综合
(1)、
(2)得a(0,1)(3,+)
22.解:
(1),故:
f(x)=a-1
(2)F(x)=a+2a-3.令:
a=t
则y=t+2t-3(t>0).而t=0时,y=-3
故y(-3,+)
2019-2020年高中数学指数函数及其性质教案
(一)新课标人教版必修1(B)
三维目标
一、知识与技能
1.掌握指数函数的概念、图象和性质.
2.能借助计算机或计算器画指数函数的图象.
3.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质.
二、过程与方法
1.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程,数形结合的方法等.
2.通过探讨指数函数的底数a>0,且a≠1的理由,明确数学概念的严谨性和科学性,做一个具备严谨科学态度的人.
三、情感态度与价值观
1.通过实例引入指数函数,激发学生学习指数函数的兴趣,体会指数函数是一类重要的函数模型,并且有广泛的用途,逐步培养学生的应用意识.
2.在教学过程中,通过现代信息技术的合理应用,让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段.
教学重点
指数函数的概念和性质.
教学难点
用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.
教具准备
多媒体课件、投影仪、打印好的作业.
教学过程
一、以生活实例,引入新课
(多媒体显示如下材料)
材料1:
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x的函数关系是什么?
(生思考,师组织学生交流各自的想法,捕捉学生交流中与下列结论有关的信息,并简单板书)
结论:
材料1中y和x的关系为y=2x.
材料2:
当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?
(生思考)
生:
P=().
师:
你能发现关系式y=2x,P=()有什么相同的地方吗?
(生讨论,师及时总结得到如下结论)
我们发现:
在关系式y=2x和P=()中,每给一个自变量都有唯一的一个函数值和它对应,因此关系式y=2x和P=()都是函数关系式,且函数y=2x和函数P=()在形式上是相同的,解析式的右边都是指数式,且自变量都在指数位置上.
师:
你能从以上两个解析式中抽象出一个更具有一般性的函数模型吗?
(生交流,师总结得出如下结论)
生:
用字母a来代替2与().
结论:
函数y=2x和函数P=()都是函数y=ax的具体形式.函数y=ax是一类重要的函数模型,并且有广泛的用途,它可以解决好多生活中的实际问题,这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型——指数函数.
(引入新课,书写课题)
二、讲解新课
(一)指数函数的概念
(师结合引入,给出指数函数的定义)
一般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.
合作探究:
(1)定义域为什么是实数集?
(生思考,师适时点拨,给出如下解释)
知识拓展:
在a>0的前提下,x可以取任意的实数,所以函数的定义域是R.
(2)在函数解析式y=ax中为什么要规定a>0,a≠1?
(生思考,师适时点拨,给出如下解释,并明确指数函数的定义域是实数R)
知识拓展:
这是因为(ⅰ)a=0时,当x>0,ax恒等于0;当x≤0,ax无意义.
(ⅱ)a<0时,例如a=-,x=-,则ax=(-)无意义.
(ⅲ)a=1时,ax恒等于1,无研究价值.
所以规定a>0,且a≠1.
(3)判断下列函数是否是指数函数:
①y=2·3x;②y=3x-1;③y=x3;④y=-3x;⑤y=(-4)x;⑥y=πx;⑦y=4;⑧y=xx;⑨y=(2a-1)x(a>,且a≠1).
生:
只有⑥⑨为指数函数.
方法引导:
指数函数的形式就是y=ax,ax的系数是1,其他的位置不能有其他的系数,但要注意化简以后的形式.有些函数貌似指数函数,实际上却不是,例如y=ax+k(a>0,且a≠1,k∈Z);有些函数看起来不像指数函数,实际上却是指数函数,例如y=a-x(a>0,且a≠1),这是因为它的解析式可以等价化归为y=a-x=(a-1)x,其中a-1>0,且a-1≠1.如y=23x是指数函数,因为可以化简为y=8x.要注意幂底数的范围和自变量x所在的部位,即指数函数的自变量在指数位置上.
(二)指数函数的图象和性质
师:
指数函数y=ax,其中底数a是常数,指数x是自变量,幂y是函数.底数a有无穷多个取值,不可能逐一研究,研究方法是什么呢?
(生思考)
师:
要抓住典型的指数函数,分析典型,进而推广到一般的指数函数中去.那么选谁作典型呢?
生:
函数y=2x的图象.
师:
作图的基本方法是什么?
生:
列表、描点、连线.
借助多媒体手段画出图象.
师:
研究函数要考虑哪些性质?
生:
定义域、值域、单调性、奇偶性等.
师:
通过图象和解析式分析函数y=2x的性质应该如何呢?
生:
图象左右延伸,说明定义域为R;图象都分布在x轴的上方,说明值域为R+;图象上升,说明是增函数;不关于y轴对称也不关于原点对称,说明它既不是奇函数也不是偶函数.
师:
图象在数值上有些什么特点?
生:
通过图象不难发现y值分布的特点:
当x<0时,0<y<1;当x>0时,y>1;当x=0时,y=1.
合作探究:
是否所有的指数函数的图象均与y=2x的图象类似?
画出函数y=8x,y=3.5x,y=1.7x,y=0.8x的图象,你有什么发现呢?
(生思考,师适时点拨,给出如下结论)
结论:
y=0.8x的图象与其余三个图象差别很大,其余三个图象与y=2x的图象有点类似,说明还有一类指数函数的图象与y=2x有重大差异.
师:
类似地,从中选择一个具体函数进行研究,可选什么函数?
生:
我们选择函数y=()x的图象作典型.
作出函数y=()x的图象.
合作探究:
函数y=2x的图象和函数y=()x的图象的异同点.
(生思考,师适时点拨,给出如下结论)
一般地,指数函数y=ax在底数a>1及0<a<1这两种情况下的图象和性质如下表所示:
a>1
0<a<1
图象
性质
(1)定义域为(-∞,+∞);值域为(0,+∞)
(2)过点(0,1),即x=0时,y=a0=1
(3)若x>0,则ax>1;
若x<0,则0<ax<1
(3)若x>0,则0<ax<1;
若x<0,则ax>1
(4)在R上是增函数
(4)在R上是减函数
合作探究:
函数y=2x的图象和函数y=()x的图象有什么关系?
(生观察并讨论,给出如下结论)
结论:
函数y=2x的图象和函数y=()x的图象关于y轴对称.
师:
理由是什么呢?
能否给予证明?
证明:
因为函数y=()x=2-x,点(x,y)与(-x,y)关于y轴对称,所以y=2x的图象上的任意一点P(x,y)关于y轴的对称点P1(-x,y)都在y=()x的图象上,反之亦然.根据这种对称性就可以利用函数y=2x的图象得到函数y=()x的图象.
方法引导:
要证明两个函数f(x)与g(x)的图象关于某一直线成轴对称图形,要分两点证明:
(1)f(x)图象上任意一点关于直线的对称点都在g(x)的图象上;
(2)g(x)图象上的任意一点关于直线的对称点都在f(x)的图象上.
合作探究:
思考底数a的变化对图象的影响.
例如:
比较函数y=2x和y=10x的图象以及y=()x和y=()x的图象.
(生观察并讨论,给出如下结论)
结论:
在第一象限内,底数a越小,函数的图象越接近x轴.
合作探究:
如何快速地画出指数函数简图?
(学生讨论,交流各自的想法,师适时地归纳,得出如下注意点)
(1)要注意图象的分布区域:
指数函数的图象知分布在第一、二象限;
(2)注意函数图象的特征点:
无论底数取符合要求的任何值,函数图象均过定点(0,1);
(3)注意函数图象的变化趋势:
函数图向下逐渐接近x轴,但不能和x轴相交.
(三)例题讲解
【例1】求下列函数的定义域:
(1)y=8;
(2)y=.
(多媒体显示,师组织学生讨论完成)
师:
我们已经有过求函数定义域的一些实战经验,你觉得求函数定义域时哪些方面应该引起你的高度注意?
(生交流自己的想法,师归纳,得出如下结论)
(1)分式的分母不能为0;
(2)偶次根号的被开方数大于或等于0;
(3)0的0次幂没有意义.
师:
这些注意点在我们所要解决的问题中又没有出现,是否还有其他新的要求或限制条件?
(生讨论交流,并板演解答过程,师组织学生进行评析,规范学生解题)
解:
(1)∵2x-1≠0,∴x≠,原函数的定义域是{x|x∈R,x≠};
(2)∵1-()x≥0,∴()x≤1=()0.∵函数y=()x在定义域上单调递减,
∴x≥0.∴原函数的定义域是[0,+∞).
【例2】比较下列各题中两个值的大小:
(1)1.72.5,1.73;
(2)0.8-0.1,0.8-0.2;(3)1.70.3,0.93.1.
师:
你能发现题中所给的各式有哪些共同点和不同点吗?
这些特点能否给你解答该题有所启示呢?
(生讨论,师适时点拨,得出如下解析过程)
解:
(1)1.72.5,1.73可看作函数y=1.7x的两个函数值.
由于底数1.7>1,所以指数函数y=1.7x在R上是增函数.
因为2.5<3,所以1.72.5<1.73.
(2)0.8-0.1,0.8-0.2可看作函数y=0.8x的两个函数值.
由于底数0.8<1,所以指数函数y=0.8x在R上是减函数.
因为-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.
(3)因为1.70.3、0.93.1不能看作同一个指数函数的两个函数值,所以我们可以首先在这两个数值中间找一个数值,将这一个数值与原来两个数值分别比较大小,然后确定原来两个数值的大小关系.
由指数函数的性质知1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,所以1.70.3>0.93.1.
师:
问题解决了,通过解决这些问题,你有什么心得体会吗?
(生交流解题体会,师适时归纳总结,得出如下结论)
方法引导:
在解决比较两个数的大小问题时,一般情况下是将其看作是一个函数的两个函数值,利用函数的单调性比较之.当两个数不能直接比较时,我们可以将其与一个已知数进行比较大小,从而得出该两数的大小关系.
三、巩固练习
课本P68练习1、2
(生完成后,同桌之间互相交流解答过程)
1.略.
2.
(1){x|x≥2};
(2){x|x≠0}.
四、课堂小结
师:
通过本节课的学习,你觉得你都学到了哪些知识?
请同学们互相交流一下自己的收获,同时也让你们的同桌享受一下你所收获的喜悦.
(生交流,师简单板书,多媒体显示如下内容)
1.指数函数的定义以及指数函数的一般表达式的特征.
2.指数函数简图的作法以及应注意的地方.
3.指数函数的图象和性质.
一般地,指数函数y=ax在底数a>1及0<a<1这两种情况下的图象和性质如下表所示:
a>1
0<a<1
图象
性质
(1)定义域为(-∞,+∞);值域为(0,+∞)性质
(2)过点(0,1),即x=0时,y=a0=1
(3)若x>0,则ax>1;
若x<0,则0<ax<1
(3)若x>0,则0<ax<1;
若x<0,则ax>1
(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数
4.结合函数的图象说出函数的性质,这是一种重要的数学研究思想和研究方法——数形结合思想(方法).
5.a的取值范围是今后应用指数函数讨论问题的前提.
五、布置作业
板书设计
2.1.2指数函数及其性质
(1)
一、1.指数函数的概念
2.指数函数的图象和性质
二、例题评析
三、课堂小结
四、布置作业