问题分析与思考,模型假设,1.产品每天的需求量为常数r;,2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2;,3.T天(一周期)生产一次,每次生产Q件,当贮存量降为零时,Q件产品立即生产出来(生产时间不计);,建模目的,r,c1,c2已知,求T,Q使每天总费用的平均值最小.,4.为方便起见,时间和产量都作为连续量处理.,模型建立,贮存量表示为时间的函数q(t),t=0生产Q件,q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减,q(T)=0.,一周期总费用,每天总费用平均值(目标函数),离散问题连续化,一周期贮存费为,A,=QT/2,模型求解,求T使,模型解释,定性分析,敏感性分析,参数c1,c2,r的微小变化对T,Q的影响,T对c1的(相对)敏感度,c1增加1%,T增加0.5%,S(T,c2)=1/2,S(T,r)=1/2,c2或r增加1%,T减少0.5%,经济批量订货公式(EOQ公式),用于订货供应情况:
不允许缺货的存贮模型,模型应用,回答原问题,c1=5000,c2=1,r=100,每天需求量r,每次订货费c1,每天每件贮存费c2,T天(周期)订货一次,每次订货Q件,当贮存量降到零时,Q件立即到货.,思考:
为什么与前面计算的C=950元有差别?
允许缺货的存贮模型,A,B,当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货,造成损失.,原模型假设:
贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货).,现假设:
允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足.,周期T,t=T1贮存量降到零,一周期总费用,一周期贮存费,一周期缺货费,每天总费用平均值(目标函数),一周期总费用,求T,Q,为与不允许缺货的存贮模型相比,T记作T,Q记作Q.,允许缺货的存贮模型,不允许缺货模型,记,允许缺货模型,允许缺货模型,注意:
缺货需补足,Q每周期初的存贮量,每周期的生产量R(或订货量),Q不允许缺货时的产量(或订货量),存贮模型,存贮模型(EOQ公式)是研究批量生产计划的重要理论基础,也有实际应用.,建模中未考虑生产费用,为什么?
在什么条件下可以不考虑?
建模中假设生产能力为无限大(生产时间不计),如果生产能力有限(是大于需求量的常数),应作怎样的改动?
3.2森林救火,森林失火后,要确定派出消防队员的数量.队员多,森林损失小,救援费用大;队员少,森林损失大,救援费用小.综合考虑损失费和救援费,确定队员数量.,分析,问题,记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).,损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.,救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.,存在恰当的x,使f1(x),f2(x)之和最小.,关键是对B(t)作出合理的简化假设.,分析,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形.,分析B(t)比较困难,转而讨论单位时间烧毁面积dB/dt(森林烧毁的速度).,模型假设,3)f1(x)与B(t2)成正比,系数c1(烧毁单位面积损失费),1)0tt1,dB/dt与t成正比,系数(火势蔓延速度).,2)t1tt2,降为x(为队员的平均灭火速度).,4)每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3.,假设1)的解释,火势以失火点为中心,均匀向四周呈圆形蔓延,半径r与t成正比.,模型建立,目标函数总费用,模型建立,目标函数总费用,模型求解,求x使C(x)最小,其中c1,c2,c3,t1,为已知参数,c2x,c1,t1,x,c3,x,c1烧毁单位面积损失费,c2每个队员单位时间灭火费,c3每个队员一次性费用,t1开始救火时刻,火势蔓延速度,每个队员平均灭火速度.,为什么?
结果解释,/是火势不继续蔓延的最少队员数,模型应用,费用参数c1,c2,c3已知,由森林类型、队员能力等因素决定,可设置一系列数值备查.,模型可决定队员数量x,开始救火时刻t1可估计,评注,在风力的影响较大时“森林烧毁速度dB/dt与t成正比”的假设需要重新考虑.,队员灭火速度应该与开始救火时的火势有关.,不平坦处满杯啤酒容易倾倒.,杯子中央稍下一点的位置.,重心有一个最低点啤酒杯容易放稳的位置.,饮酒时重心先降低,再升高,回到中央.,建立数学模型描述啤酒杯的重心变化的规律,找出重心最低点的位置,讨论决定最低点的因素.,重心太高!
满杯时重心在哪里?
空杯时重心在哪里?
与满杯时重心相同.,倒酒时重心先升高,再降低,回到中央.,3.3倾倒的啤酒杯,问题分析与模型假设,s(x),最简单的啤酒杯高度为1的圆柱体.,沿中轴线建立坐标轴x,倒酒时液面高度从x=0到x=1.,假设:
啤酒和杯子材料均匀.,w2空杯侧壁质量w3空杯底面质量,空杯重心由w2和w3决定,与x无关.,重心位置沿x轴变化,记作s(x).,w1啤酒(满杯)质量,s1=x/2,s2=1/2,液面高度x时啤酒质量w1x,啤酒重心位置s1=x/2,问题分析与模型假设,s(x),w1啤酒(满杯)质量w2空杯侧壁质量,w3空杯底面质量,空杯重心位置s2=1/2,忽略空杯底面质量w3,啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯重心合成.,啤酒杯重心模型一,s1=x/2,s2=1/2,s(x),s=s(x)液面高度x的啤酒杯重心,啤酒质量w1x,空杯质量w2,啤酒重心s1,空杯重心s2,力矩平衡,s1=x/2,s2=1/2,a=w2/w1,啤酒杯重心模型一,啤酒杯重心s(x)只与质量比a有关,a=w2/w1,w1啤酒质量w2空杯质量,a=0.3,x=0.35左右s最小,即重心最低.,对于每个a,s(x)有一最小点.,x=0.35,s(x)=2+2(+),啤酒杯重心模型一,a=w2/w1,微分法求解s极值问题,液面高度为x时啤酒杯重心处于最低位置.,x由质量比a决定,s(x)=2+2(+),结果分析,半升啤酒杯w1=500g,空杯质量w2取决于材料(纸杯、塑料杯、玻璃杯).,一杯啤酒约剩1/3时重心最低,最不容易倾倒!
设w2=150g,w2ax,空杯越重,重心最低时的液面越高.,s(x)=2+2(+),重心最低位置x由比值a决定,结果分析,=x,啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.,意料之外?
情理之中!
直观解释,x=0时s=s2=1/2,结果分析,啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.,数学分析,ds/dx与(x-s)同号.,xs时ds/dx0s,xs时ds/dx0s,x=s时ds/dx=0,s达到最小值.,x,啤酒杯重心模型二,s1=x/2,s2=1/2,s(x),s3=0,考虑空杯底面质量w3,底面厚度杯子高度,力矩平衡,s1=x/2,s2=1/2,a=w2/w1,b=w3/w1,b=0时与模型一相同.,啤酒杯重心模型二,a=w2/w1b=w3/w1,=s(x),啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.,与模型一a=0.3时x=0.3245比较,设侧壁和底面的厚度和材质相同,侧壁高度h,底面直径d,h=2d,小结与评注,对于一个饶有生活情趣的现象建立数学模型:
对杯子作适当的简化假设.,用基本物理知识构造优化模型.,用导数、极限、作图等方法给出求解结果.,对结果作数学分析并给予实际解释.,啤酒杯重心模型二,啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.,啤酒杯重心模型一,既在意料之外又在情理之中的结果.,函数s=s(x)的最小点x*是不动点,即x*=s(x*),有趣的现象:
只要啤酒杯是旋转体(如圆台或球台),上述结果就成立!
旋转体侧壁由任意曲线绕中轴线旋转而成.,小结与评注,3.4铅球掷远,铅球掷远起源于14世纪欧洲炮兵推掷炮弹的游戏和比赛.,男子铅球早在1896年第1届奥运会上就被列为比赛项目.,影响投掷距离的因素:
找出最佳出手角度.,定量分析投掷距离与这些因素的关系.,研究这些因素的微小改变对投掷距离的影响.,常识判断,初始速度,出手角度,出手高度,问题分析,x,男子铅球直径11至13cm,重量为16磅(合7.26kg).,在短暂的飞行中所受的阻力可以忽略.,将铅球视为一个质点,以一定的初始速度和出手角度投出后,在重力作用下作斜抛运动.,影响投掷距离的因素:
初始速度v,出手角度,出手高度h,模型一,不考虑铅球出手高度,初始速度v与x轴的夹角,g重力加速度,t=0时铅球从坐标原点O投出.,s投掷距离,斜抛运动的基本定律,模型一,出手角度=/4时,最佳出手角度/4与初始速度v无关.,“物体以45度角抛出的距离最远”,对任何出手角度,投掷距离s与v2成正比.,初始速度的提高能使投掷距离大幅度地增加.,结果分析,投掷距离最大.,模型二,铅球出手高度为h,t=0时铅球从(0,h)投出,h=0时与模型一相同.,模型二,直接用求最佳出手角度计算太繁.,最佳出手角度,最远投掷距离,模型二,最佳出手角度,最远投掷距离,最佳出手角度/4,大致上sv2sh1/2,提高v对s的增加远比提高h有效.,v,h,模型二的最佳出手角度及最远投掷距离,h身高+20cm,v810m/s(普通人)v1013m/s(运动员),最佳出手角度约400,模型二s比模型一约增2m.,正是一个出手高度h.,敏感性分析,v,h的微小改变对s的影响,模型一,数值计算,v提高5%,=1.1025s,s增加约10%,变化5%,45042.750(47.250),s仅减少约0.3%,模型一,理论分析,v/vv的相对微小改变,s/ss的相对微小改变,vdv,sds,=42.750,敏感性分析,v,h的微小改变对s的影响,/的相对微小改变,d,v的微小改变对s的影响比大得多.,微分法,s增加0.2m(1.5%),s提高2m以上(15%),模型二,数值计算,h增加0.2m(10%),v提高1m/s(10%),模型二,理论分析,v=12m/s,h=2.0m,v的微小改变对s的影响比h大得多.,敏感性分析是数学建模的重要环节.,对于模型y=f(x),x通常难以控制到设定的数值x0.,微分法,g(x0)越大,x改变dx/x引起y改变dy/y越大(x=x0附近).
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- 数学模型 03 第五