数学考前每日一题.docx
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数学考前每日一题.docx
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数学考前每日一题
1
在⊙O中,C是弧AB的中点,D是弧AC上的任一点(与点A、C不重合),则( )
A AC+CB=AD+DB
B AC+CB<AD+DB
C AC+CB>AD+DB
D AC+CB与AD+DB的大小关系不确定
2011-10-1210:
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考点:
圆心角、弧、弦的关系
分析:
欲求AC+CB和AD+DB的大小关系,需将这些线段构建到同一个三角形中,然后利用三角形的三边关系求解.
解答:
解:
如图;
以C为圆心,AC为半径作圆,交BD的延长线于E,连接AE、CE;
∵CB=CE,
∴∠CBE=∠CEB;
∵∠DAC=∠CBE,
∴∠DAC=∠CEB;
∵AC=CE,
∴∠CAE=∠CEA,
∴∠CAE-∠DAC=∠CEA-∠CED,即∠DAE=∠DEA;
∴AD=DE;
∵EC+BC>BE,EC=AC,BE=BD+DE=AD+DE,
∴AC+BC>BD+AD;
故选C.
点评:
能够将与已知和所求相关的线段构建到同一个三角形中,是解答此题的关键.
2011-10-1210:
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2
如图,半圆O的直径AB=7,两弦AC、BD相交于点E,弦CD=
,且BD=5,则DE等于( )
A
B
C
D
晖老师分析
考点:
圆周角定理;相似三角形的判定与性质.
分析:
根据圆周角定理得出的两组相等的对应角,易证得△AEB∽△DEC,根据CD、AB的长,即可求出两个三角形的相似比;设BE=x,则DE=5-x,然后根据相似比表示出AE、EC的长,连接BC,首先在Rt△BEC中,根据勾股定理求得BC的表达式,然后在Rt△ABC中,由勾股定理求得x的值,进而可求出DE的长.
点评:
此题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识;本题要特别注意的是BE、DE不是相似三角形的对应边,它们的比不等于相似比,以免造成错解
3
如图所示,AB是⊙O的直径,OD⊥弦BC于点F,且交⊙O于点E,若∠AEC=∠ODB.
(1)判断直线BD和⊙O的位置关系,并给出证明;
(2)当AB=10,BC=8时,求BD的长
晖老师解析
考点:
圆的切线三角函数
分析:
证明切线的两种常用方式.连半径证垂直,做垂直证半径
解答:
如图,△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O与AB相交于点E,点F是BE的中点.
4
(1)DF与⊙O的位置关系是_______(填“相切”或“相交”).
(2)若AE=14,BC=12,BF的长为_______.
晖老师分析:
考点:
圆内接四边形的性质;一元二次方程的应用;圆周角定理;切线的判定;切割线定理.
分析:
(1)连接OD、AD,根据已知及圆内接四边形的性质,得OD是半径且OD⊥DF,从而得到DF是⊙O的切线.
(2)设BF=x,BE=2BF=2x,根据切割线定理即可求得BF的长.
5
已知:
如图△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于D,过D作⊙O的切线交BC于点E,EF⊥AB,垂足为F.
求证:
(1)2DE=BC;
(2)若AC=6,BC=8,求S△ACD:
S△EDF的值.
晖老师分析
考点:
切线长定理;勾股定理.
分析:
(1)根据题意可知:
EC、ED均是圆O的切线,根据切线长定理可得出EC=DE,∠ECD=∠EDC;根据等角的余角相等,可得出∠EDB=∠B,因此DE=BE,
由此可得出DE=EC=BE,由此可得证;
(2)由
(1)知:
DE=BE,因此DF=BF,根据等高的三角形面积比等于底边比可得出△EDF的面积是△EDB的面积的一半,同理可得出△EDB的面积是△CDB的面积的一半,
因此△EDF的面积是△CDB的面积的四分之一.那么本题只需得出△ADC和△CDB的面积比即可,即得出AD:
BD的值即可.
6
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.P为BC的中点,动点Q从点P出发,沿射线PC方向以2cm/s的速度运动,以P为圆心,PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为ts.
(1)当t=1.2时,判断直线AB与⊙P的位置关系,并说明理由;
(2)已知⊙O为△ABC的外接圆.若⊙P与⊙O相切,求t的值
晖老师分析:
考点:
圆与圆的位置关系;勾股定理;直线与圆的位置关系;相似三角形的判定与性质.
专题:
几何综合题;动点型.
分析:
(1)根据已知求出AB=10cm,进而得出△PBD∽△ABC,利用相似三角形的性质得出圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径,即可得出直线AB与⊙P相切;
(2)根据BO=AB/2=5cm,得出⊙P与⊙O只能内切,进而求出⊙P与⊙O相切时,t的值
点评:
此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习.
7
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,以AD为直径的半圆D与BC相切.
(1)求证:
OB⊥OC;
(2)若AD=12,∠BCD=60°,⊙O1与半⊙O外切,并与BC、CD相切,求⊙O1的面积.
晖老师分析:
考点:
相切两圆的性质;直角梯形.
专题:
证明题;综合题.
分析:
(1)证明两个锐角的和等于90°即可;
(2)求得⊙O1的半径后代入圆的面积公式求得其面积即可.
8
如图,已知:
⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.
(1)求证:
AC=CP;
(2)若PC=6,求图中阴影部分的面积(结果精确到0.1).
(参考数据:
3=1.73,π=3.14)
晖老师分析
考点:
扇形面积的计算;切线的性质.
专题:
计算题;证明题.
分析:
(1)连接OC.根据圆周角定理即可求得∠COP=2∠ACO=60°,根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余,求得∠P=30°,即可证明;
(2)阴影部分的面积即为直角三角形OCP的面积减去扇形OCB的面积.
点评:
综合运用了切线的性质定理、圆周角定理以及扇形的面积公式.
9
已知关于x的一元二次方程
(1)求证:
无论k取何值,这个方程总有两个实数根;
(2)是否存在正数k,使方程的两个实数根x1,x2满足
?
若存在,试求出k的值;若不存在,请说明理由.
晖老师分析
考点:
根的判别式;一元二次方程的解;根与系数的关系.
分析:
(1)求证无论k取何值,这个方程总有两个实数根,即是证明方程的判别式△≥0即可;
(2)本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查,
,即可用k的式子进行表示,求得k的值,然后判断是否满足实际意义即可.
点评:
本题在求解的过程中应用了反证法,先假设成立,然后推出矛盾,证明假设的不成立.
10
已知关于x的方程x²-2(k-3)x+k²-4k-1=0.
(1)若这个方程有实数根,求k的取值范围;
(2)若这个方程有一个根为1,求k的值;
(3)若以方程x²-2(k-3)x+k²-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数
的图象上,求满足条件的m的最小值.
晖老师分析:
考点:
根与系数的关系;一元二次方程的解;根的判别式;反比例函数图象上点的坐标特征.
分析:
(1)若一元二次方程有实数根,则根的判别式△=b²-4ac≥0,建立关于k的不等式,求出k的取值范围.
(2)将x=1代入方程,得到关于k的方程,求出即可,
(3)写出两根之积,两根之积等于m,进而求出m的最小值.
点评:
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,是一个综合性的题目,也是一个难度中等的题目.
总结:
一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
11
已知关于x的方程x²-2x-2n=0有两个不相等的实数根.
(1)求n的取值范围;
(2)若n<5,且方程的两个实数根都是整数,求n的值.
晖老师分析:
考点:
根的判别式.
专题:
一元二次方程.
点评:
本题考查了一元二次方程的根的判别式.一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
12
已知关于x的方程kx²-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使此方程的两个实数根的倒数和等于0?
若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
晖老师分析
考点:
根与系数的关系;一元二次方程的定义;根的判别式.
分析:
(1)根据方程有两个不相等的实数根可知△=[-2(k+1)]²-4k(k-1)>0,求得k的取值范围;
(2)可假设存在实数k,使得方程的两个实数根x1,x2的倒数和为0,列出方程即可求得k的值,然后把求得的k值代入原式中看看与已知是否矛盾,如果矛盾则不存在,如果不矛盾则存在.
而k=-1与方程有两个不相等实根的条件k>-1,且k≠0矛盾,
故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在.
而k=-1与方程有两个不相等实根的条件k>-1,且k≠0矛盾,
故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在.
13
当m是什么整数时,关于x的一元二次方程mx²-4x+4=0与x²-4mx+4m²-4m-5=0的解都是整数?
晖老师分析:
考点:
根与系数的关系;根的判别式.
分析:
这两个一元二次方程都有解,因而根与判别式△≥0,即可得到关于m不等式,从而求得m的范围,再根据m是整数,即可得到m的可能取到的几个值,然后对每个值进行检验,是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定m的值.
点评:
解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系,首先根据根的判别式确定m的范围是解决本题的关键.
14
已知关于x的一元二次方程x²-2mx-3m²+8m-4=0.
(1)求证:
当m>2时,原方程永远有两个实数根;
(2)若原方程的两个实数根一个小于5,另一个大于2,求m的取值范围.
晖老师分析
考点:
根的判别式;解一元二次方程-公式法;解一元一次不等式组.
专题:
计算题;证明题.
分析:
(1)判断方程的根的情况,只要看根的判别式△=b²-4ac的值的符号就可以了.
(2)先求出原方程的两个实数根,根据两个实数根一个小于5,另一个大于2,列出不等式组,求出m的取值范围.
解答:
解:
(1)△=(-2m)²-4(-3m²+8m-4)=4m²+12m²-32m+16=16(m-1)²
∵无论m取任何实数,都有16(m-l)²≥0,
∴m取任意实数时,原方程都有两个实数根.
自然,当m>2时,原方程也永远有两个实数根.
点评:
本题考查一元二次方程根的判别式,当△≥0时,方程有两个实数根;同时考查了公式法解一元二次方程及解一元一次不等式组.
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