北京高考理科数学试题及答案.docx

北京高考理科数学试题及答案.docx

《北京高考理科数学试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京高考理科数学试题及答案.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

北京高考理科数学试题及答案

绝密★启封并使用完毕前

2017年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A={x|-23}，则A?

B=

（A）{x|-2

（C）{x|-1

（2）若复数（1-i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是

（A）（-R,1）（B）（-3-1）

（C）（1,+3）（D）（-1,+3）

输出的s值为

8

5（D）5

3

（4）若x,y满足x<3,

'x+y》2,贝Ux+2y的最大值为

ywx,

（5）已知函数f（x）

=3x

1X

-1，则f（x）

3

（A）是奇函数，

且在

R上是增函数

（B）是偶函数，

且在

R上是增函数

（C）是奇函数，

且在

R上是减函数

（D）是偶函数，

且在

R上是减函数

（A）1

（B）3

（C）5

（6）

（D）9

设m,n为非零向量，则“存在负数，，使得m—n”是“m・nvO”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为

（A）3-、2

（B）23

（C）2.2

（D）2

（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的

原子总数N约为1O80.则下列各数中与M最接近的是

N

（参考数据：

Ig3沁0.4）

（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093

第二部分（非选择题共110分）

:

■、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2

（9）若双曲线x2-止=1的离心率为73，则实数m=

m

（10）若等差数列和等比数列紅｝满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则鱼二

b2

（11）在极坐标系中，点A在圆少-2Tcosr-4鼻in^*4=0上，点P的坐标为（1,0）,

则|AP|的最小值为.

（12）在平面直角坐标系xOy中，角a与角B均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称。

若sin：

=—，贝Ucos（：

--）=

3

b，c的值依次为.

（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵

坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工

人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。

1记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Qi，Q2,Q3中最大的是。

2记Pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi，P2，P3中最大的是

三、解答题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

3在厶ABC中，NA=60°c=—a.

7

（I）求sinC的值；

（H）若a=7,求厶ABC的面积.

（16）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD丄平面ABCD,点M在线段PB

上，PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.

（II）求二面角B-PD-A的大小；

（III）求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。

（17）（本小题13分）

为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组

不服药。

一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*

表示服药者，“+”表示为服药者.

60

B!

A

*?

欷*:

•:

:

;!

*+\,++*

•/.?

•<>.**+十2*卜

••姬■•―一一4

・**••*•:

•■

1

O

1.7

（I）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率;

数，求°的分布列和数学期望E^）;

（川）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小

（只需写出结论）

（18）（本小题14分）

21

已知抛物线C:

y2=2px过点P（1,1）.过点（0,）作直线I与抛物线C交于不同的两点M,N,

2

过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中0为原点.

（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（n）求证：

A为线段BM的中点.

（19）（本小题13分）

已知函数f（x）=ecosx-x.

（I）求曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程；

■JT

（n）求函数f（x）在区间［0,—］上的最大值和最小值.

（20）（本小题13分）

设｛an｝和｛bn｝是两个等差数列，记

Cn=max｛bi-ain血力2n,-nn｝（n=1,2,3,•厂）

其中max｛xi,x2,--xs｝表示xi,x2,^xs这s个数中最大的数.

（I）若an=n,bn=2n-1,求Ci,C2,C3的值，并证明｛cn｝是等差数列；

M；或者存在正整数

（H）证明：

或者对任意正数M，存在正整数m,当n沏时，§.

n

m,使得Cm,Cm+i,Cm+2,•是等差数列.

2017年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）答案

（3）C（4）D

⑺B（8）D

（10）1

（12）-1

9

（14）Q1P2

、

（I）A

（2）B

（5）A（6）A

、

（9）2

（II）1

（13）_1,一2,；（答案不唯一）

三、

（15）（共13分）

3

解：

（I）在厶ABC中，因为.A=60,c=3a,

7

所以由正弦定理得sinC二浊△_!

二工.

a7214

（n）因为a=7，所以c7=3.

7

由余弦定理a2^b2c2-2bccosA得723^2b3-,

2

解得b=8或b=-5（舍）

解：

（I）设AC,BD交点为E，连接ME•

因为PD//平面MAC，平面MAC「|平面PBD=ME，所以PD//ME.

因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点•

（II）取AD的中点O,连接OP,OE.

因为PA二PD，所以OP—AD.

又因为平面PAD_平面ABCD，且0P平面PAD，所以0P_平面ABCD.

因为0E平面ABCD，所以OP_0E.

因为ABCD是正方形，所以OE_AD.

如图建立空间直角坐标系O_xyz，则P（0,0,、、2）,D（2,0,0）,B（_2,4,0）,

BD=（4,-4,0），PD=（2,0,=2）.

『T

nBD=04x「4y二0设平面BDP的法向量为n=（x,y,z），贝U，即_.

nPD=0[2x—V2z=0

令x=1，则y=1,z「2.于是n二（1,1八2）.

TT

由题知—面角B-'PD-'A为锐角，所以它的大小为.

3

42I

（III）由题意知M（-1,2,）,D（2,4,0）,MC=（3,2,

所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为

（17）（共13分）

解：

（I）由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，

15

所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为0.3.

50

（n）由图知，A,B,C,D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：

A和C.

所以•的所有可能取值为0,1,2.

P（®CM，P（JrCCM，P（SC

C46C43C4

所以'的分布列为

0

1

2

P

1

2

1

6

3

6

121

故'的期望E（）=0121.

636

（川）在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差

（18）（共14分）

21

解：

（I）由抛物线C:

y=2px过点P（1,1）,得p=—.

2

所以抛物线C的方程为y二x.

1

l的方程为y=kx+—（k式0）,1与抛物线C的交点为M（X1,yJ,

2

N（X2,y2）.

y=kx22

由2，得4k2x2（4k—4）x1二0.

.y2=x

xiX22

4k

因为点P的坐标为（1,1）,所以直线OP的方程为y=x，点A的坐标为（x1,y1）.

直线ON的方程为，点B的坐标为（刘,'2必）.

X2X2

因为

.y2y1_ym+y2y1—2x1X2

y12x1:

X2X2

11

（kx1）x2（kx2）x^2x1x2

（2k-2）x1x2扣2为）

X2

所以％•纱=2Xi.

X2

故A为线段BM的中点.

（19）（共13分）

解：

（I）因为f（x）二excosx-x，所以f（x）二eX（cosx-sinx）-1,f（0）=0•

又因为f（o）=1，所以曲线目二f（x）在点（0,f（0））处的切线方程为y=「

（n）设h（=xx）ex,-则

h（x）=ex（cosx-sinx-sinx-cosx）--2exsinx.

当x（0,扌）时，h（x）：

：

0,

所以h（x）在区间［0,」］上单调递减.

2

n

所以对任意X（0,?

］有h（x）:

:

h（0）=0，即f（x）:

:

0.

n

所以函数f（x）在区间［0,—］上单调递减.

2

因此f（x）在区间［0,亍］上的最大值为f（0）-1，最小值为“亍）=一寺

（20）（共13分）解：

（I）g=bj-ai=1-1=0,c2二max{b-2a4,b2-2a2}=max{1-21,3-22}=-1,

c3=max{D-3a2,b3-3a3}=max{1-31,3-32,5-33}--2.

当n丄3时，（bk1—nak1）-（bk-nak）=（bk1-bj-n（ak1-ak）=2-n：

：

0,所以bk-nak关于k三N*单调递减.

所以cn=max{b1-a1n,b2-a2n,|,bn-ann}二dpn=1-n.

所以对任意n_1,Cn=1-n，于是Cn彳-Cn--1,

所以{Cn}是等差数列.

（n）设数列{an}和{bn}的公差分别为d1,d2，贝U

bk-nak=b（k-1）d2-[a（kT）dj]n=DVn（d2-ndj（k-1）.

[b_an,当d2兰nd|时,

①当a0时，取正整数m-，则当n-m时，ndj•d?

，因此c.=D-玄勺n.

此时，陥，陥1,Cm』H是等差数列.

2当a=0时，对任意n一1,

Cn二bi-ajn（n-1）max{d2,0}-a1（n「1）（max{d2,0}「aj.

此时，G,C2,C3,|l（,Cn,|l（是等差数列.

3当d1<0时，

rdo

当n-时，有ndj:

:

:

d2.

所以Cn丿-卸（n-1）（d2-ndi）二n（_dj•diyd2匕

nnn

"（-d1）dj7d2-Id-d21.

对任意正数M，取正整数m-max{M——也——d2-1ai——di———2,—2

Vd1

故当n_m时，Cn.M.

n