2)求旋转曲面S所围成立体的体积
5.(10分)函数u(x,y)具有连续的二阶偏导数,算子A定义为
1)求A(u-A(u));2)利用结论1)以x=-,h=x-y为新的自变量改变方程x
2006年江苏省高等数学竞赛试题(本科一、二级)
3.
8.级数
n1
1n1、'n1pn条件收敛时,常数p的取值范围是
np
二.(10分)某人由甲地开汽车出发,沿直线行驶,经2小时到达乙地停止,一路畅通,若开车的最大速度为100公里/小时,求证:
该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值
三.(10分)曲线的极坐标方程为1cos0,求该曲线在所对应的
24
点的切线L的直角坐标方程,并求切线L与x轴围成图形的面积.
四(8分)设f(x)在,上是导数连续的有界函数,fxfx1,
求证:
fx1.x,
五(12分)本科一级考生做:
设锥面z23x23y2(z0)被平面x3z40截下的有
限部分为•
(1)求曲面的面积;
(2)用薄铁片制作的模型,A(2,0,2、、3),B(
为上的两点,0为原点,将沿线段0B剪开并展成平面图形D,以OA方向为极坐标轴建立平面极坐标系,写出D的边界的极坐标方程.
本科二级考生做:
设圆柱面x2y21(z0)被柱面zx22x2截下的有限部分为.
为计算曲面的面积,用薄铁片制作的模型,A(1,0,5),B(1,0,1),C1,0,0为上的三
点,将沿线段BC剪开并展成平面图形D,建立平面在极坐标系,使D位于x轴正上方,
2
六(10分)曲线X
y
点A坐标为0,5,写出D的边界的方程,并求D的面积.
2z绕Z轴旋转一周生成的曲面与z1,z2所围成的立体区域记为
0
本科一级考生做
1
22
xy
2dxdydzz
本科二级考生做
22
xy
z2dxdydz
的收敛域也为1,1;2)试问命题1)的逆命题是否正确,若正确给出证明;若不正确
举一反例说明.
本科二级考生做:
求幂级数.“今乂汽的收敛域与和函数
.填空(每题5分,共40分)
2.
X1t2
lim-e1dt
3.
x00x3
lim,x23x2axb0,则a,b
x
5.设由xzeyz确定zz(x,y),贝Udze,0
6.函数fx,yexaxby2中常数a,b满足条件时,f1,0为
其极大值.
2exe
7.交换二次积分的次序1dx1fx,ydy.
x
1
8.设D:
2xx2y2,0yx2,贝Udxdy
dJx2y2
2.(8分)设fxaxbsinxcx0,试问a,b,c为何值时,fx在x0处一阶
ln1xx0
导数连续,但二阶导数不存在.
3.(9分)过点1,5作曲线:
yx3的切线L,
(1)求L的方程;
(2)求与L所围成平面图形D的面积;(3)求图形D的x0部分绕x轴旋转一周所得立体的体积.
四(8分)设f(x)在,上是导数连续的函数,f00,fxfx1,
求证:
fxex1.x0,
五(8分)求
1arctanx
dx
六(9分)本科三级做:
设fx,y
xy
22tan
xy
0
x,y0,0
x,y0,0
证明fx,y在点0,0处可微,
并求
dfx,y
0,0
民办本科做:
设圆柱面x2y2
1(z
0)被柱面z
x2
2x
2截下的有限部分为.为计算
曲面的面积,用薄铁片制作
的模型,A(1,0,5),B(
1,0,1),C1,0,0为上的三点,将
沿线段BC剪开并展成平面图形
D,建立平面在极坐标系,使D位于x轴正上方,点A坐
标为0,5
,写出D的边界的方程,并求D的面积.
七(9分)
本科一级考生做:
用拉格朗日乘数法求函数
2
fx,yx
.2xy2y2在区域
x22y2
4上的最大值与最小值.
八(9分)
设D为yx,x
y0所围成的平面图形,
2
cosx
ydxdy.
2004年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)
.填空(每题5分,共40分)
1.
fx是周期为的奇函数,且在x0处有定义,
时,
2.
3.
4.
5.
xsinx
lim
x—
2
lim
n
sinx
cosx2,求当x
2’时,fx的表达式
2
tanx
n
n21
fxx21n1x,n
x
e1x2dx
x
xe
7.设fx,y可微,f1,22,fx1,23,fy1,24,xfx,fx,2x
则1
8.设fxgx
0x1
其他,为
y,则
fyfxydxdy.
D
(10分)设fx在a,b上连续,fx在a,b内可导,f(a)a,,
点距离为t,作PQ垂直于yx,交D的边界yx24于Q
1)试将P,Q的距离PQ表示为t的函数;
2)求D饶yx旋转一周的旋转体的体积
四(10分)已知点P(1,0,-1),Q(3,1,2),在平面x-2y+z=12上求一点M,PM+MQ最小
五(10分)求幕级数1xn的收敛域。
n1n3n2n
六(10分)设fx,y可微,f1,22,fx1,22,fy1,23,
xffx,2x,2fx,2x,求1.
22
七(10分)求二次积分d21ed
02
2004年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级)
一.填空(每题5分,共40分)
1.fx是周期为的奇函数,且在x0处有定义,当x0,时,
2
fxsinxcosx2,求当x,时,fx的表达式.2
2
tanx
3.limsinx
x—
2
4.lim
n
n
n21
n24L
n2
n2
5.fxx21n1x,n2时fn0
x
ce1x
6.2dx
x
xe
7.zarctan—,dz11.
y
x0x1
8•设fxgx,D为x,y,则
0其他
fyfxydxdy.
D
二.(10分)设fx在a,b上连续,fx在a,b内可导,f(a)a,,
(10分)设D:
y2x24,yx,2xy4,在D的边界yx上任取点P,设P到原
点距离为t,作PQ垂直于yx,交D的边界y2x24于Q
1)试将P,Q的距离PQ表示为t的函数;
2)求D饶yx旋转一周的旋转体的体积
四(10分)设fx在,上有定义,fx在x0处连续,且对一切实数X1X有
f为x2f为fx2,求证:
fX在,上处处连续。
1
五(10分)上k为常数,方程kx-10在0,恰有一个根,求k的取值范围。
x
六(10分)已知点P(1,0,-1),Q(3,1,2),在平面x-2y+z=12上求一点M,使
PM+MQ最小
七(10分)求幕级数
n1n3n2n
xn的收敛域
2002年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)
一.填空(每题5分,共40分)
2.
设fx在1,上可导,下列结论成立的是
22
5.曲线:
;2;y,在点的切线的参数方程为
6.设zf—gex,siny,f有二阶连续导数,g有二阶连续偏导数,
x
13x
7.交换二次积分的次序Qdx乂2fx,ydy.
11
8.幂级数1—L—xn的收敛域
n12n
2.(8分)设fx在0,上连续,单调减少,0ab,
ba
求证aof(x)dxbof(x)dx
3.(8分)设fx在a,b上连续,f(x)dxf(x)exdx0,求证:
fx在a,b内
aa
至少存在两个零点.
4.(8分)求直线丫—绕y轴旋转一周的旋转曲面方程,求求该曲面与
y0,y2所包围的立体的体积
敛?
何时发散?
可偏导性?
可微性.
222
xyzdxdydz
LT
下沿曲线AB从A0,1运动到B0,1,
力F的大小等于P到定点M3,4的距离,其方
向垂直于线段MP,且与y轴正向的夹角为锐角,求力F对质点P做得功.
2002年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级)
.填空(每题5分,共40分)
x-.-x
c0,则k
’ee
1.limkc
X0xk
2.设fx在1,
上可导,下列结论成立的是
A.若limf
x
则fx在1,
上有界
B.若limf
x
则fx在1,
上无界
C.若limf
x
则fx在1,
上无界
3.设由ey
1x确定y
y(x),则y0
4.arcsinx
arccosxdx
6.设zf
gex,siny,f有二阶连续导数,g有二阶连续偏导数,
2
则一
xy
13x
7.交换二次积分的次序dx2fx,ydy.
0x
8.函数fx,y2xy1满足方程x2y25的条件的极大值为
极小值为
二.(8分)设fx在0,上连续,单调减少,0ab,
(8分)设fxkxsinx,1)若k1,求证fx在,上恰有一个零点;2)
若k0,且fx在,上恰有一个零点,求常数k的取值范围.
4.(8分)求ex1sinxdx
5.
01cosx
ydxdy
2000年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)
.填空(每题3分,共15分)
.1.设fxIX冈,贝yffx
3.已知dxfx
5..设zzx,y由方程F丿0确定(F为任意可微函数)
xx
贝Ux—y—
xy
二选择题(每题3分,共15分)
1
2x1
1.对于函数y钻」,点x0是()
2^1
A.连续点;B.第一类间断点;C.第二类间断点;D可去间断点
2.
0(X00),则
已知函数yfx对一切x满足xfx3xfx1ex,若fx0
()
A.fxo是fx的极大值;B.xo,fxo是曲线yfx的拐点;
C.fX。
是fx的极小值;
Dfx0不是fx的极值,x0,fx0也不是曲线yfx的拐点
3.lim()
x3x32x2
A.等于1;B.等于0;C.等于1;D不存在,但也不是
4.若丄wx0,y0都存在,则fx,y在x0,y0
xy
A.极限存在,但不一定连续;B.极限存在且连续;
C.沿任意方向的方向导数存在;D极限不一定存在,也不一定连续
5.
设为常数,则级数Sinn
于这两个零点之间的零点。
yx24x1所围成的平面图形面积最小。
九(8分)求级数nx1n的收敛域及和函数•
n1
十(8分)设fx在a,b上连续且大于零,利用二重积分证明不等式:
b1
xdxdx
afx
十(8分)计算曲线积分Ilx44xy3dx6x2y25y4dy,其中L为曲线
21
y1x3上点A(2,1)沿逆时针方向到该曲线上点B3,0的一段曲线。
5
十二(8分)计算曲面积分4zxdydz2zydzdx1z2dxdy,其中为曲面
zey(0ya)绕z轴旋转一周所成曲面之下侧
2000年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级)
一.填空(每题3分,共15分)
1•已知—fx2-,则fx设
dxx
1
2.limtanx亦
x0
3.—dx
x1
26门
4若级数2n6a收敛,则a的取值为n16nn
a.
5.fxfxsinxdx
a
二选择题(每题3分,共15分)
e2x1
1.函数fx,的可去间断点为()
xx1
A.
x0,1
;B.x1;
C.x0;
D无可去间断点
11y
2.改变积分次序dy2
0'y21
fx,ydx
(
)
1
JX
0
jr~x
1
1x
A.
dx
1
Efx,ydy;
B.1dx0
fx,ydy0
dxf
0
x,ydy;
14
fx
1
1x
C.
dx
0
廿x,ydy;
Ddx
1
TTTf
x,ydy
3.
设fx
可导,Fx
fx1
sinx
,若欲使F
x在x
0可导,则必有(
)
A.
f0
0;B.f0
0;C.
f0
f00;
Df0
f00
4.若丄,丄都存在,则fx,y在心%
xy
A.连续且可微;B.连续但不可微;
C.可微但不连续;D不一定可微,也不一定连续
1
5.fx,ye2xxy22y在点-1处取()
ee
A.极大值B.极小值;C.不取极大值;D极小值e
22
、In1xaxbx2设lim厂
x0x.2
edt
0
yx24x1所围成的平面图形面积最小。
x
八(6分)当x0时,Fxox2t2ftdx的导数与x2为等价无穷小,求f0
九(8分)求幕级数2n1x2n1的收敛域及和函数•
n1
十(8分)将fxarctan1一x展开为x的幕级数,并指出收敛区间。
1x
(8分)
十二(8分)
设函数fx在
上连续,且满足
t2
y2dxdyt4,求fx
1arctanx,?
dx022
1x
4.已知点A4,0,0,B(0,2,0),C(0,0,2),O为坐标原点,则四面体OABC的内接球面方程
为
5.设由xzeyz确定zz(x,y),贝Udze,0
6.函数fx,yexaxby2中常数a,b满足条件时,f1,0为
其极大值.
7.设是yasinx(a0)上从点0,0至U,0的一段曲线,a时,曲线积分
2
x2ydx2xyeydy取最大值.
—dx
4x1x