北师大数学八年级上册第七章平行线的性质基础.docx
- 文档编号:10744405
- 上传时间:2023-02-22
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:183.74KB
北师大数学八年级上册第七章平行线的性质基础.docx
《北师大数学八年级上册第七章平行线的性质基础.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北师大数学八年级上册第七章平行线的性质基础.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
北师大数学八年级上册第七章平行线的性质基础
平行线的性质(基础)知识讲解
【学习目标】
1.掌握平行线的性质公理、定理,并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解;
2.了解并掌握平行线的性质定理的探究过程;
3.了解平行线的判定与性质的区别和联系.
【要点梳理】
要点一、平行线的公理、定理
公理:
两条平行线被第三条直线所截,得到的同位角相等.(简记为:
两直线平行,同位角相等).
定理:
两条平行线被第三条直线所截,得到的内错角相等(简记为:
两直线平行,内错角相等).
定理:
两条平行线被第三条直线所截,得到的同旁内角互补(简记为:
两直线平行,同旁内角互补).
要点诠释:
(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提“两直线平行”.
(2)从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质.
要点二、平行线的性质定理的探究过程
1.两条平行线被第三条直线所截,得到的内错角相等(简记为:
两直线平行,内错角
相等).
因为a∥b,
所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等),
又∠3=∠1(对顶角相等)
所以∠2=∠3.
2.两条平行线被第三条直线所截,得到的同旁内角互补(简记为:
两直线平行,同旁
内角互补).
因为a∥b,
所以∠3=∠2(两直线平行,内错角相等),
又∠3+∠1=180°(补角的定义),
所以∠2+∠1=180°.
要点诠释:
平行线性质定理的证明,要借助平行线线性质公理,因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论,不需要证明,但是定理、性质或推论到的证明其正确性.
要点三、平行线的性质与判定
(1)平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.
(2)应用平行线的判定和性质定理时,一定要弄清题设和结论,切莫混淆.
(3)平行线的判定与性质的联系与区别
区别:
性质由形到数,用于推导角的关系并计算;判定由数到形,用于判定两直线平行.
联系:
性质与判定的已知和结论正好相反,都是角的关系与平行线相关.
(4)辅助线规律,经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线,构造出三类角.
【典型例题】
类型一、平行线的性质公理、定理的应用
1.如图所示,如果AB∥DF,DE∥BC,且∠1=65°.那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?
为什么.
【思路点拨】本题已知条件中,包含了两个层次:
第一层次是由DE∥BC,可得∠1=∠4,∠1+∠2=180°;第二层次是由DF∥AB,可得∠3=∠2或∠3+∠4=180°,从而解出∠2、
∠3、∠4的度数.
【答案与解析】
解:
∵DE∥BC,
∴∠4=∠1=65°(两直线平行,内错角相等).
∠2+∠1=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∴∠2=180°-∠1=180°-65°=115°.
又∵DF∥AB(已知),
∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等).
∴∠3=115°(等量代换).
【总结升华】平行线的性质:
由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系.
举一反三:
【变式】(2015•永州)如图,∠1=∠2,∠A=60°,则∠ADC= 度.
【答案】解:
∵∠1=∠2,∴AB∥CD,
∴∠A+∠ADC=180°,
∵∠A=60°,
∴∠ADC=120°.故答案为:
120°
2.如图,一条铁路修到一个村子边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A是105度,第二次拐的角∠B是135度,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠C应为多少度?
【思路点拨】过点B作直线BE∥CD,用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答.
【答案与解析】
解:
过点B作直线BE∥CD.
∵CD∥AF,
∴BE∥CD∥AF.
∴∠A=∠ABE=105°.
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.
又∵BF∥CD,
∴∠CBE+∠C=180°.
∴∠C=150°.
【总结升华】此题是一道生活实际问题,根据题目信息,转化为关于平行线性质的数学问题.
3.已知,如图,AB∥CD,BE∥FD.
求证:
∠B+∠D=180°
【思路点拨】根据平行线的性质可得∠B=∠1,∠1+∠D=180°,等量代换即可证明∠B+∠D=180°.
【答案与解析】
证明:
∵AB∥CD(已知),
∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等).
∵BE∥FD(已知),
∴∠1+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∴∠B+∠D=180°(等量代换).
【总结升华】此题主要考查平行线的性质:
两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.
举一反三
【变式】如图,AB∥CD,CE平分∠ACD,若∠1=25°,求∠2的度数.
【答案】
解:
∵CE平分∠ACD,∠1=25°,
∴∠ECD=∠1=25°,
∵AB∥CD,
∴∠ECD+∠2=180°,
∴∠2=180°-∠ECD=155°.
4.(2016春•秦皇岛期末)如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以说明.(适当添加辅助线,其实并不难)
【思路点拨】关键过转折点作出平行线,根据两直线平行,内错角相等,或结合三角形的外角性质求证即可.
【答案与解析】如图:
(1)∠APC=∠PAB+∠PCD;
证明:
过点P作PF∥AB,则AB∥CD∥PF,
∴∠APC=∠PAB+∠PCD(两直线平行,内错角相等).
(2)∠APC+∠PAB+∠PCD=360°;
(3)∠APC=∠PAB﹣∠PCD;
(4)∵AB∥CD,
∴∠POB=∠PCD,
∵∠POB是△AOP的外角,
∴∠APC+∠PAB=∠POB,
∴∠APC=∠POB﹣∠PAB,
∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB.
【总结升华】两直线平行时,应该想到它们的性质,由两直线平行的关系得到角之间的数量关系,从而达到解决问题的目的.
5.如图
是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多几何知识.根据下面的条件完成证明.
已知:
如图,BC∥AD,BE∥AF.
(1)求证:
∠A=∠B;
(2)若∠DOB=135°,求∠A的度数.
【思路点拨】
(1)由平行线的性质(两直线平行,同位角相等)可得∠A=∠B.
(2)由平行线的性质(两直线平行,同旁内角互补)可得∠A=180°-∠DOE.
【答案与解析】
解:
(1)∵BC∥AD,
∴∠B=∠DOE,
又∵BE∥AF,
∴∠DOE=∠A,
∴∠A=∠B.
(2)∵∠DOB=∠EOA,由BE∥AF,得∠EOA+∠A=180°
又∠DOB=135°,
∴∠A=45°.
【总结升华】本题考查的是平行线的性质,主要是考查学生把实际问题转化成数学问题的能力,要结合实际图象画出数学图形,再运用平行线的性质来解决.
举一反三
【变式】已知:
如图,BD∥AF∥CE,∠ABD=60°,∠ACE=36°,AP是∠BAF的平分线,求∠PAC的度数.
【答案】
解:
∵BD∥AF,∠ABD=60°,
∴∠BAF=∠ABD=60°,
∵AP平分∠BAF,
∴∠PAF=
∠BAF=30°,
又∵AF∥CE,∠ACE=36°,
∴∠CAF=∠ACE=36°.
∴∠PAC=∠PAF+∠CAF=30°+36°=66°.
类型二、平行的性质与判定综合应用
6、如图所示,AB∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()
A.180°B.270°C.360°D.540°
【答案】C
【解析】过点C作CD∥AB,
∵CD∥AB,
∴∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行,同旁内角互补)
又∵EF∥AB
∴EF∥CD.
∴∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行,同旁内角互补)
又∵∠ACE=∠ACD+∠DCE
∴∠BAC+∠ACE+∠CEF=∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°
【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用,利用“两直线平行,同旁内角互补,”可以得到∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°
【巩固练习】
一、选择题
1.下列说法:
①两直线平行,同旁内角互补;②内错角相等,两直线平行;③同位角相等,两直线平行;④垂直于同一条直线的两条直线平行,其中是平行线的性质的是()
A.①B.②和③C.④D.①和④
2.(2015•泰安)如图,AB∥CD,∠1=58°,FG平分∠EFD,则∠FGB的度数等于( )
A.122°B.151°C.116°D.97°
3.下列图形中,由AB∥CD,能得到∠1=∠2的是()
4.(2016•陕西一模)直线a、b、c、d的位置如图,如果∠1=100°,∠2=100°,∠3=125°,那么∠4等于( )
A.80°B.65°C.60°D.55°
5.如图所示,已知AD与BC相交于点O,CD∥OE∥AB.如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC的大小为()
A.60°B.70°C.80°D.120°
6.如图所示,直线l1//l2,∠1=40°,∠2=75°,则∠3等于()
A.55°B.30°C.65°D.70°
二、填空题
7.如图,一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上,若∠1=25°,则∠2=_______.
8.如图,点B,C,E,F在一直线上,AB∥DC,DE∥GF,∠B=∠F=72°,则∠D=________度.
9.如图所示,已知CD平分∠ACB,DE∥AC,∠1=30°,则∠2=______度.
10.(2015•云南)如图,直线l1∥l2,并且被直线l3,l4所截,则∠α= .
11.(2016春•冷水江市期末)如图,下列推理是否正确,请写出你认为是正确推理的编号 .
①因为AB∥DC,所以∠ABC+∠C=180°
②因为∠1=∠2,所以AD∥BC
③因为AD∥BC,所以∠3=∠4
④因为∠A+∠ADC=180°,所以AB∥DC.
12.如图所示,AB∥CD,且∠BAP=60°-a,∠APC=45°+a,∠PCD=30°-a,则a=________.
三.解答题
13.如图,已知AB∥CD,MG、NH分别平分∠BMN与∠CNM,试说明NH∥MG?
14.如图,a∥b∥c,∠1=60°,∠2=36°,AP平分∠BAC,求∠PAQ的度数.
15.(2015春•晋安)如图,直线CB∥OA,∠C=∠OAB=100°,E、F在CB上,且满足∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF
(1)求∠EOB的度数;
(2)若平行移动AB,那么∠OBC:
∠OFC的值是否随之发生变化?
若变化,找出变化规律或求出变化范围;若不变,求出这个比值.
(3)在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=∠OBA?
若存在,求出其度数;若不存在,说明理由.
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】A;
【解析】两直线平行
角的关系.
2.【答案】B;
【解析】∵AB∥CD,∠1=58°,∴∠EFD=∠1=58°,
∵FG平分∠EFD,∴∠GFD=
∠EFD=
×58°=29°,
∵AB∥CD,∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°.故选B.
3.【答案】B;
【解析】∠2与∠1的对顶角是同位角的关系.
4.【答案】D;
【解析】∵∠1=100°,∠2=100°,∴∠1=∠2,∴直线a∥直线b,∴∠4=∠5,
∵∠3=125°,∴∠4=∠5=180°﹣∠3=55°,故选D.
5.【答案】B
【解析】注意到CD∥OE∥AB,由“两直线平行,同位角相等”可知∠AOE=∠D=
30°,∠EOC=∠B=40°.故∠AOC=∠EOC+∠AOE=40°+30°=70°.
6.【答案】C;
【解析】∠3=180°-40°-75°=65°.
二、填空题
7.【答案】115°;
【解析】∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°.
故答案为:
115°.
8.【答案】36°;
【解析】∵AB∥DC,DE∥GF,∠B=∠F=72°,
∴∠DCE=∠B=72°,∠DEC=∠F=72°,
在△CDE中,∠D=180°-∠DCE-∠DEC=180°-72°-72°=36°.
故答案为:
36.
9.【答案】60;
【解析】由已知得:
∠2=2∠1=60°.
10.【答案】64°;
【解析】由已知可得:
AD∥BC,由平行的性质可得:
∠D+∠C=180°.
如图,
∵∠1+56°=120°,
∴∠1=120°﹣56°=64°,
又∵直线l1∥l2,
∴∠α=∠1=64°.
故答案为:
64°.
11.【答案】①②④
【解析】①∵AB∥DC,∴∠ABC+∠C=180°,此结论正确;
②∵∠1=∠2,∴AD∥BC,此结论正确;
③∵AD∥BC,∴∠1=∠2,而∠3≠∠4,此结论错误,
④∵∠A+∠ADC=180°,∴AB∥DC,此结论正确.故答案为①②④.
12.【答案】15°;
【解析】由图可知:
∠APC=∠BAP+∠PCD,即有45°+a=60°-a+30°-a,
解得:
a=15°.
三、解答题
13.【解析】
证明:
∵AB∥CD(已知),∴∠BMN=∠MNC(两直线平行,内错角相等).
∵MG、NH分别平分∠BMN、∠CNM(已知).
∴∠MNH=
∠MNC,∠NMG=
∠BMN(角平分线定义).
∴∠MNH=∠NMG,∴NH∥MG(内错角相等,两直线平行).
14.【解析】
解:
∵a∥b∥c,
∴∠BAQ=∠1=60°,∠CAQ=∠2=36°,∠BAC=60°+36°=96°,
又AP平分∠BAC,∠BAP=
×96°=48°,
∴∠PAQ=∠BAQ-∠BAP=60°-48°=12°.
15.【解析】
解:
(1)∵CB∥OA,
∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°,
∵OE平分∠COF,
∴∠COE=∠EOF,
∵∠FOB=∠AOB,
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=
∠AOC=
×80°=40°;
(2)∵CB∥OA,
∴∠AOB=∠OBC,
∵∠FOB=∠AOB,
∴∠FOB=∠OBC,
∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC,
∴∠OBC:
∠OFC=1:
2,是定值;
(3)在△COE和△AOB中,
∵∠OEC=∠OBA,∠C=∠OAB,
∴∠COE=∠AOB,
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线,
∴∠COE=
∠AOC=
×80°=20°,
∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°,
故存在某种情况,使∠OEC=∠OBA,此时∠OEC=∠OBA=60°.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 北师大 数学 年级 上册 第七 平行线 性质 基础