部编版七年级数学下册培优新帮手专题12数余的扩充试题新版新人教版.docx
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部编版七年级数学下册培优新帮手专题12数余的扩充试题新版新人教版
12数余的扩充
———实数的概念与性质
阅读与思考
人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。
数系的每一次扩张都源于实际生活的需要,在非负有理数知识的基础上引进负数,数系发展到有理数,这是数系的第一次扩张;但随着人类对数的认识不断加深和发展,人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数。
在引人无理数的概念后,数系发展到实数,这是数系的第二次扩张.
理篇无理数是学好实数的关键,为此应注意:
1.把握无理数的定义:
无理数是无限不循环小数,不能写成分数q的形式(这里p,q是互
p
质的整数,且p≠0);
2.掌握无理数的表现形式:
无限不循环小数,与π相关的数,开方开不尽得到的数等;
3.有理数对加、减、乘、除是封闭的,即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数;无理数对四则运算不具有封闭性,即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数;
4.明确无理数的真实性.
克菜因认为:
“数学是人类最高超的智力成就,也是人类心灵最独特的创作,音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的一切.”
想一想:
下列说法是否正确?
1带根号的数是无理数;
2两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数;
3一个无理数乘以一个有理数,一定得无理数;
4一个无理数的平方一定是有理数.
例题与求解
【例1】已知a2(b4)2ab2c0.则(ac)b的平方根是.
(湖南省长沙市“学用杯”竞赛试题)
解题思路:
运用式子的非负性,求出a,b,c的值.
【例2】若a,b是实数,且a2b122b4.则ab的值是().
A.3或-3B.3或-1C.-3或-1D.3或1(湖北省黄冈市竞赛试题)解题思路:
由算术根的双非负性,可得b1≥0,22b≥0,求出b=1.代入原式中可得a=±2.由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性:
1a中a≥0;②a≥0.
运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法.
【例3】已知实数m,n,p满足等式m199n199mn3m5n2p2m3np,求p的值.
(北京市竞赛试题)解题思路:
观察发现(m199n),(199mn)互为相反数,由算术平方根定义、性质探寻解题的切入点.
131319
【例4】已知a,b是有理数,且(13)a(13)b211930,求a,b的值.
32412420
解题思路:
把原等式整理成有理数与无理数两部分,运用实数的性质建立关于a,b的方程组.
实数有以下常用性质:
①若a,b都是有理数,c为无理数,且abc0,则a=b=0;
②若a,b,c,d都是有理数,c,d为无理数,且“acbd,则a=b,cd.
要证一个数是有理数,常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商的形式;要证一个数
是无理数,常用反证法,即假设这个数为有理数,设法推出矛盾
怎样证明2是无理数?
例5】一个问题的探究
问题:
设实数x,y,z满足xyz≠0.且xyz0.
1
1
1
1
1
1
x12
2y
2z
x
y
z
求证:
111
(a1b)2(b1c)2(c1a)2为有
在上述问题的基础上,通过特殊化、一般化,我们可编拟出下面两个问题:
(1)设a,b,c为两两不相等的有理数,求证:
理数.
四川省成都市中考试题)
解题思路:
解答此题的关键是将Sn变形为一个代数式的平台。
能力训练
贵州省贵阳市中考试题)
2.设a33,b是a2的小数部分,则(b2)3的值为
(2013年全国初中数学竞赛试题)
山东省济南市中考试题)
4.观察下列各式:
1123412311,
2
1234522321,
1345632331,(AB)(:
AB)(2xy):
(xy)
猜测:
12005200620072008.
(辽宁省大连市中考试题)
5.已知有理数A,B,x,y满足AB0,(AB)(:
AB)(2xy):
(xy),那么A(:
AB)=___.
A.3x(:
2xy)B.3x(:
4x2y)C.x(:
xy)D.2x(:
2xy)(2013年“实中杯”数学竞赛试题)
6.若x,y为实数,且x2y20,则(x)2009的值为().
y
A.1B.-1C.2D.-2
(天津市中考试题)
7.一个自然数的算术平方根为a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是().
A.aB.a21C.a21D.a1
(山东省潍坊市中考试题)
2
8.若x11x(xy),则xy的值为().
A.-1B.1C.2D.3
(湖北省荆门市中考试题)
9.已知xabm是m的立方根,而y3b6是x的相反数,且m3a7,求x与y的
平方和的立方根.
10.计算:
1111222.(广西竞赛试2n个1n个2
题)
11.若a,b满足3a5b7,求S2a3b的取值范围.
(全国初中数学联赛试题)
B级
1.x与y互为相反数,且xy3.那么x22xy1的值为.
(全国初中数学竞赛试题)
2.若2x14x128,则x的值为
海南省竞赛试题)
3.已知实数a满足2004aa2005a,则a20042=
广东省竞赛试题)
A.-1
“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题)
8.下面有3个结论:
①存在两个不同的无理数,它们的差是整数;
2存在两个不同的无理数,它们的积是整数;
3存在两个不同的非整数的有理数,它们的和与商都是整数
其中,正确的结论有()个.
重庆市竞赛试题)
江苏省竞赛试题)
“CASIO杯”武汉市竞赛试题)
10.设yaxb,a,b,c,d都是有理数,x是无理数.求证:
cxd
(1)当bcad时,y是有理数;
(2)当bcad时,y是无理数.
11.已知非零实数a,b满足2a4b2(a3)b242a.求ab值.
“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题)
1616
专题12数余的扩充
实数的概念与性质
1
土4提示:
由条件得a-2=0,b+4=0,a+b-2c=0,则a=2,b=-4,c=-1.故(ac)
b-4111=[2×(一1)]=16,16的平方根为土4.
33
解得
5b41
5
S=1-1-1-
1-12009-1
200820092009
故S的整数部分为2008.
A级
1.2
2.9提示:
a233239,238393273,则b=39-2,b+2=393
故b2399
4.20052320051
6.B
7.B
8.C
9.2
10.原式=11110n1112111=11110n-111n个n个n个n个n个
111(10n-1)=111999=333n个
n个
n个
n个
11.由题中条件
3a5b7
2a3bS
①×3+②×5得
19a215S
①×2-②×3得
19b
143S
又∵
a≥0,b≥0,
则215S0
14-3S0
2114
解得-21S1453
B组
1.-5
4
xy0
提示:
由条件xy3,解得
3
x
2
3
y2
2
3233
2
22
2.2提示:
由2x14x128得2x122x
27,故有(x+1)+2x=7,所以x的值为2.
3.2005提示:
由条件得:
a≥2005,则a20052004,从而有:
2
a2-2004=2005
4.1
5.C提示:
由条件得:
a≥3,则b2(a3)b20,a+b=1。
6.C提示:
因为121,132,所以011.故b abab c-a=6-2-2-16-21,而6-213-220,
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