初中数学中的解方程.docx
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初中数学中的解方程.docx
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初中数学中的解方程
代数部分
第三章:
方程和方程组
基础知识点:
一、方程有关概念
1、方程:
含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解:
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解,含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程:
求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根:
在方程变形时,产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程
1、一元一次方程
(1)一元一次方程的标准形式:
ax+b=0(其中x是未知数,a、b是已知数,a≠0)
(2)一元一次方程的最简形式:
ax=b(其中x是未知数,a、b是已知数,a≠0)
(3)解一元一次方程的一般步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为
1。
(4)一元一次方程有唯一的一个解。
例题:
.解方程:
(1)
1
x
1
x
2
x
1
x
x
3
3
(2)
3
2
2
解:
解:
(3)【05湘潭】
关于x的方程mx+4=3x+5
的解是x=1,则m=
。
2、一元二次方程
(1)
一般形式:
ax2
bx
c
0a
0
(2)
解法:
直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
求根公式ax2
bx
c
0a
0
x
bb2
4ac
b2
4ac
0
2a
错误!
未找到引用源。
、解下列方程:
(1)x2-2x=0;
(2)45-x2=0;
(3)(1-3x)2=1;
(4)(2x+3)2-25=0.
(5)(t-2)(t+1)=0;
(6)x2+8x-2=0
(7)2x2-6x-3=0;
(8)3(x-5)2=2(5-x)
解:
错误!
未找到引用源。
填空:
(1)x2+6x+()=(x+)2;
(2)x2-8x+()=(x-)2;
(3)x2+3
x
+(
)=(+
)2
x
2
(3)判别式△=b2-4ac的三种情况与根的关系
当0时有两个不相等的实数根,
当
0时
有两个相等的实数根
当
0时
没有实数根。
当△≥0时
有两个实数根
例题.一、一元二次方程的解法
例1、解下列方程:
(1)
1(x
3)2
2;
(2)2x2
3x1;(3)
4(x
3)2
25(x
2)2
2
例2、解下列方程:
(1)x2
a(3x
2a
b)0(x为未知数);
(2)x2
2ax
8a2
0
(.无锡市)若关于
x
的方程x
2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k满足(
)
3
A.k>1
B.k
≥1
C.k
=1
D.k
<1
4.(常州市)关于x的一元二次方程x2
(2k1)x
k
10根的情况是(
)
(A)有两个不相等实数根(B)有两个相等实数根(C)没有实数根(D)根的情况无法判定
5.(浙江)已知方程x22pxq0有两个不相等的实数根,则p、q满
足的关系式()
A、p2
4q0
B、p2
q0
C、p2
4q0
D、p2
q0
6.根与系数的关系:
x1+x2=
b,x
1x2
=c
a
a
例题:
(浙江富阳市)已知方程
3x2
2x
110的两根分别为x1
、x2,则1
1
x1
x2
的值是(
)
A、2
B、11
C、
2
D、11
11
2
11
2
例3、求作一个一元二次方程,使它的两个根分别比方程
x2
x5
0的两个根小3
根的判别式及根与系数的关系
例4、已知关于x的方程:
(p1)x22pxp30有两个相等的实数根,求p的值。
例5、已知a、b是方程x22x10的两个根,求下列各式的值:
(1)a2b2;
(2)11
ab
分式方程的解法步骤:
(1)一般方法:
选择最简公分母、去分母、解整式方程,检验
(2)换元法
例题:
错误!
未找到引用源。
、解方程:
4
1
2
1
的解为
x
4
x2
x2
4
根为
x2
0
5x6
错误!
未找到引用源。
、【北京市海淀区】当使用换元法解方程
(
x)2
2(
x)
3
0时,若设y
x
,则原方程可变形为(
)A.y2+
x
1
x
1
x
1
y2-
y+=
.y
.y2-
y-=
y
+=
.
2+
y-=
230B
230C
230D
230
(3)、用换元法解方程x2
3x
x
2
3
4时,设yx2
3x,则原方程可化为()
3x
(A)
3
4
0
3
1
1
y
()
40
()
40
()
40
y
B
y
y
Cy
3y
Dy
3y
例、解下列方程:
(2)
2
1
1
1;
(2)x2
2
6x
2
5
1
x2
x
x
x2
6、应用:
(1)分式方程(行程、工作问题、顺逆流问题)
(2)一元二次方程(增长率、面积问题)(3)方程组实际中的运用
例题:
错误!
未找到引用源。
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时,求轮船在静水中的速度.(提示:
顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度)
解:
错误!
未找到引用源。
乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450千米,B、C两城的距离为400千米,甲车比乙车的速度快10
千米/时,结果两辆车同时到达C城.求两车的速度解
错误!
未找到引用源。
某药品经两次降价,零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样,求每次降价的百分率.(精确到0.1%)
解
错误!
未找到引用源。
绵阳】已知等式
(2A-7B)x+(3A-8B)=8x+10对一切实数x都成
【05
立,求A、B的值
解
错误!
未找到引用源。
【05南通】某校初三(
2)班40名同学为“希望工程”捐款
共捐
款100元.捐款情况如下表:
捐款(元)
1
234
人
数
6
7
表格中捐款
2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.
若设捐款2
元的有x名同学,捐款3
元的有y名同学,根据题意,可得方程组
x
y
27
x
y
27
x
y
27
x
y
27
A、
3y
66
B、
3y
100
C、
2y
66
D、
2y
100
2x
2x
3x
3x
解
错误!
未找到引用源。
已知三个连续奇数的平方和是371,求这三个奇数.
错误!
未找到引用源。
一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体水槽,使它的底面积
为800平方米.求截去正方形的边长.解:
四、方程组
4、方程组:
三元一次方程组
代入消元
二元一次方程组
加减消元
二元(三元)一次方程组的解法:
代入消元、加减消元
x
y
7,
x
2y
0
例题:
解方程组
y
8.
3x
2y
8
2x
例7、解下列方程组:
2x
3y
3
x
y
2z
1
(2)2xyz5
(1)
2y
;
x
5
x
y
3z
4
例8、解下列方程组:
代入消元一元一次方程
加减消元
xy1123
3x2y10
xy7
3x2
xy4y2
3x4y0
(1)
;
(2)
2
y2
25
xy12
x
列方程(组)解应用题
知识点:
一、列方程(组)解应用题的一般步骤
1、审题:
2、设未知数;
3、找出相等关系,列方程(组);
4、解方程(组);
5、检验,作答;
二、列方程(组)解应用题常见类型题及其等量关系;
1、工程问题
(1)基本工作量的关系:
工作量=工作效率×工作时间
(2)常见的等量关系:
甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量
(3)注意:
工程问题常把总工程看作“1”,水池注水问题属于工程问题
2、行程问题
(1)基本量之间的关系:
路程=速度×时间
(2)常见等量关系:
相遇问题:
甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及问题(设甲速度快):
同时不同地:
甲的时间=乙的时间;甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程同地不同时:
甲的时间=乙的时间–时间差;甲的路程=乙的路程3、水中航行问题:
顺流速度=船在静水中的速度+水流速度;
逆流速度=船在静水中的速度–水流速度
4、增长率问题:
常见等量关系:
增长后的量=原来的量+增长的量;增长的量=原来的量×(1+增长率);
5、数字问题:
基本量之间的关系:
三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100三、列方程解应用题的常用方法
1、译式法:
就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式,然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。
2、线示法:
就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系,然后根据线段长度的
内在联系,找出等量关系。
3、列表法:
就是把已知条件和所求的未知量纳入表格,从而找出各种量之间的关系。
4、图示法:
就是利用图表示题中的数量关系,它可以使量与量之间的关系更为直观,
这种方法能帮助我们更好地理解题意。
例题:
例1、甲、乙两组工人合作完成一项工程,合作5天后,甲组另有任务,由乙组再
单独工作1天就可完成,若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天,求甲、乙两组单独完成
这项工程各需几天?
例2、某部队奉命派甲连跑步前往90千米外的A地,1小时45分后,因任务需要,又
增派乙连乘车前往支援,已知乙连比甲连每小时快
28千米,恰好在全程的
1处追上甲连。
3
求乙连的行进速度及追上甲连的时间
例3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60台支援抗洪,由于改进了操作技术;
每天生产的台数比原计划多50%,结果提前2天完成任务,求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台?
例4、某商厦今年一月份销售额为60万元,二月份由于种种原因,经营不善,销售额
下降10%,以后经加强管理,又使月销售额上升,到四月份销售额增加到96万元,求三、
四月份平均每月增长的百分率是多少?
例5、一年期定期储蓄年利率为2.25%,所得利息要交纳20%的利息税,例如存入一年
期100元,到期储户纳税后所得到利息的计算公式为:
税后利息=1002.25%100
2.25%20%
100
2.25%(1
20%)
已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是
450元,问该储户存入了多
少本金?
例6、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天售出
20件,每件盈利40元,为了扩大
销售,增加盈利,减少库存,商场决定采取适当的降低成本措施,经调查发现,如果每件衬
衫每降价1元,商场平均每天可多售出
2件。
若商场平均每天要盈利
1200元,每件衬衫应
降价多少元?
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- 初中 数学 中的 方程