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尺规作图专题
尺规作图专题
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尺规作图专题
1、尺规作图的定义
所谓尺规作图,就是只准有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图。
最早提出几何作图要有尺规限制的是古希腊的哲学家安那萨哥拉斯。
他因政治上的纠
葛,被关进监狱,并被处死刑。
传说,在监狱里,他思考化圆为方以及其它有关问题,用来打发令人苦恼的无所事事的生活。
他不可能用规范的作图工具,只能用一根绳子
画图,用随便找来的破木棍、竹片之类作直尺,当然这些“尺”上就不可能有刻度。
另外,对他来说,时间是不多了。
因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题。
后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里得,他在《几何原本》中对作图作了三条规定(公设)。
由于《几何原本》的巨大影响,希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来。
2、尺规作图的要求
1直尺必须没有刻度,可以无限长,且只能使用直尺的固定一侧。
只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上画刻度。
2圆规可以开至无限宽,但上面亦不能有刻度。
它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度•
3、尺规作图的三大不能为问题
古希腊人说的直尺,指的是没有刻度的直尺。
他们在大量的画图经历中感觉到,似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形,因而,古希腊人就规定,作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行,并称之为尺规作图
法。
漫长的作图实践,按尺规作图的要求,人们作出了大量符合给定条件的图形,即便一
些较为复杂的作图问题,独具匠心地经过有限步骤也能作出来。
到了大约公元前6世
纪到4世纪之间,古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。
1三等分角问题:
将任一个给定的角三等分。
2立方倍积问题:
求作一个正方体的棱长,使这个正方体的体积是已知正方体
体积的二倍。
3化圆为方问题:
求作一个正方形,使它的面积和已知圆的面积相等。
这就是著名的古代几何作图三大难题,它们在《几何原本》问世之前就提出了,随着几何知识的传播,后来便广泛留传于世。
4、初中几个最基本的尺规作图
一.已知一线段
1.作已知线段的中点
2.作已知线段的垂线
3.作已知线段的垂直平分线
4.过一点作已知直线的垂线
5.作已知线段的三等分点
6.过直线外一点作已知直线的平行线
二.已知一角
1.作一角与已知角相等
2.作已知角的角平分线
1
针对性练习
1、(2008东莞)如图,在厶ABC中,AB=AC=10,BC=8,用尺规作图作BC边上的中线AD,(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)并求AD的长。
2、(2008成都)如图,已知点A是锐角/MON内的一点,试分别在OM、ON上确定点B、点6使厶ABC的周长最小•写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点
(要求画出草图,保留作图痕迹)
3、(2008广州)如图9,射线AM交一圆于点B、C,射线AN交该圆于点D、E,且BeDe
(1)求证:
AC=AE
(2)利用尺规作图,分别作线段CE的垂直平分线与/MCE的平分线,两线交于点F(保
留作图痕迹,不写作法)求证:
EF平分/CEN
(3)某地有四个村庄E,F,G,H(其位置如图2所示),现拟建一个电视信号中转站,为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号,且使中转站所需发射功率最小(距离越小,所需功率越小),此中转站应建在何处?
请说明理由.
一厂」。
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3
6、(2008宁波)
(1)如图1,△ABC中,/C90o,请用直尺和圆规作一条直线,把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法,但须保留作图痕迹)
(2)已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示•请你判断,能否分别画一条直线把它
们分割成两个等腰三角形?
若能,请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.
图图图
IIzpIII
(第21
7、(2008山东济宁)用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示,则说明
第一步第二步第三步第四步
9、(2008孝感)宽与长的比是一」的矩形叫黄金矩形,心理学测试表明,黄金矩形令人
2
折叠黄金矩形的方法
赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感,现将同学们在教学活动中,归纳出以下作图步骤(如图所示):
作一个任意正方形ABCD;
分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;
以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;过B作EFAD交AD的延长线于F,
10、(08建设兵团)
(1)请用两种不同的方法,用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形,且菱形的四个顶点都在矩形的边上.(保留作图痕迹)
(2)写出你的作法.
11、(08浙江衢州)如图,AB//CD
(1)用直尺和圆规作C的平分线CP,CP交AB于点E(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在
(1)中作出的线段CE上取一点F,连结AF。
要使△ACF◎△AEF,还需要添加一个什么条件?
请你写出这个条件(只要给出一种情况即可;图中不再增加字母和线段;不要求证明)。
12、(2008自贡)在下面△ABC中,用尺规作出AB边上的高及/B的平分线(不写作法,保留作图痕迹)
BC
1
13、(2207杭州)右图为一机器零件的左视图,弧DE是以a为半径的—
4
个圆周,DCB45。
(第
14(2207河南)请你画出一个以BC为底边的等腰△ABC,使底边上的高AD=BC.
(1)求tanB和sinB的值;
(2)在你所画的等腰厶ABC中设底边BC=5米,求腰上的高BE.
15、作图题(2007青岛)
用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施,使它到三所运动员公寓A、B、C的距离
相等.
(1)若三所运动员公寓A、B、C的位置如图所示,请你在图中确定这处公共服务设施(用点P表示)的位置;
(2)若/BAC=660,则/BPC=o.
16、(2007兰州)在Rt△ABC中,/ACB=90°,/CBA=30°,用两种方法把它分成两个
三角形,且要求一个三角形是等腰三角形(要求尺规作图,不写作法和证明,但保留作图痕
迹)。
17、(2007宜昌)如图,G是线段AB上一点,AC和DG相交于点E.请先作出/ABC的平
(第17题)
分线BF,交AC于点F;(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证
明当:
AD//BC,AD=BC,ZABC=2/ADG时,
18.(2007嘉兴)现有一张矩形纸片
的中点.实施操作:
将纸片沿直线
ABCD(如图),其中AB=4cm,BC=6cm,点E是BC
AE折叠,使点B落在梯形AECD内,记为点B'.
(1)请用尺规,在图中作出△AEB'(保留作图痕迹);
(2)试求B'、C两点之间的距离.
19、(2007梅州)如图,AC是平行四边形ABCD的对角线.
(1)请按如下步骤在图7中完成作图(保留作图痕迹):
1
1分别以A,C为圆心,以大于—AC长为半径画弧,弧在AC两侧的交点分别为P,Q;
2
2连结PQ,PQ分别与AB,AC,CD交于点E,O,F•
(2)求证:
AECF•
-,求/DBC的
3
20、(2007山东临沂)如图,已知矩形ABCD。
⑴在图中作出△CDB沿对角线BD所在的直线对折后的AC'DB,C点的对应点为
C'(用尺规作图,保留清晰的作图痕迹,简要写明作法);
(2)设C'B与AD的交点为丘,若厶EBD的面积是整个矩形面积的
度数。
21、(2007湘潭)2008年,举世瞩目的第29届奥运盛会将在北京举行.奥运五环,环环相扣,象征着全世界人民的大团结•五环图中五个圆环均相等,其中上排三个、下排两个,且上排的三个圆心在同一直线上;五环图是一个轴对称图形.
(1)请用尺规作图,在图24—1中补全奥运五环图,心怀奥运.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)五环图中五个圆心围一个等腰梯形.如图24—2,在等腰梯形ABCD中,AD//BC.假
设BC4,AD8,A45°,求梯形的面积.
图24—
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