高考对接 新人教A版选修12.docx
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高考对接新人教A版选修12
2019-2020年高考对接新人教A版选修1-2
——理清知识脉络 主干知识一网尽览
二、高频考点聚焦
——锁定备考范围 高考题型全盘突破
统计案例
1.题型既有选择、填空题,也有解答题.主要考查回归直线方程的求解与应用、独立性检验中K2与相关系数的求解与判断.
2.对独立性检验问题要准确记忆K2公式中各字母的意义并准确计算.解决线性回归分析问题的关键是利用“一点一式”求方程,即利用数据的“中心点”和已知的公式.计算的准确性是解决此类问题最基本的要求.
[例1] (重庆高考)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:
千元)与月储蓄yi(单位:
千元)的数据资料,算得xi=80,yi=20,xiyi=184,x=720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a;
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.
附:
线性回归方程y=bx+a中,b=,a=-b,其中,为样本平均值,线性回归方程也可写为
=x+.
[解]
(1)由题意知n=10,=xi==8,=yi==2.
又x-n2=720-10×82=80,xiyi-n=184-10×8×2=24,
由此可得b===0.3,a=-b=2-0.3×8=-0.4,
故所求回归方程为y=0.3x-0.4.
(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b=0.3>0),故x与y之间是正相关.
(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7-0.4=1.7(千元).
1.(福建高考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:
[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
附:
χ2=
解:
(1)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名.
所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有60×0.05=3(人),记为A1,A2,A3;25周岁以下组工人有40×0.05=2(人),记为B1,B2.从中随机抽取2名工人,所有的可能结果共有10种,它们是:
(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).
其中,至少1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率P=.
(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15(人),“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15(人),据此可得2×2列联表如下:
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得χ2=
==≈1.79.
因为1.79<2.706,
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.
合情推理与演绎推理
1.题型多为选择题、填空题,主要考查归纳推理和类比推理,以及学生分析问题、解决问题的能力和逻辑推理能力.
2.解决此类问题应重点关注以下两点:
(1)要熟悉归纳推理、类比推理、演绎推理的一般原理、步骤、格式,搞清合情推理与演绎推理的联系与区别;
(2)要把握归纳推理、类比推理、演绎推理的基本应用,在给定的条件下,能够运用归纳推理、类比推理获得新的一般结论,能够运用演绎推理对数学问题进行严格的证明.
[例2]
(1)(陕西高考)观察下列等式
12=1
12-22=-3
12-22+32=6
12-22+32-42=-10
……
照此规律,第n个等式可为________.
(2)(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为=n2+n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:
三角形数 N(n,3)=n2+n,
正方形数N(n,4)=n2,
五边形数N(n,5)=n2-n,
六边形数N(n,6)=2n2-n,
……
可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=________.
(3)对一个边长为1的正方形进行如下操作:
第一步,将它分割成3×3方格,接着用中心和四个角的5个小正方形,构成如图1所示的几何图形,其面积S1=;第二步,将图1的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作,得到图2所示的几何图形,其面积S2=2;依此类推,到第n步,所得图形的面积Sn=n.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中,则到第n步,所得几何体的体积Vn=________.
[解析]
(1)观察规律可知,第n个式子为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1.
(2)N(n,k)=akn2+bkn(k≥3),其中数列{ak}是以为首项,为公差的等差数列;数列{bk}是以为首项,-为公差的等差数列;所以N(n,24)=11n2-10n,当n=10时,N(10,24)=11×102-10×10=1000.
(3)类比到空间中,第一步,将棱长为1的正方体分割成3×3×3=27个相等的小正方体,接着取含正方体中心的那个小正方体和棱长为1的正方体的八个顶点处的8个小正方体,所得几何体的体积V1==;第二步,将第一步中的9个小正方体中的每个小正方体都进行与第一步相同的操作,所得几何体的体积V2=2;依此类推,到第n步,所得几何体的体积Vn=n.
[答案]
(1)12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1
(2)1000 (3)n
2.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )
A.各正三角形内任一点
B.各正三角形的某高线的中点
C.各正三角形的中心
D.各正三角形外的某点
解析:
选C 正三角形的边对应正四面体的面(正三角形),所以边的中点对应的就是正四面体各面(正三角形)的中心.
3.下面的数组均由三个数组成:
(1,2,3),(2,4,6),(3,8,11),(4,16,20),(5,32,37),…,(an,bn,cn).
(1)请写出cn的一个表达式,cn=________;
(2)若数列{cn}的前n项和为Mn,则M10=______.(用数字作答)
解析:
(1)通过观察归纳,得an=n,bn=2n,cn=an+bn=n+2n.
(2)M10=(1+2+…+10)+(2+22+…+210)=2101.
答案:
n+2n 2101
直接证明与间接证明
1.题型多为解答题,难度为中、高档.主要考查利用直接证明和间接证明解决数列,三角恒等式,立体几何中的平行、垂直,不等式,解析几何等问题.
2.解决此类问题,要抓住关键,即分析法、综合法、反证法,要搞清三种方法的特点,把握三种方法在解决问题中的一般步骤,熟悉三种方法适用于解决问题的类型,同时也要加强训练,达到熟能生巧、有效运用它们的目的.
[例3]某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据
(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
[解]
(1)选择②式,计算如下:
sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=.
(2)法一:
三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)=.
证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα·(cos30°cosα+sin30°sinα)
=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α
=sin2α+cos2α=.
法二:
三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.
证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=+-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=-cos2α++(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-sinαcosα-sin2α
=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α)
=1-cos2α-+cos2α=.
4.设{an}是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的公比;
(2)证明:
对任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
解:
(1)设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1),由a5,a3,a4成等差数列,得2a3=a5+a4,即2a1q2=a1q4+a1q3.
由a1≠0,q≠0得q2+q-2=0,解得q1=-2,q2=1(舍去),所以q=-2.
(2)法一:
对任意k∈N*,Sk+2+Sk+1-2Sk=(Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk)
=ak+1+ak+2+ak+1
=2ak+1+ak+1·(-2)=0.
所以,对任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
法二:
对任意k∈N*,2Sk=,
Sk+2+Sk+1=+
=,
2Sk-(Sk+2+Sk+1)=-
=[2(1-qk)-(2-qk+2-qk+1)]
=(q2+q-2)=0.
因此,对任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
复 数
1.题型多为选择题,主要考查对复数概念的理解以及复数的加、减、乘、除四则运算.
2.解决此类问题要明确复数的分类及复数运算、掌握化归思想,设出复数z的代数形式,即复数问题实数化.
[例4]
(1)(新课标全国卷Ⅰ)若复数z满足(3-4i)·z=|4+3i|,则z的虚部为( )
A.-4B.-
C.4D.
(2)(山东高考)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为
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