微分方程数值解欧拉法.docx

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微分方程数值解欧拉法

1.1、求解初值问题

，已知精确解为

当h=0.1时，解为：

0

1

1

0

0.1

0.900000

0.909362

9.3616E-03

0.2

0.819048

0.835105

1.6057E-02

0.3

0.753518

0.774155

2.0637E-02

0.4

0.700391

0.723946

2.3555E-02

0.5

0.657165

0.682347

2.5182E-02

0.6

0.621775

0.647598

2.5823E-02

0.7

0.592526

0.618249

2.5723E-02

0.8

0.568034

0.593114

2.5080E-02

0.9

0.547177

0.571230

2.4053E-02

1.0

0.529051

0.551819

2.2768E-02

当h=0.05时，解为：

0

1

1

0

0.05

0.950000

0.952418

2.4185E-03

0.10

0.904878

0.909362

4.4835E-03

0.15

0.864158

0.870391

6.2326E-03

0.20

0.827406

0.835105

7.6996E-03

0.25

0.794223

0.803138

8.9155E-03

0.30

0.764247

0.774155

9.9084E-03

0.35

0.737147

0.747850

1.0704E-02

0.40

0.712621

0.723946

1.1324E-02

0.45

0.690397

0.702188

1.1791E-02

0.50

0.670223

0.682347

1.2124E-02

0.55

0.651876

0.664213

1.2338E-02

0.60

0.635148

0.647598

1.2450E-02

0.65

0.619855

0.632328

1.2473E-02

0.70

0.605829

0.618249

1.2420E-02

0.75

0.592918

0.605220

1.2302E-02

0.80

0.580985

0.593114

1.2129E-02

0.85

0.569909

0.581819

1.1909E-02

0.90

0.559579

0.571230

1.1651E-02

0.95

0.549896

0.561258

1.1362E-02

1.00

0.540771

0.551819

1.1048E-02

h=50时，解为：

0

1

1

0

0.02

0.980000

0.980395

3.9471E-04

0.04

0.960792

0.961558

7.6599E-04

0.06

0.942345

0.943460

1.1148E-03

0.08

0.924628

0.926070

1.4422E-03

0.10

0.907613

0.909362

1.7491E-03

0.12

0.891270

0.893306

2.0363E-03

0.14

0.875573

0.877878

2.3048E-03

0.16

0.860496

0.863051

2.5553E-03

0.18

0.846013

0.848802

2.7888E-03

0.20

0.832100

0.835105

3.0058E-03

0.22

0.818732

0.821940

3.2073E-03

0.24

0.805889

0.809283

3.3938E-03

0.26

0.793547

0.797113

3.5662E-03

0.28

0.781685

0.785410

3.7250E-03

0.30

0.770284

0.774155

3.8709E-03

0.32

0.759323

0.763328

4.0045E-03

0.34

0.748784

0.752911

4.1264E-03

0.36

0.738649

0.742886

4.2371E-03

0.38

0.728899

0.733236

4.3373E-03

0.40

0.719518

0.723946

4.4274E-03

0.42

0.710490

0.714998

4.5079E-03

0.44

0.701800

0.706379

4.5793E-03

0.46

0.693431

0.698073

4.6421E-03

0.48

0.685371

0.690067

4.6967E-03

0.50

0.677603

0.682347

4.7435E-03

0.52

0.670117

0.674900

4.7830E-03

0.54

0.662897

0.667713

4.8156E-03

0.56

0.655933

0.660775

4.8415E-03

0.58

0.649212

0.654073

4.8613E-03

0.60

0.642723

0.647598

4.8751E-03

0.62

0.636454

0.641337

4.8835E-03

0.64

0.630395

0.635282

4.8866E-03

0.66

0.624537

0.629422

4.8848E-03

0.68

0.618868

0.623747

4.8784E-03

0.70

0.613381

0.618249

4.8676E-03

0.72

0.608066

0.612918

4.8528E-03

0.74

0.602914

0.607748

4.8341E-03

0.76

0.597917

0.602728

4.8119E-03

0.78

0.593067

0.597853

4.7863E-03

0.80

0.588357

0.593114

4.7577E-03

0.82

0.583779

0.588505

4.7261E-03

0.84

0.579326

0.584018

4.6918E-03

0.86

0.574992

0.579647

4.6550E-03

0.88

0.570771

0.575387

4.6159E-03

0.90

0.566656

0.571230

4.5746E-03

0.92

0.562641

0.567172

4.5314E-03

0.94

0.558721

0.563207

4.4864E-03

0.96

0.554890

0.559330

4.4397E-03

0.98

0.551144

0.555535

4.3916E-03

1.00

0.547477

0.551819

4.3420E-03

有图像看出，当步长越小，计算得到的解越逼近精确解。

1.2、求解初值问题

，已知精确解为：

，h=0.1

欧拉法

改进的欧拉法

预报-校正

格式

0

1

1

1

1

0.1

1.00483742

1.00000000

1.00500000

1.00476190

0.2

1.01873075

1.01000000

1.01925000

1.01859410

0.3

1.04081822

1.02900000

1.04183750

1.04063276

0.4

1.07032005

1.05610000

1.07194063

1.07009631

0.5

1.10653066

1.09049000

1.10881909

1.10627761

0.6

1.14881164

1.13144100

1.15180609

1.14853689

0.7

1.19658530

1.17829690

1.20030094

1.19629528

0.8

1.24932896

1.23046721

1.25376253

1.24902906

0.9

1.30656966

1.28742049

1.31170338

1.30626439

1.0

1.36787944

1.34867844

1.37368429

1.36757254

欧拉法图像：

改进欧拉法图像：

预测-校正法图像：

附录：

源代码

1.1、

clear

clc

X0=0;

X1=1;

n=10;%更改分点数

h=1/n;%步长

y

（1）=1;

x

（1）=X0;

fori=1:

n

x（i+1）=x（i）+h;

y（i+1）=y（i）+h*（x（i）*exp（-x（i））-y（i））;

end

x=vpa（x',6）

y=vpa（y',6）

X=（X0:

0.001:

X1）;n=1/0.001;

for（i=1:

n+1）

Y（i）=0.5*（X（i）^2+2）*exp（-X（i））;

end

plot（x,y,'*'）

holdon

plot（X,Y）

X=X0:

h:

X1;

Y=0.5.*（X.^2+2）.*exp（-X）;

Y=vpa（Y',6）

yy=abs（y-Y）

1.2、

欧拉法：

clear

clc

X0=0;

X1=1;

n=10;

h=1/n;

y

（1）=1;

x

（1）=X0;

X=X0:

h:

X1;

Y=X+exp（-X）;

Y=vpa（Y',9）;%精确解

XX=X0:

0.0001:

X1;

YY=XX+exp（-XX）;

fori=1:

n

x（i+1）=x（i）+h;

y（i+1）=y（i）+h*（-y（i）+x（i）+1）;

end

y=vpa（y',9）

plot（x,y,'*'）

holdon

plot（XX,YY）

改进的欧拉法：

clear

clc

X0=0;

X1=1;

n=10;

h=1/n;

y

（1）=1;

x

（1）=X0;

X=X0:

h:

X1;

Y=X+exp（-X）;

Y=vpa（Y',9）;%精确解

XX=X0:

0.0001:

X1;

YY=XX+exp（-XX）;

fori=1:

n

x（i+1）=x（i）+h;

y（i+1）=y（i）+h*（-y（i）+x（i）+1）;

end

fori=1:

n

y（i+1）=y（i）+0.5*h*（（-y（i）+x（i）+1）+（-y（i+1）+x（i+1）+1））;

end

y=vpa（y',9）

plot（x,y,'*'）

holdon

plot（XX,YY）

预报-校正格式：

clear

clc

X0=0;

X1=1;

n=10;

h=1/n;

y

（1）=1;

x

（1）=X0;

X=X0:

h:

X1;

Y=X+exp（-X）;

Y=vpa（Y',9）;%精确解

XX=X0:

0.0001:

X1;

YY=XX+exp（-XX）;

fori=1:

n

x（i+1）=x（i）+h;

y（i+1）=y（i）+h*（-y（i）+x（i）+1）;

end

fori=1:

n

forcount=1:

10%预报-校正格式，迭代十次

y（i+1）=y（i）+0.5*h*（（-y（i）+x（i）+1）+（-y（i+1）+x（i+1）+1））;

end

end

y=vpa（y',9）

plot（x,y,'*'）

holdon

plot（XX,YY）