平行线的常考经典题型.docx
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平行线的常考经典题型
七年级(下)数学提高讲义
第二讲平行线常考经典题型
例1、翻折
如图,把一张长方形纸带沿着直线GF折叠,∠CGF=30°,则∠1的度数是 .
【练习】如图,生活中将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下,如果∠2=100°,那么∠1的度数为 .
例2、旋转
一副三角尺按如图的位置摆放(顶点C与F重合,边CA与边FE叠合,顶点B、C、D在一条直线上).将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后(0<n<180),如果EF∥AB,那么n的值是 .
【练习】将一副直角三角尺ABC和CDE按如图方式放置,其中直角顶点C重合,∠D=45°,∠A=30°.将三角形CDE绕点C旋转,若DE∥BC,则直线AB与直线CE的较大的夹角∠1的大小为 度.
例3、平行线的性质
已知,直线AB∥DC,点P为平面上一点,连接AP与CP.
(1)如图1,点P在直线AB、CD之间,当∠BAP=60°,∠DCP=20°时,求∠APC.
(2)如图2,点P在直线AB、CD之间,∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,写出∠AKC与∠APC之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,点P落在CD外,∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,∠AKC与∠APC有何数量关系?
并说明理由.
【练习】
1.如图,已知AB∥CD,CE、BE的交点为E,现作如下操作:
第一次操作,分别作∠ABE和∠DCE的平分线,交点为E1,
第二次操作,分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线,交点为E2,
第三次操作,分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线,交点为E3,…,
第n次操作,分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线,交点为En.
若∠En=1度,那∠BEC等于 度
2.如图,两直线AB、CD平行,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= .
4.数学思考:
(1)如图1,已知AB∥CD,探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系,并证明你的结论。
推广延伸:
(2)①如图2,已知AA1∥BA1,请你猜想∠A1,∠B1,∠B2,∠A2、∠A3的关系,并证明你的猜想;
②如图3,已知AA1∥BAn,直接写出∠A1,∠B1,∠B2,∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系
拓展应用:
(3)①如图4所示,若AB∥EF,用含α,β,γ的式子表示x,应为()
A.180°+α+β﹣γB.180°﹣α﹣γ+β C.β+γ﹣α D.α+β+γ
②如图5,AB∥CD,且∠AFE=40°,∠FGH=90°,∠HMN=30°,∠CNP=50°,请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数是 .
例4、平移
如图1所示,已知BC∥OA,∠B=∠A=120°
(1)说明OB∥AC成立的理由.
(2)如图2所示,若点E,F在BC上,且∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF,求∠EOC的度数.
(3)在
(2)的条件下,若左右平移AC,如图3所示,那么∠OCB:
∠OFB的比值是否随之发生变化?
若变化,请说明理由;若不变,请求出这个比值.
(4)在(3)的条件下,当∠OEB=∠OCA时,求∠OCA的度数.
【练习】如图,已知AM∥BN,∠A=60°.点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.
(1)求∠CBD的度数;
(2)当点P运动时,∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化?
若不变化,请写出它们之间的关系,并说明理由;若变化,请写出变化规律.
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时,∠ABC的度数是 .
例5、作图—应用
作图题
(1)如图1,一个牧童从P点出发,赶着羊群去河边喝水,则应当怎样选择饮水路线,才能使羊群走的路程最短?
请在图中画出最短路线.
(2)如图2,在一条河的两岸有A,B 两个村庄,现在要在河上建一座小桥,桥的方向与河岸方向垂直,桥在图中用一条线段CD表示.试问:
桥CD建在何处,才能使A到B的路程最短呢?
请在图中画出桥CD的位置.
【练习】如图,平面上有直线a及直线a外的三点A、B、P.
(1)过点P画一条直线m,使得m∥a;
(2)过B作BH⊥直线m,并延长BH至B′,使得BB′为直线a、m之间的距离;
(3)若直线a、m表示一条河的两岸,现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直),使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短,试问桥应建在何处?
画出示意图.
【巩固练习】
一、选择题
1.如图,AB∥DE,∠ABC的角平分线BP和∠CDE的角平分线DK的反向延长线交于点P且∠P﹣2∠C=57°,则∠C等于( )
A.24°B.34°C.26°D.22°
第1题图第2题图
2.如图,AB∥CD,∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H,∠K﹣∠H=27°,则∠K=( )
A.76°B.78°C.80°D.82°
3.在同一平面内,有8条互不重合的直线,l1,l2,l3…l8,若l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,l4∥l5…以此类推,则l1和l8的位置关系是( )
A.平行B.垂直C.平行或垂直D.无法确定
4.如图,AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于点E,AE⊥DE,∠1+∠2=90°,M,N分别是BA,CD延长线上的点,∠EAM和∠EDN的平分线交于点F.下列结论:
①AB∥CD;②∠AEB+∠ADC=180°;③DE平分∠ADC;④∠F为定值。
其中结论正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.如图所示,AB∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C等于( )
A.180°B.360°C.540°D.720°
二、填空题
6.平面上不重合的四条直线,可能产生交点的个数为 个.
7.如图所示,AB∥EF,∠B=35°,∠E=25°,则∠C+∠D的值为 .
第7题图第8题图第9题图
8.如图所示,AB∥CD,∠E=35°,∠C=20°,则∠EAB的度数为 .
9.如图,AB∥EF∥CD,EG平分∠BEF,∠B+∠BED+∠D=192°,∠B﹣∠D=24°,则∠GEF= .
10.已知D是△ABC的边BC所在直线上的一点,与B,C不重合,过D分别作DF∥AC交AB所在直接于F,DE∥AB交AC所在直线于E.若∠A=80°,则∠FDE的度数是 .
11.学习了平行线后,小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的,如图所示,由操作过程可知小敏画平行线的依据可以是 .(把所有正确结论的序号都填在横线上)
①如果两条直线和第三条直线平行,那么这两条直线平行;②同位角相等,两直线平行;③内错角相等,两直线平行;④同旁内角互补,两直线平行.
12.把一张对边互相平行的纸条折成如图那样,EF是折痕,若∠EFB=32°,则∠D′FD的度数为 .
13.如图
(1)所示为长方形纸带,将纸带沿EF折叠成图
(2),再沿BF折叠成图(3),继续沿EF折叠成图(4),按此操作,最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG;整个过程共折叠了9次,问图
(1)中∠DEF的度数是 .
三、解答题
14.按要求解答下列问题:
(1)分别按下列要求作出经过平移后的图形
①把三角形ABC向右平移3格.
②把第①题所得图形向上平移4格.
(2)经
(1)中二次平移后所得的图形,能通过三角形ABC一次平移得到吗?
如果你认为可以,描述这个平移过程.
(3)如图:
直线l1,l2表示一条河的两岸,且l1∥l2,现要在河上建一座桥.桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路程最短?
画出示意图,并用平移的原理说明理由
15.如图1,MN∥PQ,直线AD与MN、PQ分别交于点A、D,点B在直线PQ上,过点B作BG⊥AD,垂足为点G.
(1)求证:
∠MAG+∠PBG=90°;
(2)若点C在线段AD上(不与A、D、G重合),连接BC,∠MAG和∠PBC的平分线交于点H,请在图2中补全图形,猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系;
(3)若直线AD的位置如图3所示,
(2)中的结论是否成立?
若成立,请证明;若不成立,请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系.
15.已知,∠AOB=90°,点C在射线OA上,CD∥OE.
(1)如图1,若∠OCD=120°,求∠BOE的度数;
(2)把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”,射线OE沿射线OB平移,得O′E,其他条件不变,(如图2所示),探究∠OCD、∠BO′E的数量关系;
(3)在
(2)的条件下,作PO′⊥OB垂足为O′,与∠OCD的平分线CP交于点P,若∠BO′E=α,请用含α的式子表示∠CPO′(请直接写出答案).
16.如图1,AB∥CD,E是AB、CD之间的一点.
(1)判定∠BAE,∠CDE与∠AED之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图2,若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F.直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系;
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3,若∠AGD的余角等于2∠E的补角,求∠BAE的大小.
17.已知:
如图,BC∥OA,∠B=∠A=100°,试回答下列问题:
(1)如图①所示,求证:
OB∥AC.(注意证明过程要写依据)
(2)如图②,若点E、F在BC上,且满足∠FOC=∠AOC,并且OE平分∠BOF.
(ⅰ)求∠EOC的度数;
(ⅱ)求∠OCB:
∠OFB的比值;
(ⅲ)如图③,若∠OEB=∠OCA.此时∠OCA度数等于 .(在横线上填上答案即可)
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