第3章-功率谱估计和信号频率估计方法.ppt

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1,第3章功率谱估计和信号频率估计方法,2,本章要回答的问题是，怎样利用随机过程,的,个观测数据,估计出随机过程,的功率谱,？

经典功率谱估计参数模型法估计基于相关矩阵特征分解的信号频率估计,3,经典功率谱估计是基于传统傅里叶变换的思想，其中的典型代表有Blackman和Tukey提出的自相关谱估计（简称为BT法），和周期图法。

3.1.1BT法,1.自相关函数的估计与傅里叶变换,设,为,的,个观测值，则,估计值,根据维纳-辛钦（Wiener-Khintchine）定理，对上式,3.1经典功率谱估计方法,的自相关函数,4,求傅里叶变换，即,以此结果作为对真实功率谱,的估计，因为式

（2）是,通过自相关函数间接得到的，称为间接法。

如果,和,都比较大，,的运算量就很大。

这时,可以采用FFT对,进行计算。

对式

（1）求傅里叶变换，并整理得,5,其中，,是,的能量谱，除以,谱。

这说明，由式

（1）估计出的,和,是一对傅立叶变换。

算法3.1（用FFT计算自相关函数的方法）,步骤1,对,补,个零，得,，对,傅立叶变换（FFT）得,做快速,后即为功率,的功率谱,6,步骤2,求,的幅度平方，然后除以,，得,步骤3,对,进行IFFT，得,与,的关系为,2自相关函数的估计性能,

（1）均值,的均值为,7,从式（3）可以看出，,对于固定的延时,，,。

即,是对,的渐近无偏估计；,对于固定的,，当,越接近于,时，估计的偏差,越大；,由式（3）可知，,的均值是真值,和三角窗函数,8,的乘积，,的长度为,。

（2）方差,的方差为,假定信号,是零均值的实高斯随机信号，得,9,由于,是有限的，显然当,时，,将趋近于零。

所以，对于固定的延时,，,是,的渐近一致估计。

的方差,另外，还有一种常用的,的估计,其均值为,10,若信号,是零均值的实高斯随机信号，,则,的方,差为,由以上两式得，,为无偏估计，,当,接近于,时，,估计,的方差很大，但当,时，,是,的渐近一致估计。

11,3.1.2周期图法,周期图（Periodogram）法又称直接法。

以,表示周期图法估计出的功率谱，则,其中，,因为这种功率谱估计方法是直接通过观察数据的,12,傅里叶变换求得的，所以人们习惯上称之为直接法。

当,时，周期图法和BT法是相同的，即,而当,时，,所以，BT法实际上是对周期图法的平滑。

这相当于对长度为,的,做截断处理，也即施加了一个矩形窗，即,13,1,时的估计性能,均值,BT法的均值为,3.1.3经典功率谱估计性能讨论,在这种情况下，周期图法和BT法的性能是一致的。

由上式可知，功率谱估计的均值可以表示为信号的,14,真实功率谱,和窗函数,的卷积，因此，经,典的功率谱估计应该是有偏的。

但是，当,因此该估计又是渐近无偏的。

，,趋向于冲激函数，,方差,假定,是零均值的实高斯白噪声，方差为,和,，,的协方差为,15,若取,和,，则上式变为,当,增大时，会使互不相关的点增多，这就加剧了,估计的功率谱曲线的起伏。

若取,，功率谱估计的方差为,16,由上式可知，当,时，功率谱估计的方差不趋,近于零，而趋近于,，因此，经典功率谱估计不是一,致估计。

由上面的讨论可知，为了保证,的渐近无偏性，,希望,要大，但是,增大时又使,起伏加剧，这,是周期图所存在的固有矛盾。

2,时的估计性能,在这种情况下，两种方法不一致，BT法是对周期图法的平滑。

17,均值,BT法也是一种有偏估计，当,很大，且在下面两式,约束下，它是渐近无偏估计。

不过由于,的影响，,其偏差趋于零的速度要小于周期图法，因此对周期图作平滑的结果是使偏差变大。

18,方差,这说明，,的方差小于,的方差，这正是,对,平滑的结果。

由以上讨论可知，,谱的平滑（即方差减小）,是以牺牲分辨率为代价的。

由于,的主瓣宽，因而使其分辨率下降。

谱的平滑同时也导致估计的偏差变大。

由此可以看出，在方差，偏差和分辨率之间存在着矛盾，在实际应用中，只能,主瓣比三角窗,19,根据需要做出折衷的选择。

3.1.4经典功率谱估计的改进,周期图法估计出的谱性能不好，当观测数据长度太大时，谱的曲线起伏加剧；而数据太短时，谱的分辨率又不好。

因此需要加以改进。

1Bartlett法,Bartlett法的基本步骤是：

将,点的观测数据,分为,段，每段的长度为,即,20,第,段数据加矩形窗后，变为,其中，,是长度为,的矩形窗。

对于每段数据,，先利用周期图法求得其功率,谱,，即,然后对每段功率谱估计结果作平均，得到平均周期图,21,的均值为,的方差为,22,Bartlett功率谱估计频率分辨率下降,由以上讨论可知，,为原来的,，方差也减小为周期图法的,Bartlett功率谱估计较周期图法的结果更为平滑。

，因此,2Welch法,这种方法是Welch在1967年提出的，又称修正平均周期图法，是应用较广的一种方法。

它是对Bartlett法的改进。

23,Welch法也对,点的信号,进行分段，只是分段,时允许每段的信号有所交叠，通常取相邻两段的信号交叠一半，若每段的信号长度仍为M，信号被分为L段，则,将每段信号,和窗函数,每段信号的功率谱估计,相乘，然后按式（5）得到,24,修正的周期图为,Welch方法允许分段数据样本的重叠，于是可以得到更多的周期图估计，从而进一步减小估计的功率谱密度的方差。

通过窗函数加权，可以减小了相邻样本段之间的相关性。

所以，Welch方法可以更好地控制功率谱密度估计的方差特性。

25,3.1.5经典谱估计算法仿真实例及性能比较,例3.1按如下步骤产生一组实验数据。

步骤1,产生长度为,的一段均值为0，方差为1的实高,斯白噪声序列,步骤2,产生长度为,，其归一化,的三个实正弦信号,频率分别是,信噪比分别为,，,26,。

（1）周期图法,步骤1,计算信号的离散傅立叶变换：

步骤2,计算信号的功率谱：

步骤3,将三个实正弦信号和高斯白噪声进行叠加，,得观测信号,27,（a）,图3.1.2用周期图法求出的功率谱曲线,（b）,由上图可见，周期图法的分辨率随着信号长度的增加而提高。

28,步骤1,估计长度为,的信号,的自相关函,数，其最大延时为M,步骤2,计算信号的功率谱：

（2）BT法,29,图3.1.3BT法求出的功率谱曲线,（a）,（b）,在图（a）中BT法不能将两个信号分开，图（b）中两个信号可以被完全分开，但图（a）比图（b）更加平滑。

30,（3）Welch法,步骤1,将长度为,的信号,进行分段，相邻的两,段数据交叠一半。

若每段信号的长度为M，,信号将被分成L段，即,步骤2,将第i段信号与长度为M的窗函数,相乘；,步骤3,对加窗后的每段信号,利用周期图法,31,求得其功率谱,步骤4,对估计到的每段功率谱按如下公式作平均，得到Welch法的功率谱估计,用于实验的信号长度为,每段长度为64，重叠32点。

，信号被分为7段，,32,由图可知，使用海明窗后得到的功率谱变得更加平滑，但会导致分辨率降低。

（a）矩形窗,图3.1.4Welch法求出的功率谱曲线,（b）海明窗,33,综合上述讨论，可以对经典功率谱作一下总结：

经典功率谱估计，不论是周期图法还是BT法都可以用FFT快速计算，且物理概念明确，因而仍是目前较常用的谱估计方法。

功率谱的分辨率较低，它正比于,用信号的长度。

，,是所使,由于不可避免的窗函数的影响，使得估计的功率谱主瓣展宽，降低了分辨率。

方差性能不好，不是,的一致估计，且,增大,34,时，谱曲线起伏加剧。

周期图的平滑和平均是和窗函数的使用紧密关联的。

平滑和平均主要是用来改善周期图的方差性能，但往往又降低了分辨率和增加了偏差。

因此，在实际应用中，必须在方差，偏差和分辨率之间进行折衷选择。

35,3.2平稳随机过程的AR参数模型功率谱估计,参数模型功率谱估计的基本思想是，认为随机过程,就是白噪声通过LTI离散时间系统得到的响应，,利用观测样本估计出模型参数，也就得到了功率,谱,。

图3.2.1零均值白噪声通过LTI系统,36,AR参数模型MA参数模型ARMA参数模型,根据2.4节的介绍，规则过程的参数模型有三种：

注意，实际工程应用中，由于无噪声的纯正弦过程（可预测过程）几乎不存在，因此，大多数随机过程都可看成具有连续谱的规则过程。

37,3.2.1AR参数模型的正则方程,假设,，,都是复平稳的随机信号，,值，方差为,是零均,的白噪声。

由2.4节可知，AR模型的输入,和输出,满足如下差分方程,两边同乘,，并求数学期望，得,38,令,则有,由于,是零均值，方差为,的白噪声，且设AR模型,为因果的，故AR模型的输出信号,与n时刻的AR模型输入信号v（n）统计独立，即,39,当m0时，,当m=0时，,综合上面的讨论可得,40,上式可以表示为如下形式,41,上式就是AR模型的正则方程，又称Yule-Walker方程。

系数矩阵为Hermite对称的Toeplitz矩阵。

式（6）可简单的表示为,其中，,是,阶AR模型的系数向量，,是,维全零列向量，,定义为,42,AR模型的正则方程也可表示为,43,式（8）简单地表示为,其中，,因矩阵,是非奇异的，有,44,将,代入式（7）中即得到,。

随机过程,的功率谱可由下式给出,例3.2已知,满足实,模型，即满足如下差分,45,方程,其中，,是均值为零，方差为,的白噪声。

模型阶数,，得到二阶的Yule-Walker方程,取AR,46,所以，可以解得,同样可以用,和,来表示,和,，即,47,48,在实际应用中，为避免矩阵求逆运算，降低计算量，通常并不直接求解正则方程，而是根据自相关矩阵的Toeplitz性质，利用Levinson-Durbin迭代算法进行求解。

3.2.2AR参数模型的Levinson-Durbin迭代算法,定义,为,的第,个系数；,为,阶AR模型输入白噪声的方差；,阶AR模型,49,计算,阶AR模型的参数，由（6）得,对于,，若已知,阶AR模型的参数,和,容易解得,50,，模型的正则方程为,其向量形式为,51,定义交换矩阵（exchangematrix）,因为,是Hermite对称的Toeplitz矩阵，容易验证,模型的正则方程也可以写为,利用上式，,52,即,将式（9）和式（10）合并，得,53,令,将上述两式合并，得,54,定义反射系数,为,将式（11）两边同时右乘,，可得,55,阶AR模型的正则方程为,56,比较上面两式，可以得到由m-1阶AR模型的参数递推m阶AR模型的参数的关系式，即,AR模型参数的Levinson-Durbin迭代算法的实现步骤如下。

57,算法3.2（Levinson-Durbin迭代算法）,已知,阶AR模型的输出,的,个自相关函数,步骤1,利用如下公式计算m=1阶AR模型的参数。

步骤2,利用如下公式递推计算,的参数,阶AR模型,58,由此就得到了,阶AR模型的参数,和,。

在实际应用中，Levinson-Durbin算法使用,的,自相关函数的估计值,进行计算，,得到,阶AR模型参数的估计,和,。

59,3.2.3AR参数模型功率谱估计步骤及仿真实例,算法3.3（AR模型功率谱估计方法）,步骤1,根据N点的观测数据,估计自相关函数,步骤2,用p+1个自相关函数的估计值,矩阵求逆或者按阶数递推的方法求解正则方,，通过直接,程，得到,阶AR模型参数的估计值,和,。

60,步骤3,将上述参数代入,得到功率谱估计,，即,实际计算中，常对,在单位圆上均匀采样，,设采样点数为M，则可用FFT计算p阶AR模型,的功率谱表达式中，,的功率谱，即,61,其中，,例3.3仿真条件与例3.1相同。

个观测样本,用,估计随机过程,的AR模型功率谱。

62,（a）,（b）,图3.2.2阶数为8和16时的AR模型的功率谱估计曲线,从图中可看出，,当,时，分辨率明显提高。

63,将例3.1中的三个正弦信号的归一化频率改为,，,和,，其它条件不变。

（a）,（b）,图3.2.3阶数为5和6时的AR模型的功率谱估计曲线,6